高考真题 天津卷理科数学 1.docx
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高考真题天津卷理科数学1
2014·天津卷(理科数学)
1.[2014·天津卷]i是虚数单位,复数=( )
A.1-iB.-1+i
C.+iD.-+i
1.A [解析]===1-i.
2.[2014·天津卷]设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5
2.B [解析]画出可行域,如图所示.解方程组得即点A(1,1).
当目标函数线过可行域内A点时,目标函数有最小值,即zmin=1×1+2×1=3.
图11
3.[2014·天津卷]阅读如图11所示的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( )
A.15
B.105
C.245
D.945
3.B [解析]第1次循环,i=1,T=3,S=1×3;
第2次循环,i=2,T=5,S=1×3×5;
第3次循环,i=3,T=7,S=1×3×5×7.
执行完后,这时i变为4,退出循环,故输出S=1×3×5×7=105.
4.[2014·天津卷]函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)
4.D [解析]要使f(x)单调递增,需有解得x<-2.
5.[2014·天津卷]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:
y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
5.A [解析]由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,∴=2.∵双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,∴0=-2c+10,∴c=5.又∵a2+b2=c2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为-=1.
6.[2014·天津卷]
图12
如图12所示,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:
①BD平分∠CBF;
②FB2=FD·FA;
③AE·CE=BE·DE;
④AF·BD=AB·BF.
则所有正确结论的序号是( )
A.①②B.③④
C.①②③D.①②④
6.D [解析]如图所示,∵∠1=∠3,∠2=∠4,且∠1=∠2,∴∠4=∠3,∴BD平分∠CBF,∴△ABF∽△BDF.
∵=,∴AB·BF=AF·BD.∵=,∴BF2=AF·DF.故①②④正确.
7.[2014·天津卷]设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
7.C [解析]当ab≥0时,可得a>b与a|a|>b|b|等价.当ab<0时,可得a>b时a|a|>0>b|b|;反之,由a|a|>b|b|知a>0>b,即a>b.
8.[2014·天津卷]已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=( )
A.B.C.D.
8.C [解析]建立如图所示的坐标系,则A(-1,0),B(0,-),C(1,0),D(0,).设E(x1,y1),F(x2,y2).由BE=λBC得(x1,y1+)=λ(1,),解得即点E(λ,(λ-1)).由=μ得(x2,y2-)=μ(1,-),解得即点F(μ,(1-μ)).又∵AE·AF=(λ+1,(λ-1))·(μ+1,(1-μ))=1,①
·=(λ-1,(λ-1))·(μ-1,(1-μ))=-.②
①-②得λ+μ=.
9.[2014·天津卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
9.60 [解析]由分层抽样的方法可得,从一年级本科生中抽取学生人数为300×=60.
10.[2014·天津卷]一个儿何体的三视图如图13所示(单位:
m),则该几何体的体积为________m3.
图13
10. [解析]由三视图可得,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V=π×12×4+π×22×2=.
11.、[2014·天津卷]设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________.
11.- [解析]∵S2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,S1,S2,S4成等比数列,
∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.
12.[2014·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为________.
12.- [解析]∵2sinB=3sinC,∴2b=3c.
又∵b-c=,∴a=2c,b=c,
∴cosA===-.
13.[2014·天津卷]在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为________.
13.3 [解析]将ρ=4sinθ与ρsinθ=a转化为直角坐标方程分别为x2+(y-2)2=4与y=a.联立得x2=-a2+4a,且0 ∵△AOB为等边三角形,∴a2=3(-a2+4a),解得a=3或a=0(舍). 14.[2014·天津卷]已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为________. 14.(0,1)∪(9,+∞) [解析]在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x-1|的图像如图所示.当y=a|x-1|与y=f(x)的图像相切时,由整理得x2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图像有四个交点时,09. 15.、、[2014·天津卷]已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值. 15.解: (1)由已知,有 f(x)=cosx·-cos2x+ =sinx·cosx-cos2x+ =sin2x-(1+cos2x)+ =sin2x-cos2x =sin, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=, 所以函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-. 16.、、[2014·天津卷]某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 16.解: (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则 P(A)==, 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为. (2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3), 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. 17.、[2014·天津卷]如图14所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. (1)证明: BE⊥DC; (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值; (3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角FABP的余弦值. 图14 17.解: 方法一: 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).C由E为棱PC的中点,得E(1,1,1). (1)证明: 向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0), 故BE·DC=0, 所以BE⊥DC. (2)向量BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2). 设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量, 则即 不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有 cos〈n,BE〉===, 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为. (3)向量BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0).由点F在棱PC上, 设CF=λ,0≤λ≤1. 故BF=BC+CF=BC+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得BF·AC=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,即BF=.设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则即不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则 cos〈,〉===-. 易知二面角FABP是锐角,所以其余弦值为. 方法二: (1)证明: 如图所示,取PD中点M,连接EM,AM.由于E,M分别为PC,PD的中点,故EM∥DC,且EM=DC.又由已知,可得EM∥AB且EM=AB,故四边形ABEM为平行四边形,所以BE∥AM. 因为PA⊥底面ABCD,故PA⊥CD,而CD⊥DA,从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.又BE∥AM,所以BE⊥CD. (2)连接BM,由 (1)有CD⊥平面PAD,得CD⊥PD.而EM∥CD,故PD⊥EM.又因为AD=AP,M为PD的中点,所以PD⊥AM,可得PD⊥BE,所以PD⊥平面BEM,故平面BEM⊥平面PBD,所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM,可得∠EBM为锐角,故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角. 依题意,有PD=2,而M为PD中点,可得AM=,进而BE=.故在直角三角形BEM中,tan∠EBM===,因此sin∠EBM=, 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为. (3)如图所示,在△PAC中,过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD,所以FH⊥底面ABCD,从而FH⊥AC.又BF⊥AC,得AC⊥平面FHB,因此AC⊥BH.在底面ABCD内,可得CH=3HA,从而CF=3FP.在平面PDC内,作FG∥DC交PD于点G,于是DG=3GP.由于DC∥AB,故GF∥AB,所以A,B,F,G四点共面.由AB⊥PA,AB⊥AD,得AB⊥平面PAD,故AB⊥AG,所以∠PAG为二面角FABP的平面角. 在△PAG中,PA=2,PG=PD=,∠APG=45°.由余弦定理可得AG=,cos∠PAG=,所以二面角FABP的余弦值为. 18.、[2014·天津卷]设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率. 18.解: (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0). 由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2. 又b2=a2-c2,则=, 所以椭圆的离心率e=. (2)由 (1)知a2=2c2,b2=c2. 故椭圆方程为+=1. 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c), 有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有x0+y0+c=0.① 又因为点P在椭圆上, 所以+=1.② 由①和②可得3x+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c.代入①得y0=,即点P的坐标为. 设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c. 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±, 所以直线l的斜率为4+或4-. 19.、、[2014·天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1}, 集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A. (2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明: 若an 19.解: (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明: 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1 =-qn-1 =-1<0, 所以s 20.、[2014·天津卷]设f(x)=x-aex(a∈R),x∈R.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1 (1)求a的取值范围; (2)证明: 随着a的减小而增大; (3)证明: x1+x2随着a的减小而增大. 20.解: (1)由f(x)=x-aex,可得f′(x)=1-aex. 下面分两种情况讨论: (i)a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,可得f(x)在R上单调递增,不合题意. (ii)a>0时,由f′(x)=0,得x=-lna. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-lna) -lna (-lna,+∞) f′(x) + 0 - f(x) -lna-1 这时,f(x)的单调递增区间是(-∞,-lna);单调递减区间是(-lna,+∞).于是,“函数y=f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立: ①f(-lna)>0;②存在s1∈(-∞,-lna),满足f(s1)<0;③存在s2∈(-lna,+∞),满足f(s2)<0.
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