小六第1讲圆的认识.docx

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小六第1讲圆的认识

圆的认识

1．结合生活实际认识圆，认识到“同一个圆中所有的半径都相等、所有的直径都相等”；体会圆的特征及圆心和半径的作用，会用圆规画圆。

2．结合具体情境，体会数学与日常生活的联系，能用圆的知识来解释生活中的简单现象。

3．通过观察、操作等活动，发展空间观念。

4．通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形。

5．进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

6．在折纸找圆心、验证圆是轴对称图形等活动中，发展空间观念。

探索：

生活中见到的哪些图形是圆形的？

怎样作出一个圆呢？

圆的认识一

知识点1:

圆的认识（理解识记）

本知识点通过比较游戏的公平性来感知圆的特征，学习这部分知识，可以通过观察，借助示意图等方式初步感受圆的特征。

思考问题:

想一想，在套圈游戏中哪种方式更公平？

为什么？

解决问题

1．理解题意。

游戏的公平性在于每个人都是在相同的条件下进行，这里的套圈游戏的公平性在于每个同学到小旗的距离要相等。

2．分析情况。

第一种游戏方式是同学们站成一排，我们可以把每个同学到小旗的距离画出来（见下图），因为每个同学到小旗的距离不相等，所以这种游戏方式不公平。

第二种游戏方式是同学们站成正方形，同样可以把每个同学到小旗的距离画出来（见下图），因为每个同学到小旗的距离也不相等，所以这种游戏方式也不公平。

第三种游戏方式是同学们站成圆形，同样可以把每个同学到小旗的距离画出来（见下图），因为每个同学到小旗的距离都相等，所以这种游戏方式更公平。

3．正确解答。

在套圈游戏中第三种方式更公平。

因为每个同学到小旗的距离都相等。

知识总结:

圆上任意一点到圆中心的距离的特征：

圆上任意一点到圆中心的距离都相等。

知识点2:

画圆的方法及认识圆各部分的名称（掌握运用）

该知识点学习的内容是各种画圆的方法和认识圆各部分的名称，学习时应从各种画圆的方法中，总结出画圆的一般步骤和圆的特征，并在画圆以及结合圆的特征的基础上认识圆各部分的名称，这是进一步学习圆的基础。

问题思考

（1）你能想办法画一个圆吗？

（2）你认识圆的各部分名称吗？

解决问题

1．分析题意。

生活中有很多圆形的物体，我们可以借助圆形物体来画圆，也可以借助工具来画圆。

2．探究画法。

方法一手指画圆法。

如图所示，用手比画着画圆。

以大拇指为固定点，食指与大拇指之间的距离保持不变，将纸旋转一周就画成一个圆。

方法二系绳画圆法。

如图所示，用一根线和一支铅笔画圆。

将线的一端固定在一点上，另一端固定在铅笔上，用铅笔将线拉直并绕这一固定点旋转一周就可以画出一个圆。

方法三用圆规画圆。

（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。

（2）把装有针尖的一只脚固定在一个点上。

（3）把装有铅笔的一只脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。

如下图所示。

解决问题

（2）

1．认识圆各部分的名称。

如下图所示，圆包括三部分：

圆心、半径、直径。

2．理解圆各部分名称的意义。

（1）圆心：

圆中心的一点叫作圆心，通常用字母O表示。

（2）半径：

连接圆心到圆上任意一点的线段叫作半径，通常用字母r表示，如上图中的线段OA。

（3）直径：

通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作直径，通常用字母d表示，如上图中的线段BC。

知识总结

1．圆各部分的名称：

圆包括圆心、半径和直径三部分，分别用字母O、r、d表示。

2．画圆的方法：

画圆时应先固定一点（圆心），然后以固定的长度绕圆心画一圈就是圆。

知识点3:

半径之间、直径之间、半径与直径之间的关系（掌握运用）

本知识点是在认识圆的各部分名称的基础上进行学习的，学习该知识点可以通过画圆以及结合圆的特征的方式来学习。

思考问题:

想一想，半径之间、直径之间、半径与直径之间有什么关系？

解决问题

1．探究半径和直径的特征。

（1）在下面两个大小相等的圆内，分别画出半径和直径，再量一量它们的长度，看看有什么发现？

（2）通过画和测量半径与直径的长度，可知：

在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

2．探究半径和直径的关系。

通过画圆和测量圆内的半径和直径，可以发现一条直径由两条半径组成，所以在同一个圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的

。

用字母表示它们的关系：

d=2r或r=

.

3．正确解答。

在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的

知识总结

半径之间、直径之间、半径与直径之间的关系：

在同圆或等圆内，所有的半径都相等．所有的直径都相等．直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的

知识点4:

圆心和半径的作用（理解识记）

学习本知识点，我们可以在用圆规画圆的操作过程中学习，从中感受圆心和半径对确定圆的位置和圆的大小的作用。

思考问题:

想一想，画一画。

圆的大小与什么有关系？

圆的位置与什么有关系？

解决问题

1．动手分析。

2．正确解答。

圆的大小与半径有关系，圆的位置与圆心有关系。

知识总结:

圆心和半径的作用：

圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。

趁热打铁

1．填表。

半径

20cm

9dm

2.6cm

直径

0.8m

1.5m

2．填一填。

（1）画一个圆时，（）确定圆的位置，（）决定圆的大小。

（2）右图中圆的半径是（）cm，直径是（）厘米。

3．画一个半径是1cm的圆，并用字母标出圆心、半径、直径。

4．为什么下水道的井盖一般都做成圆形的？

拓展提升

拓展要点:

解决实际问题

圆内最长的线段是直径。

根据直径的这一特征，可以通过测量找到圆的直径及圆心。

例l.在右面圆里的几条线段中，哪一条是直径？

比较这些线段的长度，你发现了什么？

分析:

根据直径的定义可以判断，通过圆心的那条线段就是直径。

通过直观比较和测量可发现，直径是两端都在圆上的线段中最长的一条。

规范解答:

通过圆心的那条线段就是直径。

比较这些线段的长度，可发现直径是连结圆上任意两点所成的线段中最长的一条。

拓展要点2:

“同圆或等圆中所有的半径都相等，所有的直径都相等”的运用

同圆或等圆中所有的半径都相等，所有的直径都相等，根据半径或直径的长度，我

们可以通过这一关系来解决问题。

例2下图是三个半径相等的圆组成的平面图形，依次连结三个圆的圆心，所围成的图形是三角形，这个三角形的三个内角各是多少度？

分析:

所围成的三角形的三条线段都是由2条半径相连而成，因为三个圆的半径相等，所以三条线段的长度也相等，因此，这个三角形是等边三角形。

根据等边三角形的特点可知每个角的度数。

规范解答:

这个三角形的三个内角都是60°。

思想方法要点:

运用数形结合思想解决实际问题

在解决一些图形的数学问题时，常常可以通过画示意图来理解题意，结合剪、量、折、比、数等操作活动，进行数学思考，从而解决实际问题。

例3.把一张边长是16dm的正方形纸片，剪成半径是ldm的圆片，一共可以剪多少个？

分析:

半径是ldm，即直径是2dm，画示意图（见下图）可知，可以剪8列，每列可剪8个。

一共可剪8×8=64（个）。

规范解答

（16÷2）×（16÷2）=64（个）

答：

一共可以剪64个。

圆的认识

（二）

目标导学

目标点睛

重难点

1．通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形。

2．进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。

重点

理解圆的轴对称性。

3．在折纸找圆心、验证圆是轴对称图形等活动中，发展空间观念。

难点

验证圆是轴对称图形。

数学方法

转化思想。

知识点1：

圆的轴对称性（理解识记）

该知识点将进一步深入学习圆的特征。

学习本知识点，可以迁移以前学过的轴对称图形，并通过折一折的操作活动体会“圆的对称轴有无数条”。

思考问题

（1）圆是轴对称图形吗？

有儿条对称轴？

（2）你有办法找出一个圆的圆心吗？

解决问题

（1）

1．动手操作。

2．探究发现。

通过上面的折一折可以发现：

将圆沿直径对折，两侧部分能完全重合，说明圆是轴对称图形。

把圆沿着任意一条直径对折，两侧部分都完全重合，所以圆有无数条对称轴。

解决问题

（2）

1．分析思路。

根据直径和半径的定义，我们知道，在一个圆内，所有的直径相交于圆心，所有的半径的一个端点是圆心，所以我们可以通过对折圆的直径和半径来找到一个圆的圆心。

2．探究方法。

方法一将圆对折，再对折，两条折痕的交点就是圆心。

见下图。

方法二将圆沿着任意两条直径对折，两条折痕的交点就是圆心。

见下图。

知识总结

1．圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，直径所在的直线或通过圆心的直线是圆的对称轴。

圆有无数条对称轴。

2．找圆心的方法：

将圆对折两次，两条折痕的交点就是圆心。

知识点2：

常见的轴对称图形（理解识记）

本知识点是复习学过的平面图形的轴对称性，是对学过的知识进行归纳总结。

学习本知识点主要通过折一折来判断一个图形是否是轴对称图形，数一数得出对称轴的条数。

思考问题

（1）我们学过的图形中哪些是轴对称图形？

有几条对称轴？

做一做，填一填。

图形名称

正方形

有几条对称轴

（2）请找出下面各图的对称轴，与同伴进行交流。

解决问题

（1）

1．动手操作。

我们学过的图形中正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形都是轴对称图形。

它们所有的对称轴如下图所示。

2．正确解答。

图形名称

正方形

长方形

等腰三角形

等边三角形

等腰梯形

有几条对称轴

4条

2条

l条

3条

1条

解决问题

（2）

1．观察分析。

2．正确解答。

知识总结

等腰三角形和等腰梯形都有1条对称轴，长方形有2条对轴称，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴。

趁热打铁

1．一个图形沿着一条（）对折后，直线两侧的部分能够完全（），这个图形就是轴对称图形。

这条直线叫作（）。

2．圆是（）图形，它的对称轴是（）的直线，有（）条。

3．画出下面图形的对称轴，并写出对称轴的条数。

拓展提升

拓展要点1：

在方格纸上画出给定图形的轴对称图形

轴对称图形的性质：

对应点到对称轴的距离相等，对应线段、对应角相等，对称轴平分对应点的连线。

例1.在方格纸上画已知图形的轴对称图形。

分析：

根据轴对称图形的性质找到关键的对应点或对应线段是解答此题的关键。

先找上面三角形顶点的对称点：

在同一直线上对称轴的另一侧距对称轴1格，再找中间半圆的圆心，画出圆的另一半；然后再找下面三角形顶点的对称点，在对称轴的另一侧距对称轴1格。

规范解答

拓展要点2：

设计轴对称图形

设计轴对称图形时，要注意设计出的轴对称图形对称轴两边的图形完全一样。

例2.在下面的长方形内画一个最大的圆，使画完后的图形有两条对称轴。

分析：

在长方形内画一个最大的圆，应以长方形的宽为直径。

先量出长方形宽的长度，以宽的长度的一半作为半径，再画出长方形的对角线，以对角线的交点为圆心，画出这个圆。

规范解答

思想方法要点：

转化思想

在计算阴影部分的周长和面积时，有时可以把复杂的图形通过对称或旋转，转化成简单的图形，从而使问题得以简化。

例3.写出右图中阴影部分与空白部分的面积比。

分析：

利用圆的对称性，把四块阴影部分转化成一个整体。

从下图中可以看出直线两侧的阴影部分与空白部分相互对称，阴影部分的面积和空白部分的面积完全相等。

规范解答：

1：

1

一、填一填。

1．下边的圆中，两条线段分别是圆的什么？

请用字母表示出来。

2．在一个圆内，有（）条半径，有（）条直径。

3．在一个边长是5cm的正方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是（）cm。

二、判一判。

1．在一个圆里所有的直径都相等。

（）

2．两端在圆上的线段是圆的直径。

（）

3．直径是6cm的圆比半径是5cm圆大。

（）

4．画一个直径为2cm的圆，圆规两脚间的距离应是2cm。

（）

5．在圆内所有线段中，直径是最长的一条。

（）

6．把一张圆形纸片从不同的方向对折，折痕都经过圆心。

（）

7．圆的直径是半径的2倍。

（）

三、选一选。

1．圆是平面上的一种（）。

A．直线图形B．曲线图形C．无法确定

2．一个圆的半径是4cm，它的直径是（）cm。

A．4B．6C．8

3．下面左图中的圆的半径是（）。

A．3cmB．5cmC．1.5cm

4．上面右图中圆的半径是（）。

A．6cmB．3cmC．1.5cm

4、用圆规画一个直径是3cm的圆，并且用字母标出圆心、半径、直径。

五、用下面的方法去测量没有标出圆心的圆的直径，可以吗？

并说明理由。

六、下图是由4个等圆组成的平面图形，依次连结4个圆心组成一个四边形。

已知四边形的每个角都是90°，这个四边形是什么图形？

说一说你的理由。

七、下图中圆的半径是5cm，正方形的面积是多少？

八、在一张长是16cm、宽是9cm的长方形硬纸板上剪半径是1.5cm的圆片，一共可以剪多少个？

【巩固练习】

一、选一选。

1．半圆形有（）条对称轴。

A．无数B．1C．2

2．平行四边形（）对称轴。

A．有1条B．有2条C．没有

3．下面图形中对称轴最多的是（）。

二、画出下列各图的所有对称轴。

三、按要求做一做。

1．圆O1的圆心位置用数对表示是（，）。

2．在方格纸上画出圆O1向右平移8格，再向上平移l格后的图形。

3．要把圆O1平移到圆O2的位置，可以怎样平移？

四、在方格纸上画出下面图形的轴对称图形，并设计一个轴对称图形。

五、你知道下图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几吗？

能力提升题1

1（延伸题）图中大圆的直径是6cm，小圆的半径是多少厘米？

分析:

从图中可看出：

小圆的直径就是大圆的半径。

大圆的直径是6厘米，则大圆的半径是6÷2=3（cm），所以小圆的半径是3÷2=1.5（cm）。

规范解答6÷2=3（cm）3÷2=1.5（cm）

答：

小圆的半径是1.5厘米。

名师点拨:

要求小圆的半径，根据“在同圆或等圆中，半径等于直径的一半”，可先求出小圆的直径。

2（延伸题）如下图所示，这个长方形的周长是多少？

分析:

要求长方形的周长，已知长方形的宽，要先求出它的长。

从图中可看出长方形的长等于圆的2条直径加1条半径的长度，而圆的直径就是长方形的宽，即6厘米。

因此，长方形的长是6×2+6÷2=15（cm），再根据长方形的周长公式就可求出长方形的周长。

规范解答:

6×2+6÷2=15（cm）（15+6）×2=42（cm）

答：

这个长方形的周长是42cm。

名师点拨:

解决本题的关键是要学会转化，将长方形的长和宽转化为圆的直径与半径。

3（奥赛题）学校要修建一个直径是10m的圆形花坛，你能用什么方法画出这个花坛？

分析:

我们学了三种画圆的方法，手指画圆法不现实，用圆规画，又没有这么大的圆规，因此可以选择系绳画圆法。

因为要修建一个直径是10m的圆形花坛，所以它的半径是10÷2=5（m），即找一根5m长的绳子来画圆。

规范解答:

以一个人为中心，以5m长的绳子为半径画出这个花坛。

名师点拨:

画圆先要确定圆心的位置，再确定半径的长度，还要根据实际情况选择实用的工具。

例4一个圆的半径是4cm，在这个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？

分析：

根据公式求正方形的面积先要知道它的边长，而这个正方形的边长题中没有告诉，所以应该换一种思路。

通过观察图，我们可把正方形的面积看作是2个三角形的面积之和。

在圆内画一个最大的正方形，正方形的对角线（三角形的底）就是圆的直径，即4×2=8（cm），而三角形的高是圆的半径，因此三角形的面积是8×4÷2=16（cm2），三角形的面积乘2就是正方形的面积。

规范解答

（4×2）×4÷2=16（cm2）16×2=32（cm2）

答：

这个正方形的面积是32cm2。

名师点拨：

在圆内画一个最大的正方形，正方形的对角线就是圆的直径。

能力提升题2

1（延伸题）看图填空。

（1）图中圆心的位置是（，）。

（2）将圆O向下平移3格，再向右平移4格后，圆心的位置是（，）。

（3）通过平移，可以看出（）决定圆的位置。

分析

（1）观察O点所对应的列数和行数，就可以写出表示O点位置的数对。

（2）向下平移3格，行数减少3；向右平移4格，列数增加4，再根据原来O点的位置可

以知道现在的位置。

（3）通过平移，O的位置发生了变化，圆的位置也发生了变化。

规范解答

（1）（3，6）

（2）（7，3）（3）圆心

名师点拨：

圆的平移，关键点就是圆心的位置的变化。

2一个圆上有100个点，把这些点两两相连，组成三角形，一共能得到多少个三角形？

分析：

可以先得出圆上有3个点、4个点、5个点时，三角形的个数，然后通过归纳总结得出圆上有100个点时，一共有多少个三角形。

点数

3

4

5

…

三角形个数

1

2

3

…

通过分析，我们可以发现三角形的个数比点数少2个。

因此可以得出：

圆上有100个点，可以得到100-2=98（个）三角形。

规范解答：

100-2=98（个）

答：

一共能得到98个三角形。

名师点拨：

寻找规律是一个仔细探索的过程，要从简单的情况着手，仔细分析。