中考真题北京市中考数学试题解析版.docx

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中考真题北京市中考数学试题解析版

2016年北京市中考真题

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．（3分）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（　　）

A．45°B．55°C．125°D．135°

2．（3分）神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（　　）

A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×105

3．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣bD．a＜﹣b

4．（3分）内角和为540°的多边形是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆锥B．三棱锥C．圆柱D．三棱柱

6．（3分）如果a+b=2，那么代数（a﹣

）•

的值是（　　）

A．2B．﹣2C．

D．﹣

7．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（3分）在1﹣7月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（　　）

A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份

9．（3分）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），则坐标原点为（　　）

A．O1B．O2C．O3D．O4

10．（3分）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：

m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是（　　）

①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费；

②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费；

③该市居民家庭年用水量的中位数在150﹣180之间；

④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180．

A．①③B．①④C．②③D．②④

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．（3分）如果分式

有意义，那么x的取值范围是　　．

12．（3分）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式　　．

13．（3分）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：

移植的棵数n

1000

1500

2500

4000

8000

15000

20000

30000

成活的棵数m

865

1356

2220

3500

7056

13170

17580

26430

成活的频率

0.865

0.904

0.888

0.875

0.882

0.878

0.879

0.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　　．

14．（3分）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，则路灯的高为　　m．

15．（3分）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：

中央四位“19991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为　　．

16．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：

已知：

直线l和l外一点P．（如图1）

求作：

直线l的垂线，使它经过点P．

作法：

如图2

（1）在直线l上任取两点A，B；

（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；

（3）作直线PQ．

所以直线PQ就是所求的垂线．

请回答：

该作图的依据是　　．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分），解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．（5分）计算：

（3﹣π）0+4sin45°﹣

+|1﹣

|．

18．（5分）解不等式组：

．

19．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：

DA=DE．

20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：

y=2x相交于点B（m，4）．

（1）求直线l1的表达式；

（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．

22．（5分）调查作业：

了解你所在小区家庭5月份用气量情况：

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2﹣5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4．

小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1，表2和表3．

表1抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：

m3）

家庭人数

2

3

4

5

用气量

14

19

21

26

表2抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：

m3）

家庭人数

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

4

用气量

10

11

15

13

14

15

15

17

17

18

18

18

18

20

22

表3抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：

m3）

家庭人数

2

2

2

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

用气量

10

12

13

14

17

17

18

19

20

20

22

26

31

28

31

根据以上材料回答问题：

小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．

23．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：

BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

24．（5分）阅读下列材料：

北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．

2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．

根据以上材料解答下列问题：

（1）用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；

（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约　　亿元，你的预估理由　　．

25．（5分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交

于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：

AC∥DE；

（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

26．（5分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：

x

…

1

2

3

5

7

9

…

y

…

1.98

3.95

2.63

1.58

1.13

0.88

…

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（2）根据画出的函数图象，写出：

①x=4对应的函数值y约为　　；

②该函数的一条性质：

　　．

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

28．（7分）在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：

在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；

想法2：

在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；

想法3：

将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．

29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为

，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．B

【解析】由图形所示，∠AOB的度数为55°，

故选B．

2．C

【解析】28000=1.1×104．

故选C．

3．D

【解析】A、如图所示：

﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；

B、如图所示：

﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；

C、如图所示：

1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；

D、由选项C可得，此选项正确．

故选D．

4．C

【解析】设多边形的边数是n，则

（n﹣2）•180°=540°，

解得n=5．

故选C．

5．D

【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选D.

6．A

【解析】∵a+b=2，

∴原式=

•

=a+b=2

故选A．

7．D

【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

8．B

【解析】由图象中的信息可知，3月份的利润=7.5﹣5=2.5元，

4月份的利润=6﹣3=3元，

5月份的利润=4.5﹣2=2.5元，

6月份的利润=3﹣1.2=1.8元，

故出售该种水果每斤利润最大的月份是4月份，

故选B．

9．A

【解析】设过A、B的直线解析式为y=kx+b，

∵点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（2，﹣4），

∴

，

解得

，

∴直线AB为y=﹣x﹣2，

∴直线AB经过第二、三、四象限，

如图，由A、B的坐标可知，沿CD方向为x轴正方向，沿CE方向为y轴正方向，

故将点A沿着CD方向平移4个单位，再沿着EC方向平移2个单位，即可到达原点位置，则原点为点O1．

故选：

A．

10．B

【解析】①由条形统计图可得：

年用水量不超过180m3的该市居民家庭一共有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）=4（万），

×100%=80%，故年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

②∵年用水量超过240m3的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）=0.35（万），

∴

×100%=7%≠5%，故年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；

③∵5万个数数据的中间是第25000和25001的平均数，

∴该市居民家庭年用水量的中位数在120﹣150之间，故此选项错误；

④由①得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，正确，

故选：

B．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．x≠1

【解析】由题意，得

x﹣1≠0，

解得x≠1，

故答案为x≠1．

12．am+bm+cm=m（a+b+c）

【解析】由题意可得：

am+bm+cm=m（a+b+c）．

故答案为am+bm+cm=m（a+b+c）．

13．0.881

【解析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率

∴这种幼树移植成活率的概率约为0.881．

故答案为0.881；

14．3

【解析】如图，∵CD∥AB∥MN，

∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，

∴

，

，

即

，

，

解得：

AB=3m，

答：

路灯的高为3m．

15．505

【解析】1～100的总和为：

=5050，

一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：

5050÷10=505，

故答案为505．

16．到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）

【解析】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），

理由：

如图，∵PA=AQ，PB=QB，

∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，

∴直线AB垂直平分线段PQ，

∴PQ⊥AB．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分），解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程

17．解：

（3﹣π）0+4sin45°﹣

+|1﹣

|

=1+4×

﹣2

﹣1

=1

﹣2

+

﹣1

=

18．解：

解不等式2x+5＞3（x﹣1），得：

x＜8，

解不等式4x＞

，得：

x＞1，

∴不等式组的解集为：

1＜x＜8．

19．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠E=∠BAE，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠E=∠DAE，

∴DA=DE．

20．解：

（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴

=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，

解得：

m＞﹣

．

（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0，

即x（x+3）=0，

解得：

x1=0，x2=﹣3．

21．解：

（1）∵点B在直线l2上，

∴4=2m，

∴m=2，点B（2，4）

设直线l1的表达式为y=kx+b，

由题意

，解得

，

∴直线l1的表达式为y=

x+3．

（2）由图象可知n＜2．

22．解：

小天调查的人数太少，小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：

（2×3+3×11+4）÷15=2.87，

远远偏离了平均人数的3.4，所以他的数据抽样有明显的问题，

小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为：

（2×2+3×7+4×4+5×2）÷15=3.4，

说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的反应出该小区家庭5月份用气量情况．

23．

（1）证明：

在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=

AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=

AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM．

（2）解：

∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由

（1）可知，BM=

AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

由

（1）可知MN=BM=

AC=1，

∴BN=

24．解：

（1）2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值如图所示，

（2）设2013到2015的平均增长率为x，

则2406.7（1+x）2=3072.3，

解得x≈13%，

用近3年的平均增长率估计2016年的增长率，

∴2016年的增长率为3072.3×（1+13%）≈3471.7亿元．

故答案分别为3471.7，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率．

25．

（1）证明：

∵ED与⊙O相切于D，

∴OD⊥DE，

∵F为弦AC中点，

∴OD⊥AC，

∴AC∥DE．

（2）解：

作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．

首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．（方法二：

证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）

∵AC∥DE，AE=AO，

∴OF=DF，

∵AF⊥DO，

∴AD=AO，

∴AD=AO=OD，

∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，

∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DO=a，

∴AO∥CD，又AE=CD，

∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=

a，

∴平行四边形ACDE面积=

a2．

26．解：

（1）如图，

（2）①x=4对应的函数值y约为2.0；

②该函数有最大值．

故答案为2，该函数有最大值．

27．解：

（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，

∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．

（2）①∵m=1，

∴抛物线为y=x2﹣2x，

令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），

∴线段AB上整点的个数为3个．

②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，

∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），

当抛物线经过（﹣1，0）时，m=

，

当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=

，

∴m的取值范围为

＜m≤

．

28．解：

（1）∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；

（2）如图2，∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ，（将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM）

∵点Q关于直线AC的对称点为M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等边三角形，

∴AP=PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK.

29．解：

（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：

点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，

∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：

AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，

又∵点A，C的“相关矩形”为正方形

∴直线AC与x轴的夹角为45°，

设直线AC的解析为：

y=x+m或y=﹣x+n

把（1，0）分别y=x+m，

∴m=﹣1，

∴直线AC的解析为：

y=x﹣1，

把（1，0）代入y=﹣x+n，

∴n=1，

∴y=﹣x+1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，

∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：

直线MN与x轴的夹角为45°，

∴k=±1，

∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，

当k=1时，

作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，

其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，

连接OA，OC，

把M（m，3）代入y=x+b，

∴b=3﹣m，

∴直线MN的解析式为：

y=x+3﹣m

∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，

∴OD=

OA=2，

∴D（0，2）

同理可得：

B（0，﹣2），

∴令x=0代入y=x+3﹣m，

∴y=3﹣m，

∴﹣2≤3﹣m≤2，

∴1≤m≤5，

当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b，

∴b=3+m，

∴直线MN的解析式为：

y=﹣x+3+m，

同理可得：

﹣2≤3+m≤2，

∴﹣5≤m≤﹣1；

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：

1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1