届高三数学专题练习外接球doc.docx
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届高三数学专题练习外接球doc
2019届高三数学专题练习外接球
1.正棱柱,长方体的外接球球心是其中心
例1:
已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是()
A.B.C.D.
2.补形法(补成长方体)
例2:
若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是.
3.依据垂直关系找球心
例3:
已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面满足,,若该三棱锥体积的最大值为3,
则其外接球的体积为()
A.B.C.D.
对点增分集训
一、单选题
1.棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积
为()
A.12πB.28πC.44πD.60π
3.把边长为3的正方形沿对角线对折,使得平面平面,则三棱锥的外接
球的表面积为()
A.B.C.D.
4.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面
积为()
A.B.C.D.
5.三棱锥的所有顶点都在球的表面上,平面,,,则球的表面积为()
A.B.C.D.
6.如图是边长为1的正方体,是高为1的正四棱锥,若点,,,,在同一个球面上,则该球的
表面积为()
A.B.C.D.
7.已知球的半径为,,,三点在球的球面上,球心到平面的距离为,,,则球的表面积为()
A.B.C.D.
8.已知正四棱锥(底面四边形是正方形,顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在
同一球面上,底面正方形的边长为,若该正四棱锥的体积为,则此球的体积为()
A.B.C.D.
9.如图,在中,,,点为的中点,将沿折起到的位置,使,连接,得到三棱锥.若该三棱锥
的所有顶点都在同一球面上,
则该球的表面积是()
A.B.C.D.
10.四面体中,,,,则此四面体外接球的表面积为()
A.B.C.D.
11.将边长为2的正沿着高折起,使,若折起后四点都在球的表面上,则球的表面积为()
A.B.C.D.
12.在三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
二、填空题
13.棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________.
14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为,则该正四棱锥内切球的表面积为________.
15.已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,,,,则此
球的表面积等于______.
16.在三棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的体积的最小值为_____.
1.正棱柱,长方体的外接球球心是其中心
例1:
已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,,,,故选C.
2.补形法(补成长方体)
例2:
若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是.
【答案】
【解析】,.
3.依据垂直关系找球心
例3:
已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面满足,,若该三棱锥体积的最大值为3,
则其外接球的体积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为是等腰直角三角形,所以外接球的半径是,的距离,如图,则,,由题设,
设外接球的半径是,球心到该底面
最大体积对应的高为,故,即,解之得,
所以外接球的体积是,故答案为D.
对点增分集训
一、单选题
1.棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设长方体的外接球半径为,由题意可知:
,则:
,该长方体的外接球的表面积为.本题选择B选项.
2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表面积
为()
A.12πB.28πC.44πD.60π
【答案】B
【解析】设底面三角形的外接圆半径为,由正弦定理可得:
,则,
设外接球半径为,结合三棱柱的特征可知外接球半径,
外接球的表面积.本题选择B选项.
3.把边长为3的正方形沿对角线对折,使得平面平面,则三棱锥的外接
球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折,使得平面平面,
则三棱锥的外接球直径为,外接球的表面积为,故选C.
4.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面
积为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题可知,该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成,其中底面是棱长为的正
三角形,一个是三条侧棱两两垂直,且侧棱长为的正三棱锥,另一个是棱长为的正四面体,如图所示:
该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同,因此外接球的直径即为正方体的体对
角线,所以,所以该几何体外接球面积,故选C.
5.三棱锥的所有顶点都在球的表面上,平面,,,则球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为,,所以,,
因此三角形外接圆半径为,
设外接球半径为,则,,故选D.
6.如图是边长为1的正方体,是高为1的正四棱锥,若点,,,,在同一个球面上,则该球的
表面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图所示,连结,,交点为,连结,
易知球心在直线上,设球的半径,在中,由勾股定理有:
,即:
,解得:
,则该球的表面积.本题选择D选项.
7.已知球的半径为,,,三点在球的球面上,球心到平面的距离为,,,则球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由余弦定理得:
,
设三角外接圆半径为,由正弦定理可得:
,则,
又,解得:
,则球的表面积.本题选择D选项.
8.已知正四棱锥(底面四边形是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同
一球面上,底面正方形的边长为,若该正四棱锥的体积为,则此球的体积为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
如图,设正方形的中点为,正四棱锥的外接球心为,
底面正方形的边长为,,
正四棱锥的体积为,,
则,,
在中由勾股定理可得:
,解得,,故选C.
9.如图,在中,,,点为的中点,将沿折起到的位置,使,连接,得到三棱锥.若该三棱锥
的所有顶点都在同一球面上,
则该球的表面积是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形,且平面,
设三棱锥外接球的球心为,
外接圆的圆心为,则面,∴四边形为直角梯形,
由,,及,得,∴外接球半径为,
∴该球的表面积.故选A.
10.四面体中,,,,则此四面体外接球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
由题意,中,,,可知是等边三角形,,
∴的外接圆半径,,
∵,可得,可得,∴,∴,
∴四面体高为.
设外接球,为球心,,可得:
①,
②
由①②解得:
.四面体外接球的表面积:
.故选A.
11.将边长为2的正沿着高折起,使,若折起后四点都在球的表面上,则球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】中,,,,
底面三角形的底面外接圆圆心为,半径为,由余弦定理得到,再由正弦定理得到,
见图示:
是球的弦,,将底面的圆心平行于竖直向上提起,提起到的高度的一半,即为球心的位置,
∴,在直角三角形中,应用勾股定理得到,即为球的半径.
∴球的半径.该球的表面积为;故选B.
12.在三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】分别取,的中点,,连接相应的线段,,,
由条件,,,可知,与,都是等腰三角形,
平面,∴,同理,∴是与的公垂线,
球心在上,推导出,可以证明为中点,
,,,
∴,球半径,∴外接球的表面积为.
故选D.
二、填空题
13.棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________.
【答案】
【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为,
则外接球的半径,
则外接球的表面积为.
14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为,则该正四棱锥内切球的表面积为________.
【答案】
【解析】设正四棱锥的棱长为,则,解得.
于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆,
其中,.∴.
设内切圆的半径为,由,得,即,
解得,
∴内切球的表面积为.
15.已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,,,,则此
球的表面积等于______.
【答案】
【解析】∵三棱柱的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为,,,,,,
,,
设外接圆的半径为,则,,
∴外接球的半径为,∴球的表面积等于.故答案为.
16.在三棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的体积的最小值为_____.
【答案】
【解析】如图所示,三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆,线,
外接圆的直径为长方体的体对角
设,那么,,所以.由题意,体积的最小值即为
最小,,所以当时,的最小值为,所以半径为,
故体积的最小值为.
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