勾股定理知识点梳理.docx
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勾股定理知识点梳理
勾股定理知识点梳理
勾股定理知识点梳理
1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角,直角三
角型的两锐角互余;②边,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,用符号表示:
在Rt
△ABC中,a=b=c=;③面积,两种计算面积的方法。
2.如何判定一个三角形是直角三角形呢?
①有一个内角为直角的三角形是直角三角形;②两个内角互余的三角形是直角三角形;③如果三角形的三边长为a、b、c满足Jb2c那么这个三角形是直角三角形
3•勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
4・互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
5.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即L中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如
3,4,5;6,&10;5,12,13;7,24,25,8,15,17;
9,40,41
6•勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼
图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重
叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,出等式,推导出勾股定理
方法一:
常见方法如下:
4S'正方形EFGH&E方形ABCD,41甜(b8)「C~,
简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的
币口"为S4xabc2abc
大正方形面积为S(ab)2a22abb2
所以zC2
方法二:
◎弟形2 ◎弟形2SySabe22ab2",化简 得证 一.典型例题 类型一: 勾股定理的直接用法 1、在RtAABC中,/090° (1)已知a=6,c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b二15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先1 写上在哪个直角二角形中,注意勾股定 理的变形使用。 c 丫举一反三 【变式】: 如图/B=zACD90°,AD二13,CD二12,BC=3,则AB的长是多少? 类型二: 勾股定理的构造应用 2、如图,已知: 在山死中,养6少,一70,恥劲.求: BC的长. 60o 思路点拨: 由条件二°。 。 ,想到构造含卿角的直角三角形,为此作血丄西于D则有〃皿=30o,比飞朋〃,再由勾股定理计算出ADDC的长,进而求出BC的长. 举一反三【变式1】如图,已知: 打AM=CMMPAB于p求证••沪勺刀+EC'・ 类型三: 勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了: L到达B点,然后 再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 (1)求/C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2・5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CDLAB,与地面交于H. (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前 正在全国各地农村进行电网改 造,某地有四个村庄AB、C、D,且正好位于一个正方形的四 个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分•请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. 思路点拨: 解答本题的思路是: 最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论. 举_反三 【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm高AE为4cmEC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程. 解: 如图,在RtAABC中,EC二底面周长的一半二10cm根据 勾股定理得 (提冋: 勾股定理) =2伤〜1°.77 AC二厂'+Q二曲+1。 2 (cm)(勾股定理). 答: 最短路程约为10.77cm. 类型四: 利用勾股定理作长为亦■的线段 5、作长为庞、击、击的线段。 思路点拨: 由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于屁,直角边为血和1的直角三角形斜边长就是巧,类似地可作亦。 举一反三【变式】在数轴上表示颍的点。 解析: 可以把伍看作是直角三角形的斜边,(Vfc/=io 为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。 作法: 如图所示在数轴上找到A点,使0A=3作彳CIOA且截取AC二1以0C为半径, 以0为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为烦。 类型五: 逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1•原命题: 猫有四只脚.(正确) 2•原命题: 对顶角相等(正确) 3•原命题: 线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确) 4•原命题: 角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确) 思路点拨: 掌握原命题与逆命题的关系。 解析: 1•逆命题: 有四只脚的是猫(不正确) 2.逆命题: 相等的角是对顶角(不正确) 3.逆命题: 到线段两端距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上•? (正确) 4.逆命题: 到角两边距离相等的点,在这个角的平分 线上.(正确) 总结升华: 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果△ABC勺三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判断△ABC勺形状。 总结升华: 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用至U。 举一反三【变式1】四边形ABC冲,/B二90。 , AB=3BC=4CD=12AD=13求四边形ABCD 的面积。 【变式2】已知: △ABC勺三边分别为mx—n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mt>n),判断△ABC是否为直角三角形. 分析: 本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明: a2+b2=c2即可 证明: (启-呼)2+(加朗术5*-2wi小4『+4删如' Of), 所以△ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCDE为BC中点,F2 为AB上一点,且BF二AB 请问FE与DE是否垂直? 请说明 经典例题精析 类型一: 勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积 思路点拨: 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。 总结升华: 直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数, 然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。 【变式2】直角三角形周长为12cm斜边长为 5cm求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长 分别是n+1,n+2,n+3,求n。 思路点拨: 首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是() A、8,15,17B、4,5,6C、5,8, 10D、8,39,40 解析: 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行 判断, 【变式5】四边形ABC冲,/B=90°,AB=3BC=4CD=12 AD=13求四边形ABCD勺面积。 类型二: 勾股定理的应用 2、如图,公路MN和公路PQ在点P、/处交汇, 且/QPN=30°,点A处有一八所中学,AP=160m 假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响? 请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨: (1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。 (2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。 因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学 校。 同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那 么,AD=100(m),BD二60(m), ・•・CD=120(m)o 拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/s t=120妣八5m/s=24so 答: 拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时, 学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24 秒。 总结升华: 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条 “路”。 他们仅仅少走了步路(假设2步为In),却踩伤 了花草。 解析: 他们原来走的路为3+4二7(m)设走“捷径〃的路长为xm贝: : 故少走的路长为7-5=2(m) 又因为2步为lm所以他们仅仅少走了4步路。 【答案】4 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。 (1)直接写出单位正三角形的高与面积。 (2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形? 平行四边形ABCD勺面积是多少? (3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)o 类型三: 数学思想方法 (一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决. 3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=ACD是斜边BC 的中点,E、F分别是ABAC边上的点,且DELDF,若BE=12 CF=5求线段EF的 长 思路点拨: 现已知BECF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD. 总结升华: 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定 理等知识。 通过此题,我们可以了解: 当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 (二)方程的思想方法 4、如图所示,已知△ABC中,/090°,ZA=60°,m+“3+右,求©的值。 思路点拨: 由+二3+侖,再找出*、3的关系即可求出4和b的值。 总结升华: 在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边 是斜边的一半。 举一反三: 【变式】如图所示,折叠矩形的一 边AR使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cmBC=10crp求EF的长。
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