现代控制理论东北大学高立群清华大学出版社第6章.docx
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现代控制理论东北大学高立群清华大学出版社第6章
第6章“状态反馈和状态观测器”习题与解答
6.1判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。
I)
2)
解1)
1」LoJ
■X=
1
0
0
%=[b
=2,系统完全能控,所以可以用状态反馈
任意配置特征值。
2)叫=[b
AbA2b~]=
0
-2
0
秩叫・=2,系统不完全能
控,所以不能通过状态反馈任意配置特征值匚
6.2已知系统为
*2=X3
xy=-Xj一x2—x3+3u
试确左线性状态反馈控制律,使闭环极点都是-3,并画出闭环系统的结构图。
解根据题意,理想特征多项式为
a(5)=(s+3)3=?
+9/+27s+27
令w=—[^k2k3]x,
并带入原系统的状态方程,可得
_0
1
o'
O
0
0
1
x+
0
-1
-1
_L
2
010
x=00
—1—3占一1—3他_]_3«3
其特征多项式为a(s)=f+(l+3妬)疋+(1+3為”+(1+3热),通过比较系数得
1+3/=9,1+3«=27,
1+3禺=27,
即,X孚,匕=卑,亡
闭环系统的结构图:
26268
r1
6.3给泄系统的传递函数为
G(f)=
5(5+4)(5+8)
试确立线性状态反馈律,使闭环极点为-2,-4,-7。
解根据题意,理想特征多项式为
(5)=(5+2)(5+4)(5+7)=55+13“+50s+56由传递函数£(y)=I—]
*s(s+4)(5+8)s'+12$'+32$
可写出原系统的能控标准形
'0
1
0
X=
0
0
1
x+
0
0
-32
-12
1
k3]x,并带入原系统的状态方程,可得
0
x=0
~k\
其特征多项式为
0
1
—32—k、_12—心
a(s)=2+(12+心)“+(32+£)$+3«通过比较系数得
k、=56,32+人=50,12+&=13,即匕=56,£=1&心=1。
6.4给泄单输入线性左常系统为:
"0
0
0'
T
1
-6
0
X+
0
0
1
一12
0
试求岀状态反馈u=-kx使得闭环系统的特征值为石=-2,心=-1+人石=-1-)o解易知系统为完全能控,故满足可配置条件。
系统的特征多项式为
S
0
0'
det(5/-A)=det
-1
5+6
0
=?
+18?
+725
0
-1
5+12
进而计算理想特征多项式
a\s)=口($-&')=(3+2)(5+1-j)(5+1+J)=s'+4“+6$+4j-i
于是,可求得
k=[a*-a 再来计算变换阵 a2 r 1 0 0・ ■72 18 f P=\bAbA2b~ a2 1 0 = 0 1 -6 18 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 72181 =1210 100 并求岀其逆 _001 Q=Pl=01-12 1-18144 从而,所要确左的反馈增益阵斤即为: 00 k=kQ=[4.-66,-14]01 1-18 1 -12=[-14,186,-1220] 144 6.5给泄系统的传递函数为 gG)= (5-1)(5+2) (5+1)(5-2)(5+3) G-I) (5+2)(5+3) (s+2) (5+1)(5+3) 试问能否用状态反馈将函数变为: 若有可能,试分别求出状态反馈增益阵并画岀结构图。 解当给泄任意一个有理真分式传递函数G(s)时,都可以得到它的一个能控标准形实现,利用这个能控标准形可任意配置闭环系统的极点。 对于传递函数G(沪,所对应的能控标准型为 '0 1 o' O 0 0 1 x+ 0 6 5 -2_ 1 利用上而两题中方法可知, 通过状态反馈M=—[18215找能将极点配置为 一2,—2,—3,此时所对应的闭环传递数为心($)= U-1) (5+2)(5+3) o通过状态反馈 ”=一[341卜能将极点配置为1,-1,-3,此时所对应的闭环传递数为 珀($)_($+2)°从而,可看出状态反馈可以任意配置传递函数的极点,但不能任意配(s+l)(s・+3) 置其零点。 闭环系统结构图 I) 2) J 6.6判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 G(s)= 3 52+2 4$+1 2 +5+1 1 3 0 0 2 0 解 1)〃]=min{2.2}-l=1,E{=[32],£=min{l,l}—1=0,E2=[41], "32' 41 E= 非奇异.所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 2)因为 00 c】B=[2-11]10=[-11], 01 00 c2B=[O21]10=[2 01 I] 所以a=4=o, >■ E= 2 o又因为E非奇异,所以能用状态反馈和输入变 换实现解耦控制。 6.8给上双输入一双输出的线性左常受控系统为 1 0 0' '0 0' 0 0 2 1 0 X+ 0 0 1 0 0 -2 0 0 _0 1 0 0 o' X 0 1 0 0 3 0 0 1 试判左该系统用状态反馈和输入变换实现解耦? 若能,试立出实现积分型解耦的K和E°最后将解耦后子系统的极点分别配豊到尤=-2,人;=-4;码=-2+人心=-2-八 解易知该系统完全能控能匚 1)判定能否解耦 因为 c}B=[\000] 0 1 0 0 0 0 0 1 =[0 0] 「010(/ 0o' 3002 10 0001 00 0-200 01 c}AB=[\000] 珂1 0] c2B=[O010] 0 1 0 0 0 0 0 1 =[° °] '0100_ '00' 3002 10 0001 00 0-200 01. c2AB=[0010] 1] 于是可知d|=l, =1;耳=[1 0],e2=[o 11o因为dU1 JLeJl。 异,因此可进行解耦。 2)导出积分型解耦系统 计算 杠口300c2A2\~[o-20 L=E} 0 1 02 00 00 00 01 00 B=BE 01 _.00A=A^BE}F= 00 00 1000 =C=0010 3)确左状态反馈增益矩阵&令 &屮W褊00L00^205 则可得 01 A-BK=%~ku 01 _~k20~k2\_对解耦后的两个子系统分別求岀理想特征多项式 f^(s)=(5+2)(5+4)=s2+6s+8 /;(s)=(s+2-j)(s+2+y)=52+45+5进而,可求出kl0=&从而 =6;k®=&匕、=4 4)确左受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩阵对{E,K} 10_ 01 K=E']F+E}K=F+K L=EX '3 0 0 21 」8 6 0 °1_ 6 0 2 0 -2 0 0? 0 5 4P 10 -2 5 4 5)确左岀解耦后闭环系统的状态空间方程和传递函数矩阵 1 -6 0 0 x=(A-BK)x+BLv= y=Cx 传递函数矩阵则为: 0 -8 0 0 0 0 0 -5 Gkl(s)=C(W—4+BKy'BL= ] 52+65+8 ] s'+4s+5- 6.9给泄系统的状态空间表达式为 -1 -2 ■ 一3 ■■ 2 0 -1 1 X+ 0 1 0 -1 _1 呵110]x 1)设计一个具有特征值为-二-4,-5的全维状态观测器: 2)设计一个具有特征值为-3,-4的降维状态观测器: 3)画出系统结构图。 解 1)设汁全维状态观测器 方法1 5+10一1 det(5/-A1)=25+10=s+3s2+65+6 3—15+1 q=3,a2=69 观测器的期望特征多项式为 0=国一5a2—a a(5)=(s+3)($+4)(5+5)=s'+1252+475+60 a\=12,=47,a\=60 419] r 0 0 =[54 '1-1 -f "6 3 f ■2 2 r 1 —3 5 3 1 0 = 2 0 1 0 -2 2. 1 0 0 -4 -2 0 2 -4 -4 -2 4 -4 2 0 -4 丄 4 £ 2 £ 2 丄 4 丄 ~2 丄 2 Er=EyP=- 23丄_9 22 状态观测器的状态方程为 i=(A-EC)x+Bu+Ey -1 0 1 23 T _5 2-9 [1 0] 4 >x+ 23 ~2 _5 2 -9 25T5 2 10 27T3 2 9 '23' ~2 ~2 a 5 X+ 0 U+ — 1 2 1 -9 1 方法2 =det 2+1+E] e2 5j 2+E2 兄+1+ 耳 3 -1 2+1 p00' '-I-2-3' <0/10 — 0-11 + e2 [110]' 00A •J— 10-1 A. • det[2Z-(A-EC)]=det =才+(E[+E、+3)A*+(2E[—2E3+6)2+(2E、+2E=—4E§+6) 与期望特征多项式比较系数得 E{+E2=\2 2E1-2E3+6=47 2厶+2览一4耳+6=60 解方程组得 23 ~2 I」 -1 1 0 2)设计降维观测状态器 '0 0 r D X= 0 1 0 C 1 1 0 令x=Px= x,则有P" ・-1-11■ T 1-10 可 + 0 A>iA” L2】22」 ■■■ -2-2-1 1--J 2 y=cP^lx=[00 依题意可知降维观测器的期望特征多项式为 a\s)=(5+3)(5+4)=s'+7s+12 设£= (瓦]-瓯J= j-E 「-J 2可一12ej-l' 2爲+12^-1. 于是 s—2©+11—2© s-2e2+\_ =丁一+$—2e、s+4©£s—2©+s—2 7+1+2勺一4©幺2+1—2q =s2+(2-2e{一2石”一4召+2 比较系数得方程组 2_2百_2乙=7 -4召+2=12 解方程组知: 召=-丄,百=0,于是降维状态观测器的方程为 2二 detg一(A][-EAjj]=det 一2乙一1 3)闭环系统结构图: 全维状态观测器结构图: A-3 降维状态观测器结构图:
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