精编广西自治区梧州市中考数学试题及解析答案.docx
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精编广西自治区梧州市中考数学试题及解析答案
2018年广西梧州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,每小题选对得3分,选错、不选或多选均得零分。
)
1.(3分)﹣8的相反数是()
A.﹣8B.8C.
D.
【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可.
【解答】解:
由相反数的定义可知,﹣8的相反数是﹣(﹣8)=8.故选:
B.
【点评】本题考查的是相反数的定义,即只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2.(3分)研究发现,银原子的半径约是0.00015微米,把0.00015这个数字用科学计数法表示应是()
A.1.5×10﹣4B.1.5×10﹣5C.15×10﹣5D.15×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学计数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学计数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:
0.00015=1.5×10﹣4,故选:
A.
【点评】本题考查用科学计数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤
|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3.(3分)如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
DE=6,则DF的长度是()
A.2B.3C.4D.6
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得.
【解答】解:
∵BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF=6,故选:
D.
【点评】本题主要考查角平分线的性质,解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
4.(3分)已知∠A=55°,则它的余角是()
A.25°B.35°C.45°D.55°
【分析】由余角定义得∠A的余角为90°减去55°即可.
【解答】解:
∵∠A=55°,
∴它的余角是90°﹣∠A=90°﹣55°=35°,故选:
B.
【点评】本题考查了角的余角,由其定义很容易解得.
5.(3分)下列各式计算正确的是()
A.a+2a=3aB.x4•x3=x12C.(
)﹣1=﹣
D.(x2)3=x5
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项法则逐个判断即可.
【解答】解:
A、a+2a=3a,正确;B、x4•x3=x7,错误;
C、(
)-1=x,错误;
D、(x2)3=x6,错误;
故选:
A.
【点评】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项,关键是根据法则计算.
6.(3分)如图,在正方形ABCD中,A、B、C三点的坐标分别是(﹣1,2)、(﹣
1,0)、(﹣3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是()
A.(﹣6,2)B.(0,2)C.(2,0)D.(2,2)
【分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标,再将D点横坐标加上3,纵坐标不变即可.
【解答】解:
∵在正方形ABCD中,A、B、C三点的坐标分别是(﹣1,2)、(﹣
1,0)、(﹣3,0),
∴D(﹣3,2),
∴将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是(0,2),故选:
B.
【点评】本题考查了正方形的性质,坐标与图形变化﹣平移,是基础题,比较简单.
7.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB′C′与△ABC关于直线EF
对称,∠CAF=10°,连接BB′,则∠ABB′的度数是()
A.30°B.35°C.40°D.45°
【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′,进而结合三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:
连接BB′
∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称,
∴△BAC≌△B′AC′,
∵AB=AC,∠C=70°,
∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°,
∴∠BAC=∠B′AC′=40°,
∵∠CAF=10°,
∴∠C′AF=10°,
∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°,
∴∠ABB′=∠AB′B=40°.故选:
C.
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质,正确得出∠
BAC度数是解题关键.
8.(3分)一组数据:
3,4,5,x,8的众数是5,则这组数据的方差是()
A.2B.2.4C.2.8D.3
【分析】根据数据的众数确定出x的值,进而求出方差即可.
【解答】解:
∵一组数据3,4,5,x,8的众数是5,
∴x=5,
∴这组数据的平均数为
×(3+4+5+5+8)=5,则这组数据的方差为
×[(3﹣5)2+(4﹣5)2+2×(5﹣4)2+(8﹣5)2]=2.8.故选:
C.
【点评】此题考查了方差,众数,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
9.(3分)小燕一家三口在商场参加抽奖活动,每人只有一次抽奖机会:
在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个,这些球除颜色外无其他差别,从箱子中随机摸出1个球,然后放回箱子中轮到下一个人摸球,三人摸到球的颜色都不相同的概率是()
A.
B.
C.
D.
【分析】画出树状图,利用概率公式计算即可.
【解答】解:
如图,一共有27种可能,三人摸到球的颜色都不相同有6种可能,
∴P(三人摸到球的颜色都不相同)=
=
.
故选:
D.
【点评】本题考查列表法与树状图,解题的关键是学会利用树状图解决概率问题.
10.(3分)九年级一班同学根据兴趣分成A、B、C、D、E五个小组,把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图.则D小组的人数是()
A.10人B.l1人C.12人D.15人
【分析】从条形统计图可看出A的具体人数,从扇形图找到所占的百分比,可求出总人数.然后结合D所占的百分比求得D小组的人数.
【解答】解:
总人数=
=50(人)D小组的人数=50×
=12(人).故选:
C.
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图,从上面可得到具体的值,以及用样本估计总体和扇形统计图,扇形统计图表示部分占整体的百分比.
11.(3分)如图,AG:
GD=4:
1,BD:
DC=2:
3,则AE:
EC的值是()
A.3:
2B.4:
3C.6:
5D.8:
5
【分析】过点D作DF∥CA交BE于F,如图,利用平行线分线段成比例定理,由DF∥CE得到
=
=
,则CE=
DF,由DF∥AE得到
=
=
,则AE=4DF,然后计算
的值.
【解答】解:
过点D作DF∥CA交BE于F,如图,
∵DF∥CE,
∴
=
,
而BD:
DC=2:
3,
∴
=
,则CE=
DF,
∵DF∥AE,
∴
=
,
∵AG:
GD=4:
1,
∴
=
,则AE=4DF,∴
=
故选:
D.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
12.(3分)按一定规律排列的一列数依次为:
2,3,10,15,26,35,…,按此
规律排列下去,则这列数中的第100个数是()
A.9999B.10000C.10001D.10002
【分析】观察不难发现,第奇数是序数的平方加1,第偶数是序数的平方减1,据此规律得到正确答案即可.
【解答】解:
∵第奇数个数2=12+1,
10=32+1,
26=52+1,
…,
第偶数个数3=22﹣1,
15=42﹣1,
25=62﹣1,
…,
∴第100个数是1002﹣1=9999,故选:
A.
【点评】本题是对数字变化规律的考查,分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是解题的关键,另外对平方数的熟练掌握也很关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)式子
在实数范围内有意义,则x的取值范围是x≥3.
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出x的取值范围,进而得出答案.
【解答】解:
由题意可得:
x﹣3≥0,解得:
x≥3.
故答案为:
x≥3.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确掌握二次根式的定义是解题关键.
14.(3分)如图,已知在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=6cm,则
DE的长度是3cm.
【分析】根据三角形中位线定理解答.
【解答】解:
∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=
BC=3cm,故答案为:
3.
【点评】本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.
15.(3分)已知直线y=ax(a≠0)与反比例函数y=
(k≠0)的图象一个交点坐标为(2,4),则它们另一个交点的坐标是(﹣2,﹣4).
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称,据此进行解答.
【解答】解:
∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称,
∴另一个交点的坐标与点(2,4)关于原点对称,
∴该点的坐标为(﹣2,﹣4).故答案为:
(﹣2,﹣4).
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数.
16.(3分)如图,已知在⊙O中,半径OA=
,弦AB=2,∠BAD=18°,OD与
AB交于点C,则∠ACO=81度.
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB的形状,由圆周角定理可以求得
∠BOD的度数,再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系,即可求得∠AOC
的度数.
【解答】解:
∵OA=
,OB=
,AB=2,
∴OA2+OB2=AB2,OA=OB,
∴△AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,
∴∠OBA=45°,
∵∠BAD=18°,
∴∠BOD=36°,
∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°,故答案为:
81.
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
17.(3分)如图,圆锥侧面展开得到扇形,此扇形半径CA=6,圆心角∠ACB=120°,则此圆锥高OC的长度是4
.
【分析】先根据圆锥的侧面展开图,扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长,求出OA,最后用勾股定理即可得出结论.
【解答】解:
设圆锥底面圆的半径为r,
∵AC=6,∠ACB=120°,
∴
=2πr,
∴r=2,即:
OA=2,
在Rt△AOC中,OA=2,AC=6,根据勾股定理得,OC=
=4
,故答案为:
4
.
【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式,勾股定理,求出OA是解本题的关键.
18.(3分)如图,点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点,∠ACB=∠DCE=90°,连接AD、BE,过点C作CF⊥AD于点F,延长FC交BE于点G.若AC=BC=25,CE=15,DC=20,则
的值为
.
【分析】过E作EH⊥GF于H,过B作BP⊥GF于P,依据△EHG∽△BPG,可得
=
,再根据△DCF∽△CEH,△ACF∽△CBP,即可得到EH=
CF,BP=CF,进而得出
=
.
【解答】解:
如图,过E作EH⊥GF于H,过B作BP⊥GF于P,则∠EHG=∠BPG=90°,
又∵∠EGH=∠BGP,
∴△EHG∽△BPG,
∴
=
,
∵CF⊥AD,
∴∠DFC=∠AFC=90°,
∴∠DFC=∠CHF,∠AFC=∠CPB,又∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠CDF=∠ECH,∠FAC=∠PCB,
∴△DCF∽△CEH,△ACF∽△CBP,
∴
∴EH=
CF,BP=CF,
∴
=
,
∴
=
,故答案为:
.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形,利用相似三角形的对应边成比例进行推算.
三、解答题(本大题共8小题,满分66分,)
19.(6分)计算:
﹣25÷23+|﹣1|×5﹣(π﹣3.14)0
【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算,最后,再进行加减计算即可.
【解答】解:
原式=3﹣32÷8+5﹣1=3﹣4+5﹣1=3.
【点评】本题主要考查的是实数的运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.
20.(6分)解方程:
2x2﹣4x﹣30=0.
【分析】利用因式分解法解方程即可;
【解答】解:
∵2x2﹣4x﹣30=0,
∴x2﹣2x﹣15=0,
∴(x﹣5)(x+3)=0,
∴x1=5,x2=﹣3.
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法,解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法,属于中考基础题.
21.(6分)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的一条直
线分别交AD,BC于点E,F.求证:
AE=CF.
【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO,AD∥BC,进而得出∠EAC=∠FCO,再利用ASA求出△AOE≌△COF,即可得出答案.
【解答】证明:
∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠EAC=∠FCO,在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.
228分)解不等式组
,并求出它的整数解,再化简代数式
•
(
﹣
),从上述整数解中选择一个合适的数,求此代数式的值.
【分析】先解不等式组求得x的整数解,再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得.
【解答】解:
解不等式3x﹣6≤x,得:
x≤3,解不等式
<
,得:
x>0,
则不等式组的解集为0<x≤3,
所以不等式组的整数解为1、2、3,
原式=
•[
]
=
•
=
∵x≠±3、1,
∴x=2,则原式=1.
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法,正确进行分式的混合运算是解题关键.
23.(8分)随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°,测得瀑布底端B点的俯角是10°,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27m,GF=17.6m(注:
C、G、F三点在同一直线上,CF⊥AB于点F).斜坡CD=20m,坡角∠ECD=40°.求瀑布AB的高度.
(参考数据:
≈1.73,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin10°≈0.17,
cos10°≈0.98,tan10°≈0.18)
【分析】过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N,在Rt△CMD中,通过解直角三角形可求出CM的长度,进而可得出MF、DN的长度,再在Rt△BDN、Rt△ADN中,利用解直角三角形求出BN、AN的长度,结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度.
【解答】解:
过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N,如
图所示.
在Rt△CMD中,CD=20m,∠DCM=40°,∠CMD=90°,
∴CM=CD•cos40°≈15.4m,DM=CD•sin40°≈12.8m,
∴DN=MF=CM+CG+GF=60m.
在Rt△BDN中,∠BDN=10°,∠BND=90°,DN=60m,
∴BN=DN•tan10°≈10.8m.
在Rt△ADN中,∠ADN=30°,∠AND=90°,DN=60m,
∴AN=DN•tan30°≈34.6m.
∴AB=AN+BN=45.4m.
答:
瀑布AB的高度约为45.4米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题,通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键.
24.(10分)我市从2018年1月1日开始,禁止燃油助力车上路,于是电动自行车的市场需求量日渐增多.某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆,其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元.用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样.
(1)求A、B两种型号电动自行车的进货单价;
(2)若A型电动自行车每辆售价为2800元,B型电动自行车每辆售价为3500元,设该商店计划购进A型电动自行车m辆,两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元.写出y与m之间的函数关系式;
(3)该商店如何进货才能获得最大利润?
此时最大利润是多少元?
【分析】
(1)设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元(x+500)元,
构建分式方程即可解决问题;
(2)根据总利润=A型两人+B型的利润,列出函数关系式即可;
(3)利用一次函数的性质即可解决问题;
【解答】解:
(1)设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元(x+500)元.
由题意:
=
,解得x=2500,
经检验:
x=2500是分式方程的解.
答:
A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元.
(2)y=300m+500(30﹣m)=﹣200m+15000(20≤m≤30),
(3)∵y=300m+500(30﹣m)=﹣200m+15000,
∵﹣200<0,20≤m≤30,
∴m=20时,y有最大值,最大值为11000元.
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识,解题的关键是理解题意,学会正确寻找等量关系,构建方程解决问题,属于中考常考题型.
25.(10分)如图,AB是⊙M的直径,BC是⊙M的切线,切点为B,C是BC上
(除B点外)的任意一点,连接CM交⊙M于点G,过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D,连接AG并延长交BC于点E.
(1)求证:
△ABE∽△BCD;
(2)若MB=BE=1,求CD的长度.
【分析】
(1)根据直径所对圆周角和切线性质,证明三角形相似;
(2)利用勾股定理和面积法得到AG、GE,根据三角形相似求得GH,得到MB、
GH和CD的数量关系,求得CD.
【解答】
(1)证明:
∵BC为⊙M切线
∴∠ABC=90°
∵DC⊥BC
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD
∵AB是⊙M的直径
∴∠AGB=90°
即:
BG⊥AE
∴∠CBD=∠A
∴△ABE∽△BCD
(2)解:
过点G作GH⊥BC于H
∵MB=BE=1∴AB=2
∴AE=
由
(1)根据面积法AB•BE=BG•AE
∴BG=
由勾股定理:
AG=
,GE=
∵GH∥AB
∴
∴
∴GH=
又∵GH∥AB
①
同理:
②
①+②,得
∴
∴CD=
【点评】本题是几何综合题,综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似.解答时,注意根据条件构造相似三角形.
26.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx﹣
与x轴交于A(1,0)、B(6,0)两点,
D是y轴上一点,连接DA,延长DA交抛物线于点E.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若E点在第一象限,过点E作EF⊥x轴于点F,△ADO与△AEF的面积比为
=
,求出点E的坐标;
(3)若D是y轴上的动点,过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点,是否存在点D,使DA2=DM•DN?
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据相似三角形的判定与性质,可得AF的长,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案;
(3)根据两点间距离,可得AD的长,根据根与系数的关系,可得x1•x2,根据
DA2=DM•DN,可得关于n的方程,根据解方程,可得答案.
【解答】解:
(1)将A(1,0),B(6,0)代入函数解析式,得
解得
,
抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x﹣
;
(2)∵EF⊥x轴于点F,
∴∠AFE=90°.
∵∠AOD=∠AFE=90°,∠OAD=∠FAE,
∴△AOD∽△AFE.
∵
=
=
∵AO=1,
∴AF=3,OF=3+1=4,
当x=4时,y=﹣
×42+
×4﹣
=
,
∴E点坐标是(4,
),
(3)存在点D,使DA2=DM•DN,理由如下:
设D点坐标为(0,n),
AD2=1+n2,
当y=n时,﹣
x2+
x﹣
=n
化简,得
﹣3x2+21x﹣18﹣4n=0,设方程的两根为x1,x2,x1•x2=
DM=x1,DN=x2,
DA2=DM•DN,即1+n2=
,
化简,得
3n2﹣4n﹣15=0,解得n1=
,n2=3,
∴D点坐标为(0,﹣
)或(0,3).
【点评】本题考查了二次函数综合题,解
(1)的关键是待定系数法;解
(2)的关键是利用相似三角形的判定与性质得出AF的长;解(3)的关键是利用根与系数的关系得出x1•x2,又利用了解方程.
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