最新苏教版高中数学必修2《立体几何初步》全章同步练测及答案解析docx.docx

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（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二

第1章立体几何初步（苏教版必修2）

建议用时

实际用时

满分

实际得分

120分钟

160分

一、填空题（每小题5分，共70分）

1.下列命题中正确的是.

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；

③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；

⑥棱台的侧棱延长后交于一点.

2.如图，正方体的棱长为1，过点A作平面BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的是.

①点是△的垂心；②的延长线经过点；

③⊥平面；

④直线AH和所成的角为45°.

3.设a，b，c表示三条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列命题中不正确的是.

①⊥，∥⇒⊥；

②⊥，⊥，⊥⇒a⊥b；

③b∥c，b⊂，⇒c∥；

④a∥，b⊥⇒b⊥.

4.如图，在正四面体P-ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列四个结论中不成立的是.

①BC∥平面PDF；

②DF⊥平面PAE；

③平面PDF⊥平面PAE；

④平面PDE⊥平面ABC.

5.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是.

①PB⊥AD；

②平面PAB⊥平面PBC；

③直线BC∥平面PAE；

④直线PD与平面ABC所成的角为45°.

6.如图，在正四棱柱ABCD-中，=2AB，则异面直线与所成角的余弦值为.

7.在正三棱柱中，已知AB=1，点D在棱上且BD=1，则二面角D-AC-B的正切值为.

8.直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若AB=AC==2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于.

9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足____时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

10.已知平面∥，点，，点，，直线与交于点，且=8，=9，=34，则=．

11.下列命题中，正确的是．

①若平面和平面分别过两条互相垂直的直线，则；

②若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则；

③若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则；

④若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.

12.一扇形铁皮AOB,半径OA=72cm,圆心角∠AOB=60°.现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面,并从剩下的扇形OCD内剪下一个最大的圆刚好作容器的下底（圆台的下底面大于上底面）,则OC的长为______________.

13.给出下列说法：

①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；

②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；

③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；

④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．

其中正确说法的序号是.

14.如图

（1）所示，在正方体中，E,F分别是，的中点，G是正方形的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图

（2）中的.

二、解答题（共90分）

15.（14分）如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，点G，H分别是BC，CD上的点，且

求证：

（1）E，F，，四点共面；

（2）三条直线F，E，共点.

16.（14分）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，CD=AB，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A-BCDG.

（1）若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：

EF∥平面ABG；

（2）求证：

AG⊥平面BCDG.

17.（14分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为的圆内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD.

（1）求线段PD的长；

（2）若PC＝，

求三棱锥P-ABC的体积.

18.（16分）如图，在直四棱柱，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，=2，E，分别是棱中点.

（1）设F是棱AB的中点，证明∥

（2）证明：

平

19.（16分）如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.

（1）求证:

DM∥平面APC;

（2）求证:

平面ABC⊥平面APC.

20.（16分）如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC.

（1）求证：

平面ABD⊥平面ABC；

（2）求二面角C-BD-A的余弦值.

一、填空题

1.③④⑤⑥解析：

①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误，

必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，

因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，

因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；

⑤正确，如图，正方体中的四棱锥C，四个

面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知.

2.④解析：

因为三棱锥A-BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，①正确；平面BD∥平面，而AH⊥平面BD，所以AH⊥平面，③正确；根据对称性知②正确.故填④.

3.④解析：

经判断可知，①②③均正确.对于④，与直线a垂直的直线有无数多条，这些直线与平面的关系也可能是平行的，如正方体的上底面的两条相邻棱互相垂直，但这两条棱与下底面的关系是平行而不是垂直.

4.④解析：

因为BC∥DF，所以BC∥平面PDF，①成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以②③均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故④不成立.

5.④解析：

∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立.在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正确.

6.解析：

如图，连接，AC，易证∥，∴∠即为异面直线与所成的角.设AB=1，则，

，AC=

，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

7.解析：

如图，根据题意，BD⊥平面ABC，取AC的中点E，

因为AD=CD，所以DE⊥AC.因为BE⊥AC，所以∠BED就是

二面角D-AC-B的平面角.因为BE=，BD=1，

所以.

8.20π解析：

设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M.

在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，∠ABC＝（180°-120°）＝30°，AM==2.因此，所以此球的表面积等于.

9.DM⊥PC（答案不唯一）解析：

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，

∵底面ABCD各边都相等，∴底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD.

又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PCA，∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

10.16或272解析：

分两种情况求解：

当位于平面，之间时，如图

（1），连结，，因为，则，构成平面，则,=.因为∥，所以∥．所以△∽△.所以，即=，所以=16.

（2）当=位于平面同侧时，如图

（2），由于=，设，构成平面.因为,=，且∥，所以∥，从而有△∽△.则有，即=，解得=272.综上，=16或272.

11.③解析：

本题考查的是对垂直关系的定义的理解，同学们要走出“无数”的误区，如④中，可举反例，如两平面相交、平行等.

12.36cm解析：

设下底面的半径是则2π=24π，∴=12,从而可求得=36cm.

13.④解析：

对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则.对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形.对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．

14.

（1）

（2）（3）解析：

要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．在面ABCD和面上的投影是图乙

（1），在面和面上的投影是图乙

（2），在面和面上的投影是图乙（3）.

二、解答题

15.证明：

（1）连接HG，EF.

在△ABD中，点E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BD.

在△CBD中，CG=BC，CH=DC，

∴GH∥BD，∴GH∥EF，

∴EF与GH可确定一个平面，即E，F，G，H四点共面.

（2）由

（1）可知，EFHG为一平面四边形，且EF∥HG，EF≠HG，∴四边形EFHG为梯形.

EG，FH不平行，不妨设EG∩HF=O，

则O∈直线HF，O∈直线EG.

又直线EG⊂平面ABC，直线FH⊂平面ACD，

∴O∈平面ABC，O∈平面ACD，

∴O∈平面ABC∩平面ACD.

而平面ABC∩平面ACD=直线AC，

∴O∈直线AC，∴直线FH，EG，AC共点.

16.证明：

（1）依题意，折叠前后CD，BG的位置关系不改变，∴CD∥BG.

∵E，F分别为线段AC，AD的中点，在△ACD中，EF∥CD，∴EF∥BG.

又EF⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，∴EF∥平面ABG.

（2）将△ADG沿GD折起后，AG，GD的位置关系不改变，∴AG⊥GD.

又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG=GD，

AG⊂平面AGD，∴AG⊥平面BCDG.

17.解：

（1）∵BD是圆的直径，∠ABD=60°，

∴AB=R，AD=R.又△ADP∽△BAD，∴.∴PD==3R.

（2）∵BD是圆的直径，∴∠BCD=90°.又∠BDC=45°，∴BC=CD=R.

又PC=R，则，∴CD⊥PD.

又△ADP∽△BAD，∴∠ADP=∠BAD=90°，∴AD⊥PD.

又AD∩CD=D，∴PD⊥平面ABCD.

∵AB·BC·sin（60°+45°）=，

∴.

18.

（1）证法一：

如图

（1），取的中点，连接，.

由于∥∥，所以.因此平面即为平面.

连接，

由于平行且等于，平行且等于CD，所以平行且等于CD，

所以四边形为平行四边形，

因此∥.

又∥D，得∥.

而，C⊂平面，

故∥平面.

证法二：

因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，

AB∥CD，所以CD平行且等于AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.

又，，FC⊂平面，⊂平面，AD∩=D，AD⊂平面，⊂平面所以平面∥平面.

又⊂平面，所以∥平面.

（2）证明：

如图

（2），连接AC，

在△FBC中，FC=BC=FB，又F为AB的中点，所以AF=FC=FB，

因此∠ACB=90°，即AC⊥BC.

又，且，所以AC⊥平面C.

而AC⊂平面，故平面⊥平面C.

19.

（1）证明:

∵为中点，为中点，∴∥.

又∵MD⊄平面，AP平面APC，∴∥平面.

（2）证明:

∵△为正三角形,且为的中点，∴⊥.

又由

（1）知，∥，∴⊥

又已知⊥，∴⊥平面.

∴⊥.又∵⊥，∴⊥平面.

∴平面⊥平面.

20.

（1）证明：

由题设，知AD=CD=BD，如图，作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC，

∴O是△ABC的外心，即AB的中点.

∴O∈AB，即O∈平面ABD.

∴OD⊂平面ABD.

∴平面ABD⊥平面ABC.

（2）解:

取BD的中点E，连接CE、OE、OC，

∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.

又△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.

∴∠OEC为二面角C-BD-A的平面角.

同

（1）可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.

∴△COE为直角三角形.

设BC=a，则CE=，OE=，∴cos∠OEC==