奥数第一讲因式分解一.docx

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奥数第一讲因式分解一

第一讲因式分解

（一）

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1分解因式：

（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

（4）a7-a5b2+a2b5-b7．

解

（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

=-2xn-1yn（x2n-y2）2

=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．

（3）原式=（a2-2ab+b2）+（-2bc+2ca）+c2

＝（a-b）2+2c（a-b）+c2

=（a-b+c）2．

本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下：

原式=a2+（-b）2+c2+2（-b）c+2ca+2a（-b）

=（a-b+c）2

（4）原式=（a7-a5b2）+（a2b5-b7）

=a5（a2-b2）+b5（a2-b2）

=（a2-b2）（a5+b5）

=（a+b）（a-b）（a+b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

=（a+b）2（a-b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4）

例2分解因式：

a3+b3+c3-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．

分析我们已经知道公式

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）．

这个

式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

解原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc

=［（a+b）3+c3］-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）［（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）．

说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式（6）变形为

a3+b3+c3-3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3分解因式：

x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．

解因为

x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+…x2+x+1），

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4分解因式：

x3-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1将常数项8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=（x3-1）-9x+9

=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）．

解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=（x3-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）．

解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=（9x3-9x）+（-8x3+8）

=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）（x2+x-8）．

解法4添加两项-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例5分解因式：

（1）x9+x6+x3-3；

（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；

（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；

（4）a3b-ab3+a2+b2+1．

解

（1）将-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）

=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

=（x3-1）（x6+2x3+3）

=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．

（2）将4mn拆成2mn+2mn．

原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

=（mn+1）2-（m-n）2

=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．

（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．

原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4

=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2

=［（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2

=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．

（4）添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）

=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）

=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）

=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．

说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解设x2+x=y，则

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．

说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7分解因式：

（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

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