一元一次方程知识点及经典例题.docx

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一元一次方程知识点及经典例题

一、知识要点梳理

知识点一：

方程和方程的解

1.方程：

含有_____________的______叫方程

注意：

a.必须是等式b.必须含有未知数。

易错点：

（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；

（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。

考法：

判断是不是方程：

例：

下列式子：

（1）.8-7=1+0

（2）.

1、一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：

ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。

要点诠释：

一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

（3）整式方程．

2、方程的解：

判断一个数是否是某方程的解：

将其代入方程两边，看两边是否相等．

知识点二：

一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；（c为一个数或一个式子）。

等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么

要点诠释：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：

（其中m≠0）

特别须注意：

分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）

化为整数，如方程：

－

=1.6，将其化为：

－

=1.6。

方程的

右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：

解一元一次方程的一般步骤

变形

具体方法

变形根据

注意事项

步骤

去分

方程两边都乘以

1．不能漏乘不含分母的项；

各个分母的最小公倍

等式性质2

2．分数线起到括号作用，去掉分母

母

数

后，如果分子是多项式，则要加括号

1

去括

先去小括号，再去

乘法分配律、

1．分配律应满足分配到每一项

号

中括号，最后去大括号

去括号法则

2．注意符号，特别是去掉括号

把含有未知数的

1．移项要变号；

移

项移到方程的一边，不

等式性质1

2．一般把含有未知数的项移到方程

项

含有未知数的项移到

左边，其余项移到右边

另一边

合并

把方程中的同类项

同

分别合并，化成

合并同类项

合并同类项时，把同类项的系数

类

“ax

b”的形式

法则

相加，字母与字母的指数不变

项

（a

0）

未知

方程两边同除以

数的

未知数的系数

a，得

系数

等式性质2

分子、分母不能颠倒

b

化成

x

“1”

a

要点诠释：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

①a≠0时，方程有唯一解；

②a=0，b=0时，方程有无数个解；

③a=0，b≠0时，方程无解。

牛刀小试

例1、解方程

（1）y-y1

2

y2

2

5

例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值

已知方程x104x的解与方程5x2m2的解相同，求m的值.

例3、解方程知识与绝对值知识综合题型

解方程：

|2x1|

7

3

2

二、经典例题透析

类型一：

一元一次方程的相关概念

1、已知下列各式：

①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦

＝8；⑧x＝0。

其中方程的个数是（）

A、5B、6C、7D、8

举一反三：

[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：

（1）-2x2+3=x

（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）

[变式2]已知：

（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6＝0是一元一次方程，求a的值。

[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是（）

A．－5B．5C．7D．2

类型二：

一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

如

果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。

1．巧凑整数解方程：

2、

举一反三：

[变式]解方程：

＝2x－5

2．．巧去括号解方程：

4、

举一反三：

[变式]解方程：

3

4．运用拆项法解方程：

5、

5．巧去分母解方程：

6、

举一反三：

[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号

内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

解：

原方程可变形为（__________________________）

去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（__________________________）

去括号，得9x+15=4x-2.（____________________________）

（____________________）,得9x-4x=-15-2.（____________________________）

合并，得5x=-17.（合并同类项）

（____________________）,得x=.（_________________________）

6．巧组合解方程：

7、

思路点拨：

按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第

一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。

7．巧解含有绝对值的方程：

8、|x－2|－3＝0

思路点拨：

解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一

次方程。

对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两

个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义

进行去括号，如解法二。

举一反三：

【变式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是________.

4

；

[变式2]5|x|-16＝3|x|-4

[变式3]

8．利用整体思想解方程：

9、

思路点拨：

因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，

先求出整体的值，进而再求的值。

参考答案

例1：

解：

是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B

总结升华：

根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：

一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。

举一反三

1.解析：

判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。

答案：

（1）

（2）（3）不是，（4）是

2.解析：

分两种情况：

（1）只含字母y，则有（a-3）（2a+5）＝0且a-3≠0

（2）只含字母x，则有a-3＝0且（a-3）（2a+5）≠0不可能

综上，a的值为。

3.答案：

B

例2.解：

移项，得。

合并同类项，得2x＝－1。

系数化为1，得x＝－。

举一反三

解：

原方程可变形为

＝2x－5

整理，得8x＋18－（2＋15x）＝2x－5，

去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5

5

移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2

合并同类项，得－9x＝－21

系数化为1，得x＝。

例4解：

去括号，得

去小括号，得

去分母，得（3x－5）－8＝8

去括号、移项、合并同类项，得3x＝21

两边同除以3，得x＝7

∴原方程的解为x＝7

举一反三

解：

依次移项、去分母、去大括号，得

依次移项、去分母、去中括号，得

依次移项、去分母、去小括号，得

，∴x＝48

例5解：

原方程逆用分数加减法法则，得

移项、合并同类项，得。

系数化为1，得。

例6解：

原方程化为

去分母，得100x－（13－20x）＝7

去括号、移项、合并同类项，得120x＝20

两边同除以120，得x＝

6

∴原方程的解为

总结升华：

应用分数性质时要和等式性质相区别。

可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。

举一反三

【答案】解：

原方程可变形为（_分式的基本性质_）

去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（_等式性质2_）

去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）

（______移项_______）,得9x-4x=-15-2.（等式性质1_）

合并，得5x=-17.（合并同类项）

（_______系数化为1____）,得x=.（等式性质2）

例7解：

移项通分，得

化简，得

去分母，得8x－144＝9x－99。

移项、合并，得x＝－45。

例8解法一：

移项，得|x－2|＝3

当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5

当x－2＜0时，原方程可化为－（x－2）＝3，解得x＝－1。

所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：

x＝5或x＝－1。

解法二：

移项，得|x－2|＝3。

因为绝对值等于3的数有两个：

3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。

分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。

举一反三

1.

【答案】

2.

解：

5|x|-3|x|＝16-4

2|x|＝12

|x|＝6

＝±6

x

3.

解：

|3x-1|＝8

3x-1＝±8

3x＝1±8

3x＝9或3x＝-7

x＝3或

7

例9解：

移项通分，得：

化简，得：

移项，系数化1得：

总结升华：

解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应变（灵活打乱步骤）解方程。

对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。

三、课堂练习

一、选择题

3

;

（2）0.3x=1;（3）

x

2

其中

1、已知下列方程：

（1）x-2=

=5x-1;（4）x

-4x=3;（5）x=0;（6）x+2y=0.

x

2

一元一次方程的个数是（

）

A2

B3

C

4

D5

2、下列四组变形中，正确的是（）

A由5x+7=0,得5x=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0

x

1

D由5x=7,得x=35

C由=2,得x=

3

6

3、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头

2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头

3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（

）

A

6小时

B5

小时

C2小时

D3小时

5

6

4、下列方程中，是由方程

7x-8=x+3

变形而得到的是（

）

A

7x=x+5

B

7x+5=x

C

6x=11

D

-8+3=-6x

5、下列方程的变形中，是移项的是（）

55

A由3=x，得x=3B由6x=3+5x，得6x=5x+3

22

8

⑤x

6；⑥x

2y

0．其中一元一次方程的个数是

（

）．

A．2

B．3

C．4

D．5

13已知关于

x

的方程

ax

5（2a

1）x

的解是x

1，则

a

的值是

（

）．

、

A．-5

B．-6

C．-7

D．8

14、方程

3x5

2x

移项后，正确的是

（

）．

1

A．3x

2x

5

1

B．3x

2x

1

5

C．3x

2x

1

5

D．3x

2x

1

5

15、

2x

4

3

x1

，去分母得

（

）．

方程2

3

2

A．2

2（2x

4）

3

3（x

1）

B．12

3（2x

4）

18

3（x

1）

C．12

（2x

4）

18

（x

1）

D．62（2x

4）

9（x1）

16、甲、乙两人骑自行车同时从相距

65km的两地相向而行，2小时相遇，若甲

比乙每小时多骑

2．5km，则乙的时速是

（

）．

A．12．5km

B．15km

C．17．5km

D．20km

17、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚

25％，另一件赔

25％，那么

这两件衣服售出后商店是

（

）．

A．不赚不赔

B．赚8元

C．亏8元

D．赚15元

二、填空题：

1、圆的周长为4，半径为x,列出方程为。

2、已知方程（m-2）x

m1

.

+5=9是关于x的一元一次方程，则m=

3、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是。

4、3a2m3b4与2a6mb4是同类项，则m=.

5、若xy+（y+1）2=0,则x-y=.

6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商

品仍获利10元，那么原来标价为。

7、当x=时，82x的值是0.

15

9

10

三、一元一次方程应用题（找出等量关系）

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

弄清题意．

（2）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设

出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?

然后利用已找出的等

量关系列出方程．（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：

检验

所求出的未知数的值是否是方程的解，?

是否符合实际，检验后写出答案．

1、数字问题

要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c。

例1、若三个连续的偶数和为18，求这三个数。

例2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上

的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：

原

两位数+36=对调后新两位数

例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位

与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

分析：

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

2、日历中的规律：

横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。

例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________

例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被

___________整除。

A3B4C5D6

例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？

11

3、等积变形问题

常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。

例1、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？

例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为

125125mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少

mm？

（结果保留整数

314.）

4、和、差、倍、分问题：

倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，

增长率⋯⋯”来体现。

多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余⋯⋯”来体现。

（1）劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化.

例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。

现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。

问需从第一车间调多少人到第二车间？

例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

（2）配套问题：

例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）

12

例2.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

分析：

列表法。

每人每天

人数

数量

大齿轮

16个

x人

16x

小齿轮

10个

85x

人

1085x

等量关系：

小齿轮数量的

2倍＝大齿轮数量的

3倍

解：

设分别安排x名、85x名工人加工大、小齿轮

3（16x）2[10（85x）]

48x170020x

68x1700

x25

85x60人

答：

略.

（3）分配问题：

例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。

求房间的个数和学生的人数。

例2.三个正整数的比为1：

2：

4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？

（比例分配问题常用等量关系：

各部分之和＝总量。

）

（4）年龄问题：

例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？

例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。

13

5、工程问题

工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

例1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作

3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

分析设工程总量为单位1，等量关系为：

甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。

11

解：

设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（15+12）

x

×3+12=1，

...................

例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长

6500

米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成

480

米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？

6、①打折销售问题

（1）销售问题中常出现的量有：

进价、售价、标价、利润等

（2）基本关系式：

①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价。

由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。

由③④可得出⑤利润率

＝。

②市场经济问题

商品利润

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝×100%商品成本价

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，

14

即按原标价的80%出售．

例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。

问：

买这件衣服需要多少钱？

若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？

利润是多少？

例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？

7、行程问题。

（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注

意两者运动时出发的时间和地点）

要掌握行程中的基本关系：

路程＝速度×时间。

①相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：

甲走的路程+乙走的路程=

全路程

②追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：

同时不同地：

甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程

同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程

解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况

下问题就能迎刃而解。

并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。

例1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，

一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

15

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600

公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时