c题易拉罐形状和尺寸的最优设计.ppt
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2006C:
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型CC题目题目:
取一取一饮料饮料容容量为量为355355毫升的毫升的易拉罐,测量你们认为验证易拉罐,测量你们认为验证模型所需要的数据,并把数模型所需要的数据,并把数据列据列表。
表。
设易拉罐是一个正圆柱体。
设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计?
其结什么是它的最优设计?
其结果是否可以合理地说明你们果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺所测量的易拉罐的形状和尺寸,例如说,半径和高之比寸,例如说,半径和高之比等等。
等等。
考虑壁厚及顶盖厚和壁厚考虑壁厚及顶盖厚和壁厚不同的情况下求最优模型。
不同的情况下求最优模型。
我们只要稍加留意就会发我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料现销量很大的饮料(例如饮料例如饮料量为量为355355毫升的可口可乐、青毫升的可口可乐、青岛啤酒等岛啤酒等)的饮料罐的饮料罐(即易拉罐即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来,这并非偶然,这应的。
看来,这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计。
该是某种意义下的最优设计。
当然,对于单个的易拉罐来说,当然,对于单个的易拉罐来说,这种最优设计可以节省的钱可这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至几十亿个易拉罐产几亿,甚至几十亿个易拉罐的话的话,可以节约的钱就很可观可以节约的钱就很可观了。
了。
在对易拉罐的形状进行研究时,首先分析在对易拉罐的形状进行研究时,首先分析出模型可能需要的数据,利用相应的工具多次测量求出模型可能需要的数据,利用相应的工具多次测量求平均均值确定易拉罐各项尺寸的大小。
平均均值确定易拉罐各项尺寸的大小。
简化易拉罐的形状为一圆柱体时,确定出高度和简化易拉罐的形状为一圆柱体时,确定出高度和半径的比值关系,并与实际测量数据进行比较分析,半径的比值关系,并与实际测量数据进行比较分析,判断易拉罐设计的合理性;判断易拉罐设计的合理性;易拉罐形状为组合体时,求解过程仍以材料最省易拉罐形状为组合体时,求解过程仍以材料最省为最优设计,建立一个广泛的最优设计模型。
为最优设计,建立一个广泛的最优设计模型。
问题分析问题分析1、假设假设温度,湿度等因素变化的时候,温度,湿度等因素变化的时候,易拉罐易拉罐形状形状和尺寸不随和尺寸不随之之变化。
变化。
2、假设整个易拉罐、假设整个易拉罐用同种材料制成用同种材料制成。
3、假设易拉罐顶盖和下底盖都是规则的平面。
假设易拉罐顶盖和下底盖都是规则的平面。
4、假设易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同、假设易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同,且壁,且壁很薄。
很薄。
5、假设易拉罐都是规则的多面体。
、假设易拉罐都是规则的多面体。
模型假设符号说明:
r:
易拉罐的半径h:
易拉罐的高V:
罐内体积b:
材料的厚度S:
易拉罐的表面积SV:
材料的体积:
待定参数其中r,h是自变量,所用材料的体积S是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数模型建立和求解一、简化模型一、简化模型把易拉罐近似看成一个正圆柱,要求易拉罐内的把易拉罐近似看成一个正圆柱,要求易拉罐内的体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省。
即圆柱的直径和高即圆柱的直径和高之比为之比为1:
1表一表一:
自己测量得到的易拉罐所需数据表自己测量得到的易拉罐所需数据表(单位单位:
mm)雪碧雪碧蓝代蓝代可乐可乐平均数平均数罐总高度罐总高度H122.50122.50122.50122.50122.80122.80122.60122.60上内高上内高5.205.205.005.004.804.805.305.30下内高下内高5.005.005.005.005.105.105.005.00上盖厚上盖厚0.300.300.300.300.300.300.300.30下底厚下底厚0.280.280.270.270.300.300.270.27侧壁厚侧壁厚0.120.120.130.130.130.130.130.13罐身直径罐身直径260.3060.3060.6060.6060.5060.5060.4760.47上内直径上内直径57.4057.4057.1057.1057.2057.2057.2357.23下内直径下内直径50.4050.4053.0053.0050.2050.2051.2051.20上外高上外高13.8013.8013.6013.6013.5013.5013.6313.63下底拱高下底拱高9.909.909.809.8010.2010.209.909.90模型二(改进):
实际上实际上,易拉罐的壁厚是不一样的,则在不忽略壁厚情易拉罐的壁厚是不一样的,则在不忽略壁厚情况下计算。
况下计算。
补充补充假设假设:
除易拉罐的顶盖外除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同罐的厚度相同为为b饮料罐侧面所用材料的体积为饮料罐侧面所用材料的体积为:
b:
顶壁厚度:
顶壁厚度,饮料罐顶盖所用材料的体积为饮料罐顶盖所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为所用材料的体积所用材料的体积:
罐内体积罐内体积V(r,h):
因因,所以带所以带,的项可以忽略的项可以忽略,所以所以,于是我们可以建立以下的数学模型:
于是我们可以建立以下的数学模型:
于是我们可以建立以下的数学模型:
于是我们可以建立以下的数学模型:
记记其中是其中是SV目标函数目标函数,是约束条件是约束条件,V是已知的是已知的(355ml),即即要在体积一定的条件下要在体积一定的条件下,求罐的体积求罐的体积最小的最小的r,h和和使得使得r,h和测量结果吻合和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题这是一个求条件极值的问题.模型的求解模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题使原问题化为:
求使S最小,即,求r使下式最小.求临界点求临界点:
令其导数为零得令其导数为零得测量数据为测量数据为,即即即即顶盖厚度是其他材顶盖厚度是其他材料厚度料厚度3倍倍模型验证及进一步的分析模型验证及进一步的分析有人测量过顶盖的厚度约为其他材料厚度的有人测量过顶盖的厚度约为其他材料厚度的33倍倍.如果易拉罐的半径为如果易拉罐的半径为33厘米厘米,则其容积为:
则其容积为:
实际上实际上,饮料罐的形状是左平饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的面图形绕其中轴线旋转而成的立体立体.可以把饮料罐的体积看成两部可以把饮料罐的体积看成两部分分,一是锥台一是锥台,二是圆柱体二是圆柱体.进一步讨论进一步讨论此外此外,诸如底部的形状诸如底部的形状,上拱的底面上拱的底面,顶盖实际上也不是顶盖实际上也不是平面的平面的,略有上拱略有上拱,顶盖实际上是半径为顶盖实际上是半径为3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料冲压而成的平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的从顶盖到胖的部分的斜率为斜率为0.3,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接的焊接(粘合粘合)很牢固很牢固,耐压耐压.
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- 关 键 词:
- 易拉罐 形状 尺寸 最优设计
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