相似三角形的性质与判定专题讲义整理版.docx

相似三角形的性质与判定专题讲义整理版.docx

《相似三角形的性质与判定专题讲义整理版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似三角形的性质与判定专题讲义整理版.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

相似三角形的性质与判定专题讲义整理版

学生姓名：

年级：

老师：

上课日期：

上课时间：

上课次数：

______年级第______单元课题______

——————————————————————————————————

[课前准备]

课前检查：

作业完成情况：

优（）良（）中（）差（）

复习预习情况：

优（）良（）中（）差（）

——————————————————————————————————

[学习内容]

一、知识梳理

（一）、相似三角形的性质：

1、相似三角形的对应角，对应边。

2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。

3、相似三角形对应周长的比等于。

4、相似三角形对应面积的比等于。

注意：

在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。

（二）、相似三角形的判定：

1、判定两个三角形相似的条件：

（1）平行截割：

_____

（2）两角对应相等：

（3）两边夹：

（4）三边比：

_____________________________________

2、判定两个三角形相似的一般步骤：

（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角

（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。

（3）若找不到相等的角，就分析三边是否

3、等积式的证明思路

遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。

二、基础练习

1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：

4，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．4：

3

B．3：

4

C．16：

9

D．9：

16

2．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（　　）

A．10cm2

B．14cm2

C．16cm2

D．18cm2

3．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（　　）

A．2

B．

C．3或

D．3或

4．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（　　）

A．10cm，25cm，30cm

B．10cm，30cm，36cm或10cm，12cm，30cm

C．10cm，30cm，36cm

D．10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm

5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为

的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．

6．

如图，D、E分别是AC

，AB上的点，∠ADE

＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE

于点F.若AD＝3，AB＝5

，求：

（1）

；

（2）△ADE

与△ABC的周长之比；

三、重难点高效突破

专题一：

计算线段的长度或线段之间的比

在几何中线段长度计算常用的方法是：

1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。

典型例题1、（2012•铁岭）已知：

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为E．

（1）求证：

△ABE∽△DBC；

（2）求线段AE的长．

变式训练：

1、（2012•株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．

（1）求证：

△COM∽△CBA；     

（2）求线段OM的长度．

2、（2012•长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．

（1）求证：

DG=

DF；

（2）求证：

△BDG∽△DEG；

（3）若EG•BG=4，求BE的长．

典型例题2（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：

△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=

，AF=

，求AE的长．

变式训练：

1、（2009•甘孜州）已知如图，▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．

（1）求证：

AB=BH；

（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．

2、（2013•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求证：

△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的长．

专题二：

等积式、等比式的证明

对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。

处理这类问题的口诀是：

遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替。

等积问题证明第一步：

化等比，定相似

遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然后考虑证明两个三角形相似。

例1、（2011•闸北区一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：

变式练习：

（1997•吉林）已知：

如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：

BP2=PE•PF．

等积证明第二步：

不相似，莫生气，等线等比来代替。

若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明，此时可通过查找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。

例2：

如图，ABCD中，E为边AD延长线上的一点，BE交CD于F。

试说明：

CD·BC=AE·FC的理由。

例3、如图，P是ABCD的边DC的延长线上的一点，连接AP交DB、BC于M、N，求证：

AM2=MN·NP

变式练习：

1、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EA⊥AF交CD延长线于点E，连接EF交AD于G。

（1）求证：

△ABF≌△ADE

（2）求证：

BF·FC=DG·EC

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，BG⊥AB交EF于的G。

求证：

CF是EF与FG的比例中项。

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH、AC的延长线交于E。

求证：

（1）△AED∽△CBM；

（2）AE·CM=AC·CD

4、（2012•徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：

（1）△BAE∽△BOA；  

（2）BO•BE=BC•AE．

综合提高

1、（2011•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．

（1）求证：

四边形ABFC是平行四边形；

（2）如果DE2=BE•CE，求证：

四边形ABFC是矩形．

2、（2012•天水）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．

（1）求证：

四边形AFCE是菱形；

（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：

2AE2=AC•AP；

（3）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．

3、梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线DE分别与对角线AC，直线BC相交于M和N

求证:

MD·NE=ME·ND

专题三：

相似三角形中的面积问题

学习目标：

结合相似三角形的性质及三角形的面积公式，解决相似三角形的面积问题

一、求三角形面积常用方法

1、面积公式

2、等高或等底法3、相似三角形：

二、例题及变式练习

例1：

如图,DE∥BC,，则△ADE与△ABC的相似比是__________,面积之比是_______.

例2、已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：

2，则CD：

AB=，S△COB：

S△COD=．

例3、如图，将面积为a2的正方形与面积为b2的正方形（b＞a）放在一起，则△ABC的面积是．

例4、（2011广西北海）如图，△ABC的面积为63，D是BC上的一点，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC交AB于点E，延长DE到F，使FE∶ED＝2∶1，则△CDF的面积为．

变式一：

如图,D、E、F是△ABC的各边的中点，设△ABC的面积为S,求△DEF的面积.

变式二：

（1）如图,DE∥FG∥BC,且AD=DF=FB,设△ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3,求S1:

S2:

S3.

（2）如图,DE∥FG∥BC,设△ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3,且S1=S2=S3,求AD:

DF:

FB

变式三：

如图,DE∥BC,DF∥AC,S△ABC=a,则四边形DFCE的面积为______________.

变式四：

如图,平行四边形ABCD中,AE:

EB=2:

3,则S△APE:

S△CPD=_________.

变式五：

如图,平行四边形ABCD中,BE:

AB=2:

3,且S△BPE=4,求平行四边形ABCD的面积.

变式六：

如图,AC是平行四边形ABCD的对角线,且AE=EF=FC,求S△DMN:

S△ACD

变式七：

如图,△ABC中,AD∥BC,联结CD交AB于点E,且，且AE：

EB=1：

3，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

变式八：

如图,点D和E分别在△ABC的边AB、AC上,若S△ADE=4,S△BCE=24,求S△BDE

变式九：

如图,点D是△ABC边BC延长线上一点，过点C作CE∥AB，作DE∥AC，联结AE，S△ABC=9,S△CDE=4,求S△ACE

本次课作业：

家长签字：

1、预习：

2、写：

教学主管签字：