弹性力学全程导学及习题全解.docx
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弹性力学全程导学及习题全解
弹性力学全程导学及习题全解
1-7试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力,面力和应力的方向。
注意:
(1)无论在哪一个位置的体力,在哪一个边界面上的面力,均为沿坐标轴正方向为正,反之为负。
(2)边界面上的应力应是以在正坐标面上,方向沿坐标轴正方向为正,反之为负,在负坐标面上,方向沿坐标轴负方向为正,反之为负。
1-8试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。
2-7在导出平面问题的三套基本方程时,分别应用了哪些基本假设?
这些方程的适用条件是什么?
【解答】
(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是:
物体的连续性,小变形和均匀性。
在两种平面问题(平面应力、平面应变问题)中,平衡微分方程和几何方程都适用。
(2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:
物体的连续性,完全弹性,均匀性,小变形和各向同性,即物体为小变形的理想弹性体。
在两种平面问题(平面应力、平面应变)中的物理方程不一样,如果将平面应
E?
?
换为21?
?
1?
?
,就得到平面应变问题的物理力问题的物理方程中的E换位,
方程。
2-8试列出题2-8图(a),题2-8图(b)所示问题的全部边界条件。
在其端部边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
【解】
(1)对于图(a)的问题
在主要边界x?
0,x?
b上,应精确满足下列边界条件:
(?
x)x?
0?
?
?
gy,(?
xy)x?
0?
0;
(?
x)x?
b?
?
?
gy,(?
xy)x?
b?
0。
在小边界(次要边界)y=0上,能精确满足下列边界条件:
(?
y)y?
0?
?
?
gh1,(?
yx)?
0。
(u)y?
h2?
0,(v)y?
h2?
0。
这两在小边界(次要边界)y?
h2上,有位移边界上条件:
当板厚?
?
1时,
?
b(?
)dx?
?
?
g(h?
h)b,12?
?
0yy?
h2
?
b?
?
0(?
y)y?
h2xdx?
0,?
b?
(?
yx)y?
hdx?
0。
2?
?
0个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,
(2)对于图(b)所示问题
在主要边界y?
?
h/2上,应精确满足下列边界条件:
(?
y)y?
h/2?
0,
(?
y)y?
?
h/2?
?
q,(?
yx)y?
h/2?
?
q1;(?
yx)y?
?
h/2?
0。
在次要边界x?
0上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件,当板厚?
?
1时,
?
h/2(?
)dy?
?
F,N?
?
?
h/2xx?
0
?
h/2?
?
?
h/2(?
x)x?
0ydy?
?
M,
?
h/2?
(?
)dy?
?
FS。
?
?
?
h/2xyx?
0
在次要边界x?
l上,有位移边界条件:
(u)x?
l?
0,(v)x?
l?
0。
这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替
?
h/2(?
)dy?
ql?
F,1N?
?
?
h/2xx?
l
?
q1lhql2?
h/2?
M?
FSl?
?
?
?
h/2(?
x)x?
lydy?
22?
?
h/2(?
)dy?
?
ql?
F。
xyx?
lS?
?
?
?
h/2
2-9试应用圣维南原理,列出题2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应力边界条件,并比较两者的面力是否静力等效?
【解】
(1)对于图(a),上端面的面力向截面形心简化,得主矢和主矩分别为FN?
qb/2,FS=0,M?
?
b0qxb(?
x)dx?
?
qb2/12b2。
应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件,当板厚?
?
1时,
?
b(?
)dx?
?
qb2,?
?
0yy?
0
?
b2?
?
0(?
y)y?
0xdx?
qb?
b?
(?
)dx?
0。
?
?
?
byxy?
0
(2)对于图(b),应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件,当板厚?
?
1时,
?
b(?
)dx?
?
qb2,?
?
0yy?
0
?
b2?
?
0(?
y)y?
0xdx?
qb?
b?
(?
yx)y?
0dx?
0。
?
?
0
所以,在小边界OA边上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同,这两个问题为静力等效的。
2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么?
【解】
(1)用位移表示的平衡微分方程
?
E?
1?
?
2?
?
?
E
2?
?
1?
?
?
2u1?
?
?
2u1?
?
?
2u(2?
?
)?
fx?
0?
x2?
y22?
x?
y?
2v1?
?
?
2v1?
?
?
2u(2?
?
)?
fy?
02?
y2?
x2?
x?
y
(2)用位移表示的应力边界条件
?
E?
2?
1?
?
?
?
E
?
1?
?
2?
?
?
u?
v1?
?
?
u?
v?
l(?
?
)?
m(?
)?
?
fx?
?
x?
y2?
y?
x?
x?
?
?
v?
u1?
?
?
v?
u?
m(?
?
)?
l(?
)?
?
fy?
?
y?
x2?
x?
y?
x?
(3)位移边界条件
(u)s?
u,(v)s?
v。
(在su上)
2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么?
【解】
(1)平衡微分方程
?
?
?
x?
?
yx?
?
fx?
0,?
?
y?
?
x?
?
?
?
y?
?
?
xy?
f?
0。
y?
?
x?
?
y
(2)相容方程
?
fx?
fy?
(?
x?
?
y)?
?
(1?
?
)(?
)?
x?
y。
2
(3)应力边界条件(假定全部为应力边界条件,s?
s?
)?
?
(l?
x?
m?
yx)?
fx,?
(在s?
s?
上)?
?
(m?
y?
l?
xy)?
fy。
/.
(4)若为多连体,还须满足位移单值条件。
2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答:
y2
?
x?
2q,?
y?
?
xy?
0b(a)题2-13图(a),。
?
x?
y,?
xy?
S
IbI(取梁的厚度b=1)(b)题2-13图(b),由材料力学公式,,
得出所示问题的解答:
x3y3qx2
22?
x?
?
2q3,?
xy?
?
(h?
4y)3lh4lh。
MFS
又根据平衡微分方程和边界条件得出
3qxyxy3qx?
y?
?
2q3?
2lhlh2l。
试导出上述公式,并检验解答的正确性。
【解】按应力求解时,(本题体力不计),在单连体中应力分量?
x,?
y,?
xy必须满足:
平衡微分方程、相容方程、应力边界条件(假设s?
s?
)。
y2
?
x?
2q,?
y?
?
xy?
0b
(1)题2-13图(a),
①相容条件:
将应力分量代入相容方程,教材中式(2-23)?
2?
22q(2?
2)(?
x?
?
y)?
2?
0?
x?
yb,
不满足相容方程。
②平衡条件:
将应力分量代入平衡微分方程
?
?
?
x?
?
yx?
?
0?
?
y?
?
x?
?
?
?
y?
?
?
xy?
0?
?
x?
?
y
显然满足。
③应力边界条件:
在x?
?
a边界上,
(?
x)x?
?
ay2?
2q,(?
xy)x?
?
a?
0b。
在y?
?
b边界上,
(?
y)y?
?
b?
0,(?
yx)y?
?
b?
0
满足应力边界条件。
。
MFS?
x?
y,?
xy?
S
IbI(取梁的厚度b=1)
(2)题2-13图(b),由材料力学公式,,x3y3qx2
2?
x?
?
2q3,?
xy?
?
(h?
4y2)3lh4lh得出所示问题的解答:
。
又根据平衡微分俄方3qxyxy3qx?
y?
?
2q3?
2lhlh2l。
试导出上述公式,并检验解答的正程和边界条件得出
确性。
①推导公式:
在分布荷载作用下,梁发生弯曲变形,梁横截面是宽度为1,高为h的矩形,其
h3
Iz?
12,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和对z轴(中性轴)的惯性距
q3qx2
M(x)?
?
x,FS(x)?
?
6l2l。
剪力方程分别为
所以截面内任意点的正应力和切应力分别为
M(x)yx3y?
x?
?
?
2q3Izlh,
3FS(x)4y23qx2
22?
xy?
(1?
2)?
?
(h?
4y)32bhh4lh。
根据平衡微分方程的第二式(体力不计)
?
?
y
?
y?
?
?
xy
?
x?
0
,
得到
3qxyxy3
?
y?
?
2q3?
A2lhlh。
根据边界条件(?
y)y?
h2?
0,
qx
2l,得A?
?
3qxyxy3qx?
y?
?
2q3?
2lhlh2l。
所以
②相容条件:
将应力分量代入相容方程
?
2?
224qxy(2?
2)(?
x?
?
y)?
?
?
03?
x?
ylh。
不满足相容方程。
③平衡方程:
将应力分量代入平衡微分方程显然满足。
④应力边界条件:
在主要边界y?
?
2上,应精确满足下列边界条件:
(?
y)y?
?
h/2?
?
(?
y)y?
h/2?
0,qx,l(?
yx)y?
?
h/2?
0。
(?
yx)y?
h/2?
0。
自然满足。
在x=0的次要边界上,外力的主矢量,主矩都为零。
有三个积分的应力边界条件:
?
h/2(?
)dy?
0,?
?
?
h/2xx?
0
?
h/2?
?
?
h/2(?
x)x?
0ydy?
0,
?
h/2?
(?
xy)x?
0dy?
0。
?
?
h/2?
在x?
l次要边界上,(u)x?
l?
0,(v)x?
l?
0。
这两个位移边界条件可以改用积分的应力边界条件来代替。
h/2?
h/2x3y?
?
?
h/2(?
x)x?
ldy?
?
?
h/2?
2qlh3dy?
0,?
h/2x3yql2?
h/2,?
?
?
h/2(?
x)x?
lydy?
?
?
h/2?
2q3ydy?
?
lh6?
h/2?
h/23qx3y2ql2(?
)dy?
?
(h?
4y)dy?
?
。
?
?
?
h/2xyx?
l3?
?
h/24lh2?
所以,满足应力的边界条件。
显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件,但不满足相容方程,所以两题的解答都不是问题的解。
【解】参看图,位移矢量是服从几何加减运算法则的。
位移矢量为d,它在(x,y)和(?
?
)坐标系中的分量分别表示为
所以
?
?
u?
?
ucos?
?
vsin?
?
?
?
u?
?
?
usin?
?
vcos?
(a)
写成矩阵形式
?
u?
?
?
cos?
sin?
?
?
u?
?
?
?
?
?
?
v?
u?
sin?
cos?
?
?
?
?
?
?
(b)?
?
?
所以
?
u?
?
cos?
?
sin?
?
?
u?
?
?
v?
?
?
sin?
cos?
?
?
u?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(c)
若写成一般形式,则位移分量的变换关系为(u,v)和(u?
u?
),
u?
u?
cos?
?
u?
sin?
v?
u?
sin?
?
u?
cos?
或
u?
?
ucos?
?
vsin?
u?
?
?
usin?
?
vcos?
。
4-14设有一刚体,具有半径为R的圆柱形孔道,孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒,圆筒受内压力为q,试求圆筒的应力。
【解】本题为轴对称问题,故环向位移
u?
?
0,另外还要考虑位移的单值条件。
(1)应力分量
引用轴对称应力解答,教材中式(4-11)。
取圆筒解答中的系数为A,B,C,刚体解答中的系数为A?
B?
C?
由多连体中的位移单值条件,有
B=0,(a)
B?
?
0。
(b)
现在,取圆筒的应力表达式为
?
?
?
A
?
2?
2C,?
?
?
?
A
?
2?
2C。
(c)
刚体的应力表达式
?
?
?
?
A?
?
2?
?
?
?
2C?
?
?
A?
?
2?
2C?
。
(d)
考虑边界条件和接触条件来求解常数A,A?
C,C?
和相应的位移解答。
首先,在圆筒的内面,有边界条件
A?
2C?
?
qr2。
(e)(?
?
)?
?
r?
?
q,由此得
其次,在远离圆孔处,应当几乎没有应力,于是有
?
)?
?
?
?
?
0,(?
?
?
)?
?
?
?
0(?
?
由此得
2C?
?
0(f),
再次,圆筒和刚体的接触面上,应当有
?
)?
?
R(?
?
)?
?
R?
(?
?
。
于是有式(c)及式(d)得
AA?
?
2C?
?
2C?
22RR。
(2)平面应变问题的位移分量
应用教材中式(4-12)的第一式,稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达式
u?
?
1?
?
?
A?
2(1?
2?
)C?
?
?
Icos?
?
Ksin?
?
?
E?
?
?
(h)
(i)?
?
0u?
刚体的径向位移为零,在接触面上,圆筒与刚体的位移相同且都为零,即
?
)?
?
R?
0(u?
)?
?
R?
(u?
。
将式(h)和式(i)代入,得
1?
?
?
A?
2(1?
2?
)CR?
?
Icos?
?
Ksin?
?
0?
E?
R?
?
方程在接触面上的任意点都成立,?
取任何值都成立,方程两边的自由项必须相等,于是得
1?
?
?
A?
2(1?
2?
)CR?
?
0?
?
E?
R?
简化并利用式(f),得
A?
2(1?
2?
)CR2。
(j)
(3)圆筒的应力
把式(j)代入式(e),得
(1?
2?
)qr2R2
A?
?
22?
?
(1?
2?
)R?
r?
?
qr2C?
?
22?
2?
(1?
2?
)R?
r?
?
,。
圆筒的应力为
11?
2?
1?
2?
2R2?
2R?
?
?
q?
?
?
q?
2?
2r2R,r2R。
?
4-15在薄板内距边界较远的某一点处,应力分量为
有一小圆孔,试求孔边的最大正应力。
1?
2?
?
x?
?
y?
0,?
xy?
q,如该处
【解】
(1)求出两个主应力,即
?
1?
?
x?
?
y?
?
?
q。
?
?
3?
2原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q,
如图所示。
应力分量?
x?
q,?
y?
?
q,?
xy?
0代入坐标变换式,教材中式(4-7),得到外边界上的边界条件
(?
?
)?
?
R?
qcos2?
(a)
(?
?
?
)?
?
R?
?
qsin2?
(b)
在孔边,边界条件是
(?
?
)?
?
r?
0(c)
(?
?
?
)?
?
R?
0(d)
由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见,用半逆解法时,可假设一函数乘以cos2?
,而?
?
?
为?
的另一函数乘以sin2?
。
而
?
1?
?
1?
?
1?
2?
?
?
?
()。
,?
?
?
?
2?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
为?
的某
因此可假设
?
?
f(?
)cos2?
。
将式(e)代入相容方程,教材中式(4-6),得
?
d4f(?
)2d3f(?
)9d2f(?
)9df(?
)?
cos?
?
?
2?
3?
?
0。
432d?
?
d?
?
d?
?
d?
?
?
删去因子cos2?
以后,求解这个常微分方程,得
f(?
)?
A?
4?
B?
3?
C?
D
?
2,
其中A,B,C,D为待定常数,代入式(e),得应力函数
?
?
cos2?
(A?
4?
B?
3?
C?
D
?
2),
由应力函数得应力分量的表达式
?
4C6D?
?
?
cos2?
(2B?
?
4)?
?
2?
?
?
?
6D2?
?
?
?
cos2?
(12A?
?
2B?
4)?
?
?
2C6D3?
?
?
?
?
sin2?
(6A?
?
2B?
2?
4)?
?
?
将上式代入应力边界条件
由式(a)得
4C6D2B?
2?
4?
?
q(g)RR
由式(b)得
2C6D6AR3?
2B?
2?
4?
?
q(h)RR
由式(c)得
4C6D2B?
2?
4?
0(i)rr
由式(d)得
2C6D6Ar3?
2B?
2?
4?
0(j)rr
r联立求解式(g)——(j),并命?
0,得R
qqr4
2A?
0,B?
?
C?
qr,D?
?
。
22
将各系数值代入分量的表达式,得
?
r2r2
?
?
?
?
qcos2?
(1?
?
2)(1?
3?
2)?
?
r2?
?
?
?
?
?
qcos2?
(1?
32)?
?
?
r2r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
qsin2?
(1?
2)(1?
32)?
?
?
?
沿着孔边?
?
r,环向正应力是
?
?
?
?
4qcos2?
。
最大环向正应力为(?
?
)max?
4q。
6-2如题6-2图所示一平面平应状态下的三结点等边三角形单元,其边长为a,?
?
。
(1)试求出应力转换矩阵S及单元劲度矩阵k。
(2)试求出k中的每行之和及每列之和,并说明原因。
(3)设单元发生结点位移ui?
uj?
um?
1,vi?
vj?
vm?
0,或发生结点位移
ui?
uj?
vi?
0,vj?
1,um?
vm?
2,试求单元中的应力,并说明其原因。
(4)设该单元在jm边上受有线性分布的压力,其在j点及m点的集度分别为qj和qm,试求等效结点荷载。
【解】
(1)在所选的坐标系中
xi?
0,xj?
a,xm?
1a,2yi?
0,yj?
a,ym?
。
应用教材中式(6-19)及(6-20),得
bi?
?
a,bj?
a,bm?
0,22
11ci?
?
a,cj?
?
a,cm?
a,22
2A?
。
?
?
18180?
E?
S?
?
3?
0(a)?
?
335a?
0?
?
?
?
?
7.5?
7.5?
应用教材中式(6-32)和(6-33),得该单元的应力转换矩阵
应用教材中式(6-37)及(6-38),得单元的劲度矩阵
?
对?
?
?
21?
8?
9?
Et?
8k?
35?
921?
?
?
88?
?
15?
?
4?
33?
?
?
?
?
22?
?
?
?
?
?
?
称?
?
。
?
?
?
?
?
0154?
(2)求得式(b)中每一行(或列)的元素之和为零(其第一、三、五个元素之和或第二、四、六个元素之和也为零)。
因为k中的每一个元素都表示,发生单位结点位移时所引起的结点力。
而
各个节点的位移都相同,说明单没有发生形变,即不会引起结点力。
(3)设单元发生结点位移ui?
uj?
um?
1,vi?
vj?
vm?
0,此时,单元作平移,则
三角
形内不产生应力和应变,从而结点力为零;但单元发生结点位移
ui?
uj?
vi?
0,vj?
1,um?
vm?
2,单元作转动,从而结点力也为零。
(4)单元在jm边上受有线性分布的压力,在j点及m点的集度分别为qj和qm
(可假设
,此时,相当于有均布荷载qj和三角形分布荷载(在j点集度为0,m点qj?
qm)
集度为qm?
qj)同时作用在jm边上。
①在均布荷载qj的作用下,x
方向的均布面力为y方向的均布面力j;1为?
qj。
由教材中式(6-45)求得的结点荷载为
2
jt?
Nids,FLjx1?
jt?
Njds,FLmx1?
jt?
Nmds,jmjmjm111FLiy1?
?
qjt?
Nids,FLjy1?
?
qjt?
Njds,FLmy1?
?
qjt?
Nmds。
jmjmjm222FLix1?
应用教材中式(6-22)中的第二式及式(6-21)中的第三式,得
11Nds?
0,Nds?
Nds?
?
?
jmi?
jmj?
jmm22a。
所以,有
?
?
FLix1?
FLiy1?
0
?
?
F?
F?
jta(c)?
Ljx1Lmx1?
1?
F?
F?
?
qjtaLjy1Lmy1?
?
4
②在线性分布荷载(j点集度为0,m点集度为qm?
qj)的作用下,m点x
1qm?
qj),y方向的均布面力为qj。
由教材中式(6-45)2求得的结点荷载为
?
?
FLix2?
FLiy2?
0,
?
?
F?
?
(q?
q)tNds,F?
?
qm?
qj)t?
Nmds,(d)?
Ljx2mj?
jmjLmx2jm44?
11?
F?
?
(q?
q)tNds,F?
?
(qm?
qj)t?
Nmds。
Ljy2mj?
jmjLmy2?
jm?
44
12三角形分布荷载作用在jm上,两点的形函数有Ni?
,Nm?
,根据教材33
式(6-22)的第二式,
12Nds?
a,Nds?
?
jmj3?
jmm3a。
代入式(d),得
?
?
FLix2?
FLiy2?
0,
?
?
F?
q?
q)ta,F?
qm?
qj)ta,(e)?
Ljx2mjLmx2?
11?
F?
?
(q?
q)ta,F?
?
(qm?
qj)ta。
Ljy2mjLmy2?
126?
将式(c)和(e)中对应项相加,得
?
?
FLix?
FLiy?
0,
?
?
F?
q?
q)ta,F?
qj?
2qm)ta,?
LjxjmLmx?
11?
F?
?
(2q?
q)ta,F?
?
(qj?
2qm)ta。
LjyjmLmy?
?
1212
如果设qj?
qm,可得相同的结果。
6-5对于如题6-5图所示的结构,试求整体劲度矩阵K中的子矩阵K41,K42,K44,K46。
【解】结构是对称的,只取下半部分进行研究,如解6-5图所示,在2,5,8结点设置了铅直支座。
单元的局部编码i,j,m与整体编码1,2,4,5,7,
取?
?
0根据教材6-7中式(g)知四个单元的劲度矩阵都是
000?
0.50?
?
0.5?
0?
0.250.250?
0.25?
0.25?
?
?
00.250.250?
0.25?
0.25?
k?
Et?
(a)?
。
0000.50?
0.5?
?
?
?
0.5?
0.25?
0.2500.750.25?
?
?
?
0.25?
0.25?
0.50.250.75?
?
0
应用公式Kij?
?
kij求整体劲度矩阵K中的子矩阵K41,K42,K44,K46分别为
e
?
?
0.5?
0.25?
?
00?
K41?
kmi?
Et?
K?
Et,42?
?
?
?
0.25?
?
0?
00?
1.50.2500?
?
?
?
K44?
kii?
kjj?
kmm?
Et?
K?
Et?
46?
00?
。
0.251.5?
?
?
?
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