数学思想方法的渗透.ppt
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数学思想方法的渗透数学思想方法的渗透龙南县新都学校龙南县新都学校曾志成曾志成1、数学的基本思想、数学的基本思想数学产生与发展所依赖的思想,本质上有:
数学产生与发展所依赖的思想,本质上有:
抽象、推理、模型抽象、推理、模型通过抽象,在现实世界中得到数学的概念。
通过抽象,在现实世界中得到数学的概念。
通过推理,得到数学的发展。
通过推理,得到数学的发展。
通过模型,建立数学与外部世界的联系。
通过模型,建立数学与外部世界的联系。
2、数学思维的基本形式、数学思维的基本形式逻辑思维逻辑思维形象思维形象思维直觉思维直觉思维数学逻辑思维的基本形式:
概念、判断、推理。
数学逻辑思维的基本形式:
概念、判断、推理。
数学形象思维的基本形式:
表象、直感、想象。
数学形象思维的基本形式:
表象、直感、想象。
数学直觉思维的基本形式:
直觉、灵感。
数学直觉思维的基本形式:
直觉、灵感。
数学思维的个性品质:
广阔性、深刻性、灵活性、数学思维的个性品质:
广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性敏捷性、独创性、批判性3、小学数学中的数学思想方法、小学数学中的数学思想方法主要有:
主要有:
分类思想、数形结合思想、转化(化归)思想、分类思想、数形结合思想、转化(化归)思想、类比思想、推理思想、符号化思想、方程思想、类比思想、推理思想、符号化思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想数形结合思想:
数形结合思想:
通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。
通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。
数形结合思想在数学中的应用大概可分为两种情形:
数形结合思想在数学中的应用大概可分为两种情形:
借助数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性,可称之借助数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性,可称之为为“以数解形以数解形”;借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系,可称之借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系,可称之“以以形助数形助数”。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。
化,有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。
“数缺形时少直觉,形少数时难入微。
数缺形时少直觉,形少数时难入微。
”华罗庚华罗庚“三角形三边的关系三角形三边的关系”一课,如何让学生理解一课,如何让学生理解“任意两边的和大于第三边任意两边的和大于第三边”呢?
引导学生探索要同呢?
引导学生探索要同时满足时满足“红边红边+蓝边黑边、红边蓝边黑边、红边+黑边蓝边、蓝黑边蓝边、蓝边边+黑边红边黑边红边”这这3个条件个条件(即(即a+bc、a+cb、b+ca)时,才能围成一个三角形。
引导学时,才能围成一个三角形。
引导学生积累全面地、整体的进行推理论证的经验。
生积累全面地、整体的进行推理论证的经验。
abc转化(化归)思想:
转化(化归)思想:
面对数学问题,如果直接应用已有知识不能或不易解决问题,将需要面对数学问题,如果直接应用已有知识不能或不易解决问题,将需要解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较容易解决的问解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较容易解决的问题,最终使问题得到解决的思想方法。
题,最终使问题得到解决的思想方法。
转化(化归)思想应用非常广泛。
转化(化归)思想应用非常广泛。
把生活中的问题转化为数学问题;把生活中的问题转化为数学问题;把陌生问题转化为熟悉的问题;把陌生问题转化为熟悉的问题;把复杂问题转化为简单问题;把复杂问题转化为简单问题;把抽象问题转化为具体问题;把抽象问题转化为具体问题;把未知转化为已知把未知转化为已知转化(化归)转化(化归)既是一般化的数学思想方法,也是攻克各种复杂问题的既是一般化的数学思想方法,也是攻克各种复杂问题的法宝之一。
法宝之一。
转化(化归)思想方法具有普遍的意义、重要作用。
转化(化归)思想方法具有普遍的意义、重要作用。
模型思想:
模型思想:
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。
数量关系和空间形式的一种数学结构。
通过抽象、概括和一般化,把研究的对象或问题转化为本质(关系或通过抽象、概括和一般化,把研究的对象或问题转化为本质(关系或结构)同一的另一对象或问题加以解决的思维方法。
结构)同一的另一对象或问题加以解决的思维方法。
模型思想是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式,更加模型思想是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式,更加重视如何经过分析抽象建立模型,更加重视如何应用数学解决生活和重视如何经过分析抽象建立模型,更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。
科学研究中的各种问题。
数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用,模型思数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用,模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位;想在数学思想方法中有非常重要的地位;数学的模型思想是一般化的思想方法,具有普遍的意义。
数学的模型思想是一般化的思想方法,具有普遍的意义。
模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
用各种数学知识建立数学模型来解决问题。
用各种数学知识建立数学模型来解决问题。
推理思想:
推理思想:
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。
推理分为两种形式:
演绎推理和合情推理。
推理分为两种形式:
演绎推理和合情推理。
推理是人们认识客观规律的必要手段。
推理是人们认识客观规律的必要手段。
数学的学习过程,证明、推导、分析、探索、讨论等,主要运用数学的学习过程,证明、推导、分析、探索、讨论等,主要运用推理的思想方法。
推理的思想方法。
在解决问题过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路,发现在解决问题过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论;演绎推理用于证明结论的正确性。
结论;演绎推理用于证明结论的正确性。
推理是数学的基本思维方式,也是人们在学习和生活中经常使用的思推理是数学的基本思维方式,也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。
维方式。
人们的思维活动,主要是推理。
要懂得思考,就要懂得推理;要能人们的思维活动,主要是推理。
要懂得思考,就要懂得推理;要能正确思考,就要能正确推理;要善于思考,就要善于推理。
正确思考,就要能正确推理;要善于思考,就要善于推理。
培养学生的推理能力是数学教育的主要任务之一。
培养学生的推理能力是数学教育的主要任务之一。
渗透数学思想方法、培养思维能力的教学建议渗透数学思想方法、培养思维能力的教学建议发展学生的逻辑思维、形象思维、直觉思维,需落实在发展学生的逻辑思维、形象思维、直觉思维,需落实在使学生初步学会观察、比较、分析、综合、联想、想象、类使学生初步学会观察、比较、分析、综合、联想、想象、类比、猜想、实验、抽象、概括、归纳等思维方法和判断、推比、猜想、实验、抽象、概括、归纳等思维方法和判断、推理等思维形式,同时形成敏捷、灵活等良好的思维品质。
理等思维形式,同时形成敏捷、灵活等良好的思维品质。
从思想上要有明确的认识从思想上要有明确的认识学习数学与发展思维同步学习数学与发展思维同步采取有效措施采取有效措施1、把握阶段性要求、把握阶段性要求例如:
例如:
儿童的思维能力的发展是由量变到质变、由低级到高级经历了一个儿童的思维能力的发展是由量变到质变、由低级到高级经历了一个比较复杂的过程。
比较复杂的过程。
儿童认识能力有一定的规律性,数学的内容有一定的系统性。
因此,儿童认识能力有一定的规律性,数学的内容有一定的系统性。
因此,各思维方法在具体教学中根据实际情况,应有所侧重。
各思维方法在具体教学中根据实际情况,应有所侧重。
分析与综合分析与综合低年级:
主要是借助直观的实物或表象的感性的分析、综合,由此逐低年级:
主要是借助直观的实物或表象的感性的分析、综合,由此逐步学会抽象的分析、综合。
步学会抽象的分析、综合。
中年级:
由直观的实物或表象的分析、综合过度到抽象的言语的分析、中年级:
由直观的实物或表象的分析、综合过度到抽象的言语的分析、综合。
综合。
高年级:
主要是抽象的言语的分析、综合。
高年级:
主要是抽象的言语的分析、综合。
比较与分类比较与分类抽象与概括抽象与概括低年级:
主要是直观的直接比较。
在教师引导下能进行简单的分类。
低年级:
主要是直观的直接比较。
在教师引导下能进行简单的分类。
中年级:
从直观的直接比较向抽象的间接比较过渡。
会把已学的概念进中年级:
从直观的直接比较向抽象的间接比较过渡。
会把已学的概念进行分类。
行分类。
高年级:
主要是抽象的间接比较。
独立进行有关知识的分类。
高年级:
主要是抽象的间接比较。
独立进行有关知识的分类。
低年级:
主要属于直观形象的概括水平。
低年级:
主要属于直观形象的概括水平。
中年级:
主要属于形象抽象的概括水平。
中年级:
主要属于形象抽象的概括水平。
高年级:
以本质抽象概括为主。
高年级:
以本质抽象概括为主。
判断与推理判断与推理低年级:
借助图形以直接判断推理为主,基本上处于直观的水平。
低年级:
借助图形以直接判断推理为主,基本上处于直观的水平。
初步掌握肯定与否定的判断形式,开始注意有根据、有顺序、初步掌握肯定与否定的判断形式,开始注意有根据、有顺序、有条理地进行思考。
有条理地进行思考。
中年级:
间接判断推理增多,从直观的水平逐渐过渡到比较抽象的水平。
中年级:
间接判断推理增多,从直观的水平逐渐过渡到比较抽象的水平。
能够独立地、比较熟练地运用肯定与否定的判断形式,找出事能够独立地、比较熟练地运用肯定与否定的判断形式,找出事物或现象间的因果联系,具有一定的迁移能力。
物或现象间的因果联系,具有一定的迁移能力。
高年级:
以间接判断推理为主,处于比较抽象的水平。
高年级:
以间接判断推理为主,处于比较抽象的水平。
在熟练地掌握肯定、否定判断形式的基础上,开始掌握在熟练地掌握肯定、否定判断形式的基础上,开始掌握“既既是是又是又是”“”“不是不是就是就是”“”“如果如果就就”等等判断形式,推理过程能注意合理、简捷,能够运用比较规范的数判断形式,推理过程能注意合理、简捷,能够运用比较规范的数学语言加以表述,迁移能力较强。
学语言加以表述,迁移能力较强。
2、正确处理好几个关系、正确处理好几个关系阶段性和连续性的关系阶段性和连续性的关系小学生思维能力的培养分为低、中、高三个相对独立的小学生思维能力的培养分为低、中、高三个相对独立的阶段,但不能把每两个相邻的阶段截然分开。
阶段,但不能把每两个相邻的阶段截然分开。
前一年段孕育着后一年段的一些特点,后一年段又遗留前一年段孕育着后一年段的一些特点,后一年段又遗留着前一年段的某些特点。
着前一年段的某些特点。
它们是相互联系、相互渗透、逐步过渡的。
它们是相互联系、相互渗透、逐步过渡的。
处理好阶段性与连续性的关系,循序渐进,及时过渡,防处理好阶段性与连续性的关系,循序渐进,及时过渡,防止教学上不适当的止教学上不适当的“超前超前”或或“滞后滞后”现象,促使小学生思现象,促使小学生思维能力持续而又正常地发展。
维能力持续而又正常地发展。
整体性和个别性的关系整体性和个别性的关系思维能力是一个整体结构。
在数学教学过程中,各种思维能力是一个整体结构。
在数学教学过程中,各种思维方法与形式只有相对的独立性,在思维过程中是密思维方法与形式只有相对的独立性,在思维过程中是密切联系、相互补充、交错作用的。
切联系、相互补充、交错作用的。
例如,加法交换律的教学:
例如,加法交换律的教学:
例例11李叔叔今天一共骑了多少千米?
李叔叔今天一共骑了多少千米?
40+56=9640+56=96(千米)(千米)56+40=9656+40=96(千米)(千米)上面两个算式的结果相同,所以上面两个算式的结果相同,所以
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