全国通用版版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系优选学案.docx
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全国通用版版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系优选学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2017·天津卷,2
2017·浙江卷,6
2017·北京卷,7
2016·四川卷,2
2016·山东卷,5
1.判断命题的真假.
2.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等.
3.常以函数、不等式等知识为载体,考查一个命题是另一个命题的什么条件.
4.求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件,或已知充要条件求参数的取值范围等.
分值:
5分
1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以__判断真假__的陈述句叫做命题,其中__判断为真__的语句叫做真命题,__判断为假__的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
若原命题为:
若p,则q,则逆命题为__若q,则p__,否命题为__若¬p,则¬q__,逆否命题为__若¬q,则¬p__.
(2)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题,它们有__相同__的真假性;
两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性__没有关系__.
3.充分条件与必要条件
(1)若p⇒q,则p是q的__充分__条件,q是p的__必要__条件.
(2)若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的__充分不必要__条件.
(3)若p⇒/q,且q⇒p,则p是q的__必要不充分__条件.
(4)若p⇔q,则p是q的__充要__条件.
(5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的__既不充分也不必要__条件.
(6)若p是q的充分不必要条件,则¬q是¬p的__充分不必要__条件.
4.用集合关系判断充分条件、必要条件
以p:
x∈A,q:
x∈B的形式出现.
(1)若p是q的充分条件,则A__⊆__B.
(2)若p是q的必要条件,则B__⊆__A.
(3)若p是q的充分不必要条件,则A____B.
(4)若p是q的必要不充分条件,则B____A.
(5)若p是q的充要条件,则A__=__B.
(6)若p是q的既不充分也不必要条件,则A____B且B____A.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)语句x2-3x+2=0是命题.( × )
(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假性没有关系.( × )
(3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成立”.( √ )
(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.( × )
解析
(1)错误.无法判断真假,故不是命题.
(2)错误.一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题,它们的真假性相同.
(3)正确.一个命题与其逆否命题等价.
(4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且q⇒/p”,“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且p⇒/q”.
2.下列命题为真命题的是( A )
A.若
=
,则x=y B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则
=
D.若x 解析 由 = ,得x=y.故选A. 3.命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( C ) A.若α≠ ,则tanα≠1 B.若α= ,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα=1,则α= 解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若tanα≠1,则α≠ ”.故选C. 4.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A”成立的( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B,因此“A⊆B”是“A∩B=A”成立的充要条件.故选C. 5.(2017·天津卷)设x∈R,则“2-x≥0”是|x-1|≤1的( B ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由|x-1|≤1,得0≤x≤2,∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2.故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.故选B. 一 四种命题及其相互关系 与四种命题有关的问题的解题策略 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 【例1】 (1)(2018·山东邹平双语学校月考)已知命题p: 若x<-3,则x2-2x-8>0,则下列叙述正确的是( D ) A.命题p的逆命题是“若x2-2x-8≤0,则x<-3” B.命题p的否命题是“若x≥-3,则x2-2x-8>0” C.命题p的否命题是“若x<-3,则x2-2x-8≤0” D.命题p的逆否命题是真命题 (2)命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是( D ) A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0 B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0 C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0 D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0 (3)下列命题为真命题的是( B ) A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题 B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>1,则x>1”的逆否命题 (4)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( D ) A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题 B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 解析 (1)命题p: 若x<-3,则x2-2x-8>0的逆命题为: 若x2-2x-8>0,则x<-3,A项错误;命题p: 若x<-3,则x2-2x-8>0的否命题为: 若x≥-3,则x2-2x-8≤0,B,C项错误;命题p: 若x<-3,则x2-2x-8>0是真命题,则命题p的逆否命题是真命题.故选D. (2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0. (3)对于A项,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故A项为假命题;对于B项,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知B项为真命题;对于C项,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故C项为假命题;对于D项,逆否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故D项为假命题. (4)因为f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,所以m≤1,所以命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题是真命题. 二 充分、必要条件的判断 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断. (2)集合法: 根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,常用的是逆否等价法. ①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件;③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件. 【例2】 (1)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2017·北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)因为{an}为等差数列,S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d>0⇔S4+S6>2S5.故选C. (2)对于非零向量m,n,若存在负数λ,使得m=λn,则m,n互为相反向量,则m·n<0,满足充分性;而m·n<0包含向量m,n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况,故由m·n<0推不出m,n互为相反向量,所以不满足必要性.所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A. 三 充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用的注意点 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)区间端点值的检验. 【例3】 (1)已知条件p: |x-4|≤6;条件q: (x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( B ) A.[21,+∞) B.[9,+∞) C.[19,+∞) D.(0,+∞) (2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为__[0,3]__. 解析 (1)条件p: -2≤x≤10,条件q: 1-m≤x≤m+1,又p是q的充分不必要条件,故有 解得m≥9. (2)由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10}, 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,又集合S非空, 则 所以0≤m≤3,所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. 1.“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”,则圆心到直线的距离为d= <1,即|b|< ,不能得到0 < <1,所以直线y=x+b与圆x2+y2=1相交.故选B. 2.下列说法中错误的是( C ) A.命题“0既不是正数也不是负数”为真命题 B.“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件 C.“sinx= ”的必要不充分条件是“x= ” D.命题“若x∈R,则x2≥0”的逆否命题为真命题 解析 对于A项,易知正确;对于B项,由于x=1可以推出x≥1,但x≥1不一定能推出x=1,故正确;对于D项,因为原命题“若x∈R,则x2≥0”为真命题,所以其逆否命题为真命题,故正确;对于C项,“x= ”应为“sinx= ”的充分不必要条件. 3.设向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),则“a∥b”是“tanθ= ”成立的__必要不充分__条件(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要). 解析 a∥b⇔sin2θ=cos2θ⇔cosθ=0或2sinθ=cosθ⇔cosθ=0或tanθ= ,所以“a∥b”是“tanθ= ”成立的必要不充分条件. 4.已知“(x-t)2>3(t-1)”是“x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数t的取值范围为__(-∞,-7]∪[1,+∞)__. 解析 设P={x|(x-t)2>3(x-t)}={x|(x-t)(x-t-3)>0}={x|x 错因分析: 对充分、必要、充要条件的概念不清,不知由谁推出谁. 【例1】已知p: ≥1,q: |x-a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为______. 解析 由p,得 -1≥0⇔ ≥0⇔ ≤0⇔ 解得2 由q,得a-1 因为p是q的充分不必要条件, 所以 解得2 答案 (2,3] 【跟踪训练1】已知条件甲: a+b≠4,条件乙: a≠1且b≠3,则甲是乙的__既不充分也不必要__条件. 解析 直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误.由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a=1或b=3”是“a+b=4”的什么条件.易知应为既不充分也不必要条件. 课时达标 第2讲 [解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义,与高中所学知识交汇考查,常以选择题、填空题的形式呈现,考卷中常排在靠前的位置. 一、选择题 1.(2016·上海卷)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的( A ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析 当a>1时,a2>1;当a2>1时,a>1或a<-1.故选A. 2.原命题为“△ABC中,若cosA<0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( B ) A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.真、假、假 解析 因为cosA<0,00,所以逆命题为假,从而否命题也为假.故选B. 3.l1,l2表示空间中的两条直线,若p: l1,l2是异面直线,q: l1,l2不相交,则( A ) A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 解析 两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件.故选A. 4.(2018·河北邯郸二中期中)已知命题p: (x-3)(x+1)>0,命题q: x2-2x+1>0,则命题p是命题q的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由p: (x-3)(x+1)>0,得x<-1或x>3,由命题q: x2-2x+1>0,解得x≠1,由于p⇒q成立,q⇒p不成立,即命题p是命题q的充分不必要条件.故选A. 5.A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则“x∈A”是“x∈B”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由已知得A=(-∞,0]∪[2,+∞),B=(2,+∞),若“x∈B”,则必有“x∈A”,反之不成立,即得“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.故选B. 6.下列四个选项中错误的是( B ) A.命题“若x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1” B.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题 C.若命题p: ∀x∈R,x2+x+1≠0,则¬p: ∃x0∈R,x +x0+1=0 D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件 解析 对于A项,显然是正确的;对于B项,根据复合命题的真值表知,有p真q假、p假q真、p真q真三种情况,故B项是错误的;对于C项,由全称命题的否定形式知C项是正确的;对于D项,x2-3x+2>0的解是x>2或x<1,故D项是正确的. 二、填空题 7.已知命题p: 若a>b>0,则log a b+1,命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为__2__. 解析 ∵a>b>0,∴log a b, ∴命题p为真命题, 其逆命题为: 若log a b+1,则a>b>0, ∵a=2,b=2时,log a b+1,而a=b. ∴逆命题为假命题. 根据命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题互为逆否命题,知命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有原命题及其逆否命题是真命题. 8.记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为__(-∞,-3]__. 解析 由x2+x-6<0,得-3 9.能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为__-1,-2,-3(答案不唯一)__. 解析 取a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但a+b=-3=c,不满足a+b>c,故“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为-1,-2,-3. 三、解答题 10.(2018·山东邹平月考)写出“若x=2,则x2-5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. 解析 逆命题: 若x2-5x+6=0,则x=2,是假命题;否命题: 若x≠2,则x2-5x+6≠0,是假命题;逆否命题: 若x2-5x+6≠0,则x≠2,是真命题. 11.已知函数f(x)=lg(x2-2x-3)的定义域为集合A,函数g(x)=2x-a(x≤2)的值域为集合B. (1)求集合A,B; (2)已知命题p: m∈A,命题q: m∈B,若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解析 (1)A={x|x2-2x-3>0}={x|(x-3)(x+1)>0}={x|x<-1或x>3},B={y|y=2x-a,x≤2}={y|-a<y≤4-a}. (2)∵¬p是¬q的充分不必要条件, ∴q是p的充分不必要条件,∴BA, ∴4-a<-1或-a≥3,∴a≤-3或a>5, 即实数a的取值范围是(-∞,-3]∪(5,+∞). 12.已知p: x2-8x-20≤0,q: x2-2x+1-m4≤0. (1)若p是q的必要条件,求m的取值范围; (2)若¬p是¬q的必要不充分条件,求m的取值范围. 解析 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, 即p: -2≤x≤10,q: 1-m2≤x≤1+m2. (1)若p是q的必要条件, 则 即 即m2≤3,解得- ≤m≤ . 故m的取值范围是[- , ]. (2)∵¬p是¬q的必要不充分条件, ∴q是p的必要不充分条件, 即 即m2≥9,解得m≥3或m≤-3. 故m的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).
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