线性代数性质公式整理教学文案.docx

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线性代数性质公式整理教学文案

线性代数性质公式整

、相关概念

1•行列式

线性代数

第一章行列式

町1

31«

a22…

di

«1!

|•

|igifdif■

■1P«

ani

鈿.2

at]n

是所有取自不同行不同列的

n阶行列式

n个元素

的乘积

的代数和，这里帘汀〜是1,2,・n•的一个排列。

当•是偶排列时，该项的

前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即

|釦1al2

V

这里.表示对所有n阶排列求和。

式（1.1）称为n阶行列式的完全展开式

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。

用表示排列'的逆序数。

3.偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排

列，否则称为奇排列

忖h

4.2阶与3阶行列式的展开一

|匚d

=ad-he

a21a22也3

对1日32^33

=^^22333+^12a23^31+a13a21a32_a13a22a31~312^21^33_alla23a32

行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式

A】】

A12

A21…

A22…A„2

6.伴随矩阵一一由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如

Alllv

称为A的伴随矩阵，记作…

、行列式的性质

1.经过转置行列式的值不变，即I：

lAl'k行列式行的性质与列的性质是对等

的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行相同（或两行成比例），行列式

的值为0.

3.某行如有公因子k,则可把k提出行列式记号外。

4.如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和:

白1+hj+hgaj4-b弓

引陀％

pHh2b$

G口3

—

5切5

+5czc3

6旳

didad3

|did2da

5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变:

pi岂为

al旳

b］帕b:

t

=bt+斶

b?

+kajb$+

1“巳5

1ci

“卬

6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积

之和为0三、行列式展开公式

n阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和,即

|A|=日Mi】+a^Aiz+…+引|崗产E；冷Sik|A按i行展开的展开式

lAl=叭佝十也i幅+…十anjAtii=严沁kjAki|A|按j列展开的展开式

四、行列式的公式

1.上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；

Ill'll-1}

2.关于副对角线的n阶行列式的值|A|=（_“r-3］屁］i］…如

3.两个特殊的拉普拉斯展开式：

如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则

|Sb|=|?

b|=IAHB|

A

申

=（-l）mn|A|||B|

1

1…

1

Xl

xtl

y2

Xn

=rrv：

v：

v„（x；-Xi）

4.范德蒙行列式十

*4-■■

**4-

1ji■1M

H皿一1

-.Tl—1

.rll—1

X1

X2…

xtb

5.抽象n阶方阵行列式公式（矩阵）

若A、B都是n阶矩阵，A'是A的伴随矩阵，若A可逆，入忑=⑴…血是

A的特征值：

'_『丨；JI；|AB|=|A||B|；&_卜「；■'--/：

1：

，

IaJ=缶；|A|=11卜］入j；若A-b|，则|A|=|0|，且特征值相同。

AA"=A4A=|A|E

一般情况下：

"土B|工風土画

五、行列式的计算

1.数字型行列式

将行列式化为上下三角，再按行或列展开；

化简技巧：

①将每列（行）都加到同一列（行），或者将每列（行）ki倍都加到同一列（行）。

②逐行（或逐列）相加

3利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式

数学归纳法①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1

时，命题正确。

2验证n=1和n=2时命题都正确，假设n

3对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。

2.抽象型行列式一一通常与矩阵一起考，利用行列式的性质（倍加、提公因数

k、拆项）等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。

☆利用单位矩阵f1\X恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。

3.行列式|A|是否为0的判定

若A=［「］是n阶矩阵，那么

行列式|A|=0I矩阵A不可逆

I秩r（A）

一

-0是矩阵A的特征值

A的列（行）向量线性相关。

因此，判断行列式是否为0,常用：

①秩；②齐次方程组是否有非零解；③看特征值是否为0;④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k工1时也能得出|A|=0

4.代数余子式求和

1按定义直接计算求和；

2用行列式的按行或列展开的公式。

由于鈿的值与知的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|,通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。

P205例20

3利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性质

4根据伴随矩阵A'的定义，通过求A-再来求和。

第二章矩阵

矩阵

mXn个数排成如下m行n列的一个表格

'all

…

5]

辺1

a22…

pli■

%1

3爲

称为是

、矩阵的概念及运算

个mXn矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。

如果一个矩阵所有元素都是0,则称为零矩阵，记作0。

两个矩阵人=⑻仏一，B=曲t，如果m=s,n=t，则称A与B是同型矩

阵

两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与B相等，记作A=B

矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。

二、矩阵的运算

1.（加法）设A、B是同型矩阵，则'''■■_■■■■■屯:

:

亠"：

工小_卫二亠打i乂，

2.（数乘）"A一kbijlmxII_出日丄】xit

3.（乘法）若A为mxs矩阵，B为sxn矩阵，则A、B可乘，且乘积AB是一个

mXn矩阵。

记成匸小^ijlmx11，其中

砌=冋训kj=aiibij+如切+•”+aisbHI

4.转置将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵、三、矩阵的运算规则

ABC为同型矩阵，则

1.加法——

|a+B=B+A；（A+B）+C=A+（13+C）：

A+O=A；Ai（-A）=O

2.数乘二丁八•--|

（k■+m）AkA+mA；k（A+B）=kA+kB；

1A=A；0A=d

3.乘法ABC满足可乘条件

（AD）C=A（BC）；A（B+C）-,\B+AC；（B+C）A=BA+

注意一般情况下AR註BAAB=O不能推出A=O或R=0AB=B且B芒0,不能推出A=E

力1001

:

h]001pqR00'

AB=

0a20

—

0t>20=10也2山0

00bj[00旳如

对角矩阵

i

.1

对角矩阵的逆矩阵

4.转置一一（A+B）7=AT+田；（3j「=kA1；（AB）T=B，r；（A‘『j「=A

5.伴随矩阵A，=|A|A]；AA•=A*八=|A|E；

’I-；

（at）11（⑷、曾H；叶|=|A|八；

（A）=|A|n-2A（门王2）

6.方阵的幕一一-1

注意（AB〕k=（AB）（AB）…（AB）工AkBk

（A+B）k=A2+AB+BA+r+2AB+B2

（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2

7.特殊方阵的幕（求用'）――

1若秩r（A）=l,则A可以分解为两个矩阵的乘枳，言A?

=IA，从而

A11=I11】A

例如P218

2特殊的二项式展开I

[BOln

a0'

③分块矩阵

[oc]=

0ch

b

4特征值、特征向量、相似

5简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。

四、特殊矩阵

设A是n阶矩阵：

1单位阵：

主对角元素为1,其余元素为0,记成

2数量阵：

数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。

3对角阵：

非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成

|A*A-diag[aLt*，巧I

4上（下）三角阵：

当i>/0

5对称阵：

满足厂=八，即|片空

6反对称阵：

满足A「=-A，即呦=-呷，即"的对称阵称为反对称阵。

7正交阵：

汽〉丁和矩阵称为正交阵，即“

8初等矩阵：

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。

9伴随矩阵：

见（一.1.6）■-=:

■■■■1

五、可逆矩阵

1.主要定理：

若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。

行列式不为0则矩阵可逆。

2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得I：

.成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成A"1=B

3.可逆的充要条件一一①存在n阶矩阵B使得AB=E

2胡「广，或秩r（A）=n，或A的列（行）向量线性无关

3齐次方程组Ax=0只有零解

4矩阵A的特征值不全为0

4.逆矩阵的运算性质一一若则（kA）-1-^-1

若A，B可逆，则（AB）l=A〔；特别地（A<）—〔AV若川可逆，则（AT）_1=（AA;（A〔I—A；=£

注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地（A+I幼GA1+B1

5.求逆矩阵的方法一一①若a'I■■■..■-

2初等变换⑷E）空早（e|aJ

3用定义求B,使得AB=E或BA=E，则A可逆且A1=B

④分块矩阵，设B,C都可逆，则

[B0〕

1

[B-101

[0B1

-1

■o

0C

[0C-1]；

C0

R-10

六、初等变换、初等矩阵

1.主要结论：

用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P

同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换

2.初等变换——设A是mxn矩阵，（倍乘）用某个非零常数k（kr0）乘A的某行

（列）的每个元素，（互换）互换A的某两行（列），（倍加）将A的某行例）元素的k倍加到另一行（列）。

称为初等变换。

3.初等矩阵由E经过一次初等变换所得的矩阵

互换初等矩阵

oo1

loo

倍乘初等矩阵

10CT

倍加初等矩阵呦91辛

4.等价矩阵一一矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成盘三B。

若人兰忖q］，则后者称为A的等价标准形。

（A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵。

）

5.初等矩阵与初等变换的性质

1初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；

2初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵

已¥（町=£伺，E『二E”，=

3II左行右列

4当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初

等矩阵P1，Pz，..Pn，使得Pn…PzPiA=E

七、矩阵的秩

1.求秩的主要方法：

经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，则

r（AB）r（B）.r（BA）=r（B）

2.矩阵的秩设A是mXn矩阵，若A中存在r阶子式不等于0,且所有叶1阶子式均为0,则称矩阵A的秩为r，记成r（A），零矩阵的秩规定为0。

3.矩阵的秩的性质——

f（A）严矩阵A中非零子式的最高阶数是r

二‘讣二节―a中每一个r阶子式全为0

r（A）>A中有r阶子式不为0

特别地，r（A）==0；AHO^r（A）>1

若A是n阶矩阵，”应ii“・门丄

r（A）

若A是mXn矩阵，贝则|r（AMmin{m”n}）

4.矩阵的秩的公式——

「⑷=r（A'j；r（A'A）=r（A）

当k工0时，「〔也）=r（A）；r（A+B）

『（AB）min{r（A）f（B）}；若a可逆，贝Ur（.AB）-r（B）tr（DA）-r（B）

若A是mXn矩阵，B是nXs矩阵，AB=O，贝A】：

；

分块矩阵鳴肛MA）+r®。

八、分块矩阵

1.概念一一将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵（或子块），把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。

由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。

2.分块矩阵的运算——对矩阵适当地分块处理（要保证相对应子块的运算能够合

理进行），就有如下运算法则:

0A讥

问旳]

ka4]+|

旳B斗

B4

At+BiA?

+Bj

A3+BjAq+B4

]|z

AX+BZAY+BW'

CX+DZCY+DW

[0Bl

C0

・oc-1B"10

to!

I

r4

FB（T

111

Bn0

[ocj

.0Cn

m阶与s阶矩阵，则

若A是mXn矩阵，B是nXS矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有

^B=A[pbp2/-^s]=[AP“A%严人比]=00,…X）]

盂負=讥讥=丿.“用即B的列向量是齐次方程组，*=匚的解。

线性表出P214

第三章、向量

一、n维向量的概念与运算

1.n维向量n个有序数组町边宀、切所构成的一个有序数组成为n维向量，记成|」或|「「，分别称为n维行向量或n维列向量，数称为向量的第i个分量。

2.零向量所有分量都是0的向量称为零向量，记为0

3.相等——n维向量厲=3|越严・罔$与"维向UU=（b】E，…,bJ相等，即

a=0—衍==b„

4.运算——n维向量■-^1..'」一：

—"•，：

「

（加法）肽h「

Q+0=B+n,（a+B）+y=ct+（p+Y）,a+O=O+a=a

（数乘）I：

"1■'■'-.

l・ot=a,k（lu）=（kl）o（,{k+l）a=kct+lu,k（a+P）=+kp

（内积）90）=讪X+a2b2+…+anbn=u'p=0%

小江-"■；•，称.j2:

j；i丨「为向量日的长度。

（ap）=（Pa）k（a,p）=Cka.p）=（cckp）

（«+站}=（8¥）+（PY）-（^a）>0，等号成立当且仅当a=0.特别地，如（卯）=0,则称a与B正交

二、线性表出、线性相关

1线性组合一一m个n维向量「及m个数丨丨所构成的向量

检町+kza2+二+讣&

称为向量组的一个线性组合，数1，称为组合系数。

2.线性表出一一

1对n维向量諒和"，如果存在实数卜「ml,使得

kjat+k2a24-…+血甌=p

则称向量卩是向量"陀严H的线性组合，或者说向量卩可由"盹严忌线性表出。

2设有两个n维向量组（I）•—「7；（n）"川-I''；如果（I）中每个向量㈢都可由（n）中的向量九衍宀Pi线性表出，贝U称向量组（I）可由向量组（n）线性表出。

如果（I）、（n）这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价

等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。

向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。

等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。

3.线性相关、无关一一对于n维向量|…"，如果存在不全为零的数

，使得

k]at+k邑+…+ksaN=0

则称向量组九也…线性相关，否则称它线性无关。

关于线性无关，只要・1不全为零，必有

晒+…+3宀0，或者，当且仅当k!

=k2=»=^=0时，才有

kiat+如2+…+ksas=0

显然，含有：

零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，

而阶梯形向量组一定是线性无关的。

证明：

证明线性无关通常的思路是：

用定义法（同乘或拆项重组），用秩（秩

等于向量个数则线性无关），齐次方程组只有零解或反证法。

4.重要定理——

1n维向量组釦总翱⑴龟线性相关-齐次方程组（釦歳&「餌丿…=0有非零解

卜秩r（aba2/**,as）

2n个n维向量al*a:

i*，+，*an线性相关if亍列式〔3说丑…此|=0

3I个n维向量必线性相关。

4如果''线性相关，则①.""心心「八“5必线性相关。

5如果n维向量组"盼沁线性无关，贝尼的延伸组G；）（竄）宀G：

）必线

性无关。

6n维向量0可由御总去…a、线性表出I非齐次方程组4】总宀…旧m）…二卩有

解

4秩r（佥皿丑…总m）=「（叭牡…孔邛）

7向量组町向2严「叭线性相关尸至少有一个向量叫由其余S-1个向量线性表出。

8向量组1■"线性无关，而向量组向量组」「卩线性相关，则向

量B可由航股严赳线性表出，且表示方法唯一。

9设有两个n维向量组（I）■「"■1；（n）「卩1；|,如果向量组（I）可

由向量组（n）线性表出，且，贝U''11「必线性相关。

若n维向量组1j可由卩I；I；线性表出，且1”线性无关，

则s

三、极大线性无关组、秩

1.概念一一设向量组叭叱沁中，有一个部分组站皿⑵…罔心毎「"，满足条件

111■■'线性无关；

2再添加任一向量即02"）,向量组"％…別必线性相关；（向量组九弧…忌中任何一个向量引必可由…砂线性表出）

则称向量组和叫宀軋是向量组町砂严忌的一个极大线性无关组。

注：

只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。

一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。

向量组的极大线性无关组一般不唯一，但其极大线性无关组的向量个数是一样的。

2.秩——向量孔血…，亀的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的

秩。

记为M引总amJ=r0（广（引总壬I心诃;、i）|）

如果向量组（I）"牡…息可由（H）01旳宀攸线性表出，则「⑴玄!

■（町

3.注意一一求向量组的极大无关组时，只能都作行变换（或都做列变换），不能混合行列变换。

如果只是求向量组的秩，贝U可以混合行列变化。

四、施密特正交化、正交矩阵

1.正交矩阵一一设A是n阶矩阵，满足'I\%，则A是正交矩阵。

A是正交矩阵—A「=A1

'的向量组是正交规范向量组，如A是正交矩阵，则行列式

|A|=1或-1。

2.施密特正交化一一设向量组"以-；；线性无关，其正交规范化方法步骤如

下：

令Pi=«1

Pi=az_（F?

^i

03-口3（鮎卩工）旳，

则Bl，卩2*阳两两正交。

再将“阳旳单位化，取丫1=朴¥工=|；：

『¥：

厂|；；|

则v是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）

第四章线性方程组

、克拉默法则

1.概念一一若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组

的系数行列式|A|^0,贝昉程组有唯一解，且

fllX]+312^2+…+3和=1>1hzi^i+a竝也+…+aauXn=b2

I9>»

+如2出+…+餉儿=九

耐=命i=lZ・..n。

其中心1是IA|中的第i列元素（即为的处数）替换成方程组右

端的常数项h'—“Jl-所构成的行列式

2.推论一一若包含n个方程n个未知量的奇次线性方程组

11x]+c.1+…+ciinx1L=0

的系数行列式忆匚的充要条件是方程组有唯

^21^1+^22^2+■■■+旳1為1=0

厲皿衍+ari2x2+…+armxn=0

解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要条件是引-时

、齐次线性方程组

1.形式n个未知量m个方程组成的方程组

向量形式：

旳衍十叫巾+小+%心=°其中

矩阵形式：

Am■nX=0

2.齐次线性方程组的解一一若将有序数组55…心代入方程组的未知量

D畑F』，使每个方程等式成立，则称【55…心F为方程组的一个解（或解向量），记成'-

3.齐次线性方程组的基础解系一一

设」、-是AX=0的解向量，若满足

1」、心线性无关；

2AX=0的任一解向量均可由线性表出。

等价于：

（加入任一解向量“-）

I,即线性无关解向量的个数为I，满足

「、丄丄上匸二「浪|）

则称向量"1'■是AX=0的基础解系。

4.AX=0的解的性质——若"二是齐次线性方程组AX=0的解，则

k;-''、•-仍是AX=0的解，其中ki,，k2是任意常数。

推广到多个解

5.AX=0有解的条件一一齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。

AX=0只有零解方程组的列向量组线性无关|■'11

AX=0有非零解方程组的列向量组线性相关|-1-1'■-

6.基础解系向量个数与秩的关系——舌'壬；丄■>|，则齐次线性

方程组^:

=［存在基础解系，且基础解系由■个线性无关解向量组成，故

基X贰卩刁1:

tI讥

7.AX=0的通解——设w心是AX=0的基础解系，则

Mi+k2fe+-+kll_r5n-r是ax=0的通解，其中ki是任意常数。

8.基础解系和通解的求法一一初等行变换

三、非齐次线性方程组

1.形式n个未知量m个方程组成的方程组

向量形式：

口1衍+呵勺++叫知=I）其中円=战卜…罔

矩阵形式：

A撷=X=bb=［b］血•…,bnJ

2.AX=b的解的性质——设血川是AX=b的两个解，&是对应齐次方程AX=0的解，则

A（ni-nz）=0.A（ill+k?

）=b

3.AX=b有解的条件一一

AX=b无解冋b不能由A的列向量组打…mJ线性表出

or（A）丰r（A|b）r（A）+1=r（A|b）

AX=b有解冋b可以由A的列向量组■-11''「线性表出

*->r（A）=r（A|b）

AX=b有唯一解戸「（如」血产・&J=r（aba2/-,a1|pb）=n

"d侶旷沁n线性无关，刊MNWnrb线性相关

Ib可以由A的列向量组％巴，…心线性表出且表示唯一。

AX=b有无穷解wHotnotzmJ=r