六年级下册奥数专题练习实践与实际操作含答案 全国通用.docx
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六年级下册奥数专题练习实践与实际操作含答案全国通用
实践与实际操作
【最短路线】
例1一只蚂蚁要从A处出发,经粘合在一块木板上的正方体(如图5.74)的表面爬到B处。
请你在图上画出最短的路线(看得见的画实线,看不见的画虚线),有几条就画几条。
(1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
可将正方体的几个面,按正视位置的前面—上面展开,前面—右面展开,左面—后面展开,左边—上面展开,其展开图都是由两个正方形面组成的长方形(如图5.75所示)。
根据两点之间直线段最短的原理,故最短路线为每个长方形对角线,它们共有四条,如图5.76所示。
例2请你在图5.77(3)、(4)、(5)上画出三种与图
(2)不一样的设计图,使它们折起来后,都成为图
(1)所示的长方形盒子(粗线和各棱交于棱的中点)。
(第四届《从小爱数学》邀请赛试题)讲析:
解题的关键,是要分清实线与虚线,然后思考它们是按什么方式展开的。
不难想象,其答案如图(3)、(4)、(5)所示。
【切分图形】
例1请将图5.78分成面积相等,形状相同,且每一块中都含有“数学竞赛”字样的四块图形。
(“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
从条件看,所分成的每一块图中,必须有四个小正方形,且只有五种(如图5.79)。
根据图中汉字的具体位置,可发现图5.79中图
(1)、图
(2)明显不合,图(3)、图(4)也不能分成。
于是只剩下图(5)。
进一步搜索,便可得到答案。
答案如图5.80所示。
例2在一张正方形纸上画两个三角形,最多可以把这个正方形分成________块,画三个三角形,最多可以把这个正方形分成________块;画四个三角形,最多可以把这个正方形分成_________块。
(1990年无锡市小学数学竞赛试题)
讲析:
可先找出规律。
在正方形纸上,画一个三角形,依次画三条边时,增加了(1+1+1)块,最多可把它分成4块;画二个三角形,依次画三条边时,增加了(3+3+3)块,共13块;画三个三角形,依次画三条边时,增加了(5+5+5)块,共28块,如图5.81所示。
由此推得,画四个三角形,可增加(7+7+7)块,最多,共49块。
【拼合图形】
例1图5.82是由图5.83中的六块图形拼合而成的,其中图①放在中间一列的某一格。
请在图5.82中找出这六个图形,并画出来。
(1993年全国小学数学奥林匹克总决赛试题)
讲析:
可先确定图①的位置。
因为图①在中间的一列的某一格,当图①放在A、B、C处时,经试验,与其它五图不能拼成图5.82。
当图①放在D处时,这六幅图可以拼成图5.82。
拼法如图5.84所示。
例27块正方体积木堆在桌上。
从东、南、西、北四个方向看去,所看到的一面都只有5个正方形,而且看到的图案是一样的。
(如图5.85)。
那么从上面看下去,看到的图形可能是什么
样的?
请在图5.86中正确的图形下面打
“√”,错误的图形下面打“×”。
(《从小爱数学》邀请赛第五届试题)
讲析:
上面的七幅图都是俯视图。
在看每幅图是否正确时,关键是想象出将另两块积木,放在这五块中哪两块的上面,然后分别从东西南北四个方向去看,得出的图形是否与图5.85相吻合。
经试验,得出的答案如图5.86所示,即按从左往右,从上至下的位置,依次为√、√、×、√、×、√、√。
省工省时问题
例1某车队有4辆汽车,担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任
(图5.97所标出的数是各分厂所需装卸工人数)。
若各分厂自派装卸工,则共需33人。
若让一部分人跟车装卸,在需要装卸工人数较多的分厂再配备一个或几个装卸工,那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数,又使装卸工人数最少?
(h#Y.}8A,R,m
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(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
9F5p7A"w9r3t;B4G;c 讲析:
可从需要工人数最少的E分厂着手。
假定每辆车上配备3人,则需在D、C、B、A、F五处分别派1、5、2、3、4人,共需27人。
若每车配备4人,则需在C、B、A、F四处分别派4、1、2、3人,共需26人。
若每车配备5人,则需在C、A、F三处分别派3、1、2人,共需26人。
1d2\;q8n7J:
\8E'd 所以,上面的第二、三种方案均可,人数为26人。
例2少先队员在植树中,每人植树2棵。
如果一个人挖一个树坑需要25分钟,运树苗一趟(最多可运4棵)需要20分钟,提一桶水(可浇4棵树)需要10分钟,栽好一棵树需要10分钟,现在以两个人为一个小组进行合作,那么,完成植树任务所需的最短时间是______分钟。
3J2f$j+E(?
9Y!
m (福州市鼓楼区小学数学竞赛试题)
&Y&p#S'P.I!
r7I#Z 讲析:
可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排,用图5.98来表示出来。
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由图可知,完成任务所需的最短时间,是85分钟。
例3若干箱同样的货物总重19.5吨,只知每箱重量不超过353千克。
今有载重量为1.5吨的汽车,至少需要______辆,才能保证把这些货物一次全部运走。
(箱子不能拆开)
(北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
$g.^+T0_)j-O 讲析:
关键是要理解“至少几辆车,才能保证一次运走”的含义。
也就是说,在最大浪费车位的情况下,最少要几辆车。
-P7n8z:
O1W+N ∵这堆货物箱数至少有:
19500÷353≈55.2≈56(箱);
一辆汽车每次最多能装的箱数:
-M3~-y6y)\$@;s.y;l"F 1500÷353≈4.2≈4(箱)。
-t#D8S2[0D/G3j"} ∴一次全部运走所有货物,至少需要汽车56÷4=14(辆)。
例4如图5.99,一条公路(粗线)两侧有7个工厂(01、02、……、07),通过小路(细线)分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。
现在要设置一个车站,使各工厂(沿小路和公路走)的距离总和越小越好。
这个车站应设在一______点。
6m4m1p)C*` m.i,d9t;@4d (1992年福州市小学数学竞赛试题)
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讲析:
从各工厂到车站,总是先走小路,小路的总长不变,所以问题可转化为:
“在一条公路上的A、B、C、D、E、F处各有一个工厂,D处有两个工厂。
要在公路上设一个站,使各厂到车站的距离总和最小(如图5.100)。
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显然,车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。
-s9?
'|3~)q$S1` 如果车站设在D处,则各厂到D总长是:
(DA+DF)+(DB+DE)+DC=AF+BE+DC;
0R:
y*t4A-f:
?
)l 如果车站设在C处,则各厂到C总长是
1m9A7m2G7v#I7Z%J0P%O (CA+CF)+(BC+CE)+2·DC=AF+BE+2·DC。
比较上面两个式子得:
当车站设在D处时,七厂到车站的距离总和最小。
【费用最少问题】
%N7Q/}8H+p9z 例1在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图5.101),共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物,二号仓库存有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费,那么最少要花多少运费才行?
(全国第一届“华杯赛”复赛试题)
$F+@5m'Q"x
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讲析:
这类问题思考时,要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。
处理的方法是:
“小往大处靠”。
因为第五个仓库有40吨,比第一、二仓库货物的总和还多。
所以,尽量把第五个仓库的货不动或者动得最近。
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"f:
n)r;z9J5V.p 当存放站设在第四仓库时,一、二、五仓库货物运输的吨千米数为:
8K,G4~2O5D&|9b0I+o-y*l 10×300+20×200+40×100=11000;
}%q&H$z!
M.b2z7~.v)l!
Z 当存放站设在第五仓库时,一、二仓库货物运输的吨千米数为:
%l3Q;[)z'J%v:
T4U 10×400+20×300=10000。
$K:
B6}2B"g0Z3T2v$p*?
所以,存放点应设在第五号仓库,运费最少。
运费是0.5×10000=5000(元)。
9M8b)w9z!
X:
y4y*J6} 例2有十个村,坐落在从县城出发的一条公路上(如图(5.102,单位:
千米),要安装水管,从县城送自来水到各村,可用粗细两种水管,粗管足够供应所有各村用水,细管只能供一个村用水,粗管每千米要用8千元,细管每千米要用2千元。
把粗管细管适当搭配,互相连接,可降低工程总费用。
按最节省的办法,费用应是多少?
(全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题)
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讲析:
因为粗管每千米的费用是细管的4倍,所以应该在需要安装四根或四根以上水管的地段,都应安装粗管。
因此,只有到最后三个村安装细管,费用才最省。
:
e(O:
Y3L5i8Q:
] 不难求出,最少费用为414000元。
容斥原理问题
例1在1至1000的自然数中,不能被5或7整除的数有______个。
(莫斯科市第四届小学数学竞赛试题)
讲析:
能被5整除的数共有1000÷5=200(个);
能被7整除的数共有1000÷7=142(个)……6(个);
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28(个)……20(个)。
所以,能被5或7整除的数一共有(即重复了的共有):
200+142—28=314(个);
不能被5或7整除的数一共有
1000—314=686(个)。
例2某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到了优秀。
这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:
求这个班的学生人数。
(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
讲析:
如图5.90,图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。
只有篮球一项达到优秀的有
15—6—5+2=6(人);
只有游泳一项达到优秀的有
18—6—6+2=8(人);
只有短跑一项达到优秀的有
17—6—5+2=8(人)。
获得两项或者三项优秀的有
6+6+5—2×2=13(人)。
另有4人一项都没获优秀。
所以,这个班学生人数是13+6+8+8+4=39(人)。
31、奇数偶数与奇偶性分析
【奇数和偶数】
例1用l、2、3、4、5这五个数两两相乘,可以得到10个不同的乘积。
问乘积中是偶数多还是奇数多?
(全国第二届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:
如果两个整数的积是奇数,那么这两个整数都必须是奇数。
在这五个数中,只有三个奇数,两两相乘可以得到3个不同的奇数积。
而偶数积共有7个。
所以,乘积中是偶数的多。
例2有两组数,甲组:
1、3、5、7、9……、23;乙组:
2、4、6、8、10、……24,从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加,能得到______个不同的和。
(《现代小学数学》邀请赛试题)
讲析:
甲组有12个奇数,乙组有12个偶数。
甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和,必为奇数,其中最大是47,最小是3。
从3到47不同的奇数共有23个。
所以,能得到23个不同的和。
本题中,我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加,会得到12×12=144(个)不同的和。
因为其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】
例1某班同学参加学校的数学竞赛。
试题共50道。
评分标准是:
答对一道给3分,不答给1分,答错倒扣1分。
请你说明:
该班同学得分总和一定是偶数。
(全国第三届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:
如果50道题都答对,共可得150分,是一个偶数。
每答错一道题,就要相差4分,不管答错多少道题,4的倍数总是偶数。
150减偶数,差仍然是一个偶数。
同理,每不答一道题,就相差2分,不管有多少道题不答,2的倍数总是偶数,偶数加偶数之和为偶数。
所以,全班每个同学的分数都是偶数。
则全班同学的得分之和也一定是个偶数。
例25只杯子杯口全都朝上。
规定每次翻转4只杯子,经过若干次后,能否使杯口全部朝下?
(美国小学数学奥林匹克通讯赛试题)
讲析:
一只杯口朝上的杯子,要想使杯口朝下,必须翻转奇数次。
要想5只杯口全都朝上的杯子,杯口全都朝下,则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。
现在每次只翻转4只杯子,无论翻多少回,总次数一定是偶数。
所以,不能使杯口全部朝下。
例3某班共有25个同学。
坐成5行5列的方阵。
我们想让每个同学都坐到与他相邻的座位上去。
(指前、后、左、右),能否做得到?
(广州市小学数学竞赛预赛试题)
讲析:
如图5.44,为了方便,我们将每一格用A或B表示,也就是与A相邻的用B表示,与B相邻的用A表示。
要想使每位同学都坐到相邻座位上去,也就是说坐A座位的同学都要坐到B座位上去,而坐B座位上的同学都要坐到A座位上去。
但是,A座位共13个,而B座位共12个,所以,不管怎样坐,要想坐A座位的同学都坐到B座位上去,是办不到的。
例4线段AB的两个端点,一个标以红色,一个标以蓝色。
在线段中间插入1991个分点,每个分点随意标上红色或蓝色。
这样分得1992条不重叠的小线段,如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段,那么标准线段的条数是奇数还是偶数?
(1992年长沙市小学数学竞赛预选赛试题)
讲析:
每插入一个点,无论其颜色怎样,其非标准线段的条数增加0条或2条,所以插入1991个点后,非标准线段增加总数是一个偶数。
又原非标准线段条数为1,是一个奇数,故最后得到的非标准线段必为奇数。
非标准线段条数+标准线段条数=1992条。
所以,标准线段的条数是奇数。
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