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平行四边形的性质及判定
平行四边形的性质及判定
第八讲:
平行四边形(基础篇)
【知识梳理】
1、平行四边形:
两组对边分别平行的四边形。
既可以作为性质,也可以作为判定。
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质:
(1)平行四边形对角相等;
(2)平行四边形对边相等;
(3)平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外,平行四边形还有以下几种判定方法:
(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的面积:
①S=a·h②转化为三角形的面积来求。
平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形。
2、特殊平行四边形:
一、矩形
(1)有一角是直角的平行四边形是矩形
(2)矩形的四个角都是直角;
(3)矩形的对角线相等。
(4)矩形判定定理1:
有三个角是直角的四边形是矩形
(5)矩形判定定理2:
对角线相等的平行四边形是矩形
(6)有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形即是中心对称图形,也是轴对称图形。
附加:
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
反过来,如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,则这个三角形是直角三角形。
二、菱形
(1)把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)定理1:
菱形的四条边都相等
(3)菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
(4)菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2
(5)菱形判定定理1:
四边都相等的四边形是菱形
(6)菱形判定定理2:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形
(1)有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
(2)性质:
①四个角都是直角,四条边相等
②对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
(3)判定:
①一组邻边相等的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形
【例题精讲】
【例1】填空题:
平行四边形具有的是:
矩形具有的是:
菱形具有的是:
正方形具有的是:
在下列特征中,
(1)四条边都相等
(2)对角线互相平分
(3)对角线相等
(4)对角线互相垂直
(5)四个角都是直角
(6)每一条对角线平分一组对角
(7)对边相等且平行
(8)邻角互补
【巩固】
1、下列说法中错误的是(B)
A.四个角相等的四边形是矩形B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是(C)
A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形
3、下面结论中,正确的是(B)
A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
解析:
A选项中,对角线相等的平行四边形是矩形。
C、D选项也一样丢了“平行”二字。
4、如图,在
中,点D、E、F分别在边
、
、
上,且
,
.下列四种说法:
①四边形
是平行四边形;
②如果
,那么四边形
是矩形;
③如果
平分
,那么四边形
是菱形;
④如果
且
,那么四边形
是菱形.
其中,正确的有.(只填写序号)
1.已知,如图9,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
四边形ABCD是平行四边形吗?
请说明理由.
2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.
求证:
四边形AECD是菱形.
3.如图,在等边△ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数;
(2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.
【例5】如图所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.
(1)求证:
四边形DAEF是平行四边形;
(2)探究下列问题:
(只填满足的条件,不需证明)
①当△ABC满足______
___________________条件时,四边形DAEF是矩形;
②当△ABC满足______
___________________条件时,四边形DAEF是菱形;
③当△ABC满足________
____条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
平行四边形(提高篇)
1.四边形四条边的长分别为
,且满足
,则这个四边形是(C)
A.平行四边形B.对角线互相垂直的四边形
C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形
2.如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.
(1)求证:
DE-BF=EF.
(2)当点G为BC边中点时,试探究线段EF与GF之间的数量关系,并说明理由.
(3)若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
解析:
(1)AAS证△ADE≌△BAF
(2)设正方形的边长为2,算出各个边,然后求比值,2倍的关系。
(3)
3.如图,在平行四边形ABCD中,∠B,∠D的平分线分别交对边于点E、F,交四边形的对角线AC于点G、H。
求证:
AH=CG。
解:
平行四边形ABCD中,∠ADC=∠CBA,AD//BC,AD=BC
DF,BE分别为∠ADC,∠CBA的角平分线
所以∠ADH=1/2ADC=1/2∠CBA=∠CBG
因为AD//BC,所以∠DAH=∠BCG
因为∠ADH=∠CBG,∠DAH=∠BCG,AD=BC
所以三角形ADH全等于三角形CBG
所以AH=CG
4.如图,在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,求PE+PF的值。
解法1:
设对角线交点为0
△ADO为等腰三角形
等腰三角形有个结论:
等腰三角形底边上的一点到两腰距离之和等于一腰上的高
即在本题中
过A做AG⊥BD,AG为腰OD上的高,AG=PE+PF
∵AB=5AD=12∴BD=13
根据面积法有AB*AD=BD*AG;AG=5*12/13=60/13
解法2:
延长CD至M,使DM=CD,连接AM,过P作PN⊥AM,N为AM上的点。
在△ACM中,AD⊥CM且CD=DM,
则AD是△ACM的角平分线。
则PF=PN.
又在四边形ABDM中,AB平行等于DM。
则为平行四边形。
AM平行BD,
故PE,PN在同一直线上,那么PE+PF=PE+PN=EN
平行四边形ABDM面积,S=AB·AD=BD·EN,而BD=√(5×5+12×12)=13
则EN=AB·AD/BD=5×12/13=60/13.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于G,求证:
GF∥AC。
解:
∠AEB=∠C+∠EBC=∠C+(∠ABC/2)
∠AGE=∠ABE+∠BAD=(∠ABC/2)+90°-∠ABC=(∠ABC/2)+∠C
∴∠AEB=∠AGE∴△AGE为等腰三角形
又∵AF是∠DAC的平分线,∴AF垂直平分GE
在△ABF中,BE是∠ABC的平分线,且BE⊥AF
∴△ABF是等腰三角形,∴AO=OF
在四边形AGFE中,AO=OF,GO=OE
∴四边形AGFE为平行四边形,∴GF∥AC
6.如图所示,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF∥BC且交AC于F。
求证:
AE=CF。
解析:
证明:
过点E作EM⊥AB于M,过点F作FN⊥BC于N
∵AD⊥BC,EM⊥AB,BG平分∠ABC
∴EM=ED,∠AME=90
∵FN⊥BC,∴矩形EFND,∠CNF=90
∴FN=ED,∠CNF=∠AME,∴EM=FN
∵∠BAC=90,∴∠BAD+∠CAD=90
∵AD⊥BC,∴∠CAD+∠C=90
∴∠BAD=∠C,∴△AME≌△CNF,∴AE=CF
第十讲:
梯形
【知识梳理】
与平行四边形一样,梯形也是一种特殊的四边形,其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位,本讲就来研究它们的有关性质的应用。
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形,等腰梯形是一类特殊的梯形,其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。
通过作辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,这是解梯形问题的基本思路,常用的辅助线的作法是:
1、平移腰:
过一顶点作一腰的平行线;
2、平移对角线:
过一顶点作一条对角线的平行线;
3、过底的顶点作另一底的垂线。
熟悉以下基本图形、基本结论:
【例题精讲】
中位线概念:
(1)三角形中位线定义:
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
(2)梯形中位线定义:
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
三角形的中位线性质:
三角形的中位线平行于第三边,并等于第三边的一半。
梯形的中位线性质:
梯形的中位线平行于两底,并等于两底和的一半。
【例题精讲】
【例1】如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点。
(1)求证:
四边形MENF是菱形;
(2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系,并证明你的结论。
【巩固】如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD.
(1)写出图中所有与△DCE全等的三角形,并选择其中一对说明全等的理由;
(2)探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时,对角线AC与BD互相垂直?
请回答并说明理由.
【例2】已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,AD=BC=DC
求证:
.
【巩固】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长是___________。
【例3】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若∠B+∠C=90°.AD=7,BC=15,求EF.
【例4】已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC=BD.
求证:
梯形ABCD是等腰梯形.
【例5】已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,且AE⊥BE.
求证:
AD+BC=AB
【巩固】如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,且AD+BC=AB
求证:
DE⊥AE。
【例6】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,CE、BE分别平分∠C和∠B,E为AD的中点。
求证:
AB+DC=BC.
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