易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析.docx
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易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析
利用二次函数解决利润的最值问题
——我对北师大课本一道例题的认识
北师大2014年7月第1版数学九年级下册P48例题的解答中有这样一个过程:
y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440
这里并没有把关系式先化为一般形式,而是直接写成二次函数的顶点式,有的同学会问,这里的“2”和“19440”是怎么来的,不是用
,
吗?
不化为一般形式怎么找a、b、c呀!
其实我们只需求出抛物线与x轴的交点横坐标,即y=0时x的两个值,再根据抛物线的对称性,或运用“中点坐标公式
”,就得到了抛物线的顶点横坐标,再把它代入关系式即可求出对应y的值,也就是顶点纵坐标。
如果把这道例题变为一道填空或选择题,我们巧用抛物线的对称性,过程会既节又省,提高做题效率。
比如:
某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满。
经市场据调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间。
不考虑其它因素,旅馆将每间客房的日租金提高到____元时,客房日租金的总收入最高。
设每间客房的日租金提高10x元,客房日租金的总收入为y元,则
y=(160+10x)(120-6x),令y=0,得两根为-16和20,根据抛物线的对称性,得顶点横坐标为x=2。
由x
0且120-6x>0得0
x<20,x=2在此范围内。
当x=2时每间客房的日租金提高到160+10x=180(元)
其实本题在解答时根本没有必要求出关系式,当然你对二次函数的有关性质必须是了然于胸的。
对于这类带有“最”字的问题,如花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等,是我们学习二次函数后常遇到的数学问题,这就是我们要讨论的最值问题。
在代数中,求最值的问题的方法归纳起来有以下几点:
1.建立函数模型求最值:
2.运用配方法求最值:
分式
的最小值为4
若
,则
可取得的最小值为()
A.3B.
C.
D.6
提示:
设
,则
可用只含
的代数式表示,通过配方求最小值
3.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值:
设a、b为实数,那么
的最小值是1
4.利用基本不等式求最值:
正实数
、
满足
,那么
的最小值为(C)
A.
B.
C.1D.
E.
(1)
;
(2)
;(3)若
,
,则
;
下面我们主要研究利用二次函数模型解决最值问题。
它解题的一般步骤是:
(1)设定实际问题中的自变量和因变量(即函数);
如在“当AA为何值时,BB最大”的设问中,AA要设为自变量,BB要设为函数。
(2)列出函数与自变量之间的函数关系式;
这里的函数关系式要写成二次函数的顶点式(注意技巧)。
(3)找出自变量的取值范围,保证自变量具有实际意义;
(4)在自变量的取值范围内解答函数最值,并相应地写出答案。
二次函数中的利润型应用题
(一)熟悉基本公式和解题思路:
此类问题常用的公式是:
总利润=单件商品利润×销售数量
设未知数时,总利润必然是函数y,自变量可能是涨价多少(或降价多少),也可能是最终的售价。
看下面的问题:
例(2015•营口,第16题3分)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:
当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大。
【解法一】:
设利润为y元,定价为x元。
根据题意得:
y=(x﹣15)[8+2(25-x)]=(x﹣15)(58-2x)
=﹣2x2+88x﹣870=﹣2(x﹣22)2+98
由x-15
0且58-2x>0得15
x<29,x=22在此范围内。
∵a=﹣2<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x=22时,y最大值=98.
故答案为:
22.
由于这个问题中存在诸多变量,许多同学想不明白,我看这样想行不行:
单件利润=售价-进价,进价是不变的,而售价现在变为x了,则单件利润就是(x-15)。
而这时数量变化依然是因为降价而造成的,始终有降价2元多卖4件这一关系,所以如果知道了降多少元,就必然知道多卖多少件。
那么降了多少元呢?
最初的售价是25元,降价后的售价是x元,那么之间的差值就是所降的价格,即降价为(25-x)。
我们知道降2元多卖4件,降1元多卖2件,现在降了(25-x)负全部元,那么就应该多卖2×(25-x)件,注意这只是多卖的,总共卖的应该是原来卖的8件加上多卖的,即8+2(25-x)。
所以数量就是[8+2(25-x)]。
单利润知道了是x-15,销售数量也知道了是8+2(25-x),则总利润y=(x﹣15)[8+2(25-x)]。
【解法二】:
设利润为y元,定价为x元。
根据题意得:
y=(x﹣15)[8+2(25-x)]=(x﹣15)(58-2x)
由于本题是一道填空题,所以只要明了二次函数的意义,就可以快速解题:
x﹣15=0得x=15;58-2x=0得x=29。
其实在这里就已经能求出自变量x的取值范围了(15
x<29)。
下面根据抛物线的对称性,得顶点横坐标为x=22。
由x-15
0且58-2x>0得15
x<29,x=22在此范围内。
故答案为:
22.
【解法三】:
设利润为y元,降价2x元,则定价为(25-2x)元。
根据题意得:
y=(25﹣15-2x)(8+4x)=(10-2x)(8+4x)
10-2x=0得x=5;8+4x=0得x=-2;下面根据抛物线的对称性,得顶点横坐标为x=1.5。
由10-2x
0且8+4x>0及2x>0得0 5,x=1.5在此范围内。 故答案为: 25-2x=22. 解法三有的同学总是想不好,因为变化的量太多,是吧,这么想: 这里设的是降低的价格,因为降价,所以单利润会有变动,又因为进价不变,那降多少元,利润就减少多少元,降价2x元,利润就减少2x元,所以单利润就减少2x元,即单利润变为: (25-15-2x)元。 再想销售量: 因为降价卖的就多,那么数量怎么变? 原来一天8件,每降2元多卖4件,降2x元就应该多卖4x件,所以数量就变为: (8+4x)件 最后得便得到了总利润: y=(25﹣15-2x)(8+4x)=(10-2x)(8+4x) 综上三种解法,可以看出第二种解法较迅速并且不易出错。 练习1: (2015•滨州,第22题10分)一种进价为每件40克的T恤,若销售单价为60元,则每周可卖出300件,为提高利益,就对该T恤进行涨价销售,经过调查发现,每涨价1元,每周要少卖出10件,请确定该T恤涨价后每周销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大? 参考答案: y=(x﹣40)[300﹣10(x﹣60)]=﹣10x2+1300x﹣36000 练习2: 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。 当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。 该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。 经市场调查发现: 当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。 综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。 (1)当每吨售价是240元时,月销售量为______; (2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元? (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说: “当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗? 请说明理由。 参考答案: (1)60吨 (2)200元(3)售价定为每吨210元时月利润最大(4)售价定为每吨160元时月销售额最大(用二次函数或举反例均可) 练习3: 某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)。 设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元. (1)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润? 最大的月利润是多少元? (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元? 根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元? 参考答案注意事项: (1)y=(50+x-40)(210-10x)=-10(x-5.5)2+2402.5 ∵50+x≤65且x>0 ∴0 ∴当x=5或6时(不是5.5),y=2400(元);50+x=55或56(元) ∴当售价定为每件55或56元,月利润最大,最大的月利润是2400元。 (2)当售价定为每件51或60元,每个月的利润为2200元。 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时,每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的利润不低于2200元)。 练习4: 某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元 注意: ①“为了投资少而获利大”②每次提高2元 总结: 利用二次函数解决最大利润,最大销量等问题,关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围。 (二)会处理自变量的取值范围在对称轴一侧的问题 例某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱。 求该批发商平均每天的销售利润y(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? 解答: y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200 ∵40≤x≤55,90-3(x-50)>0 ∴40≤x≤55 ∵抛物线开口向下,在对称轴直线x=60的左侧,y随x的增大而增大 ∴当x=55时,y最大=1125 答: 关系式为y=-3x2+360x-9600,每箱苹果的销售价为55元时,可以获得最大利润,最大利润是1125元。 练习: 某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克,物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系: y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w(元). (1)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大? 最大利润是多少? (2)该农户想要每天获得不低于150元的销售利润,销售价应定为多少? 参考答案: 2819225——28(25、26、27、28) 总结: 根据函数解析式求出的最值是理论值,与实际问题中的最值不一定相同,需考虑自变量的取值范围。 所以确定出二次函数的解析式后,要根据题意列不等式组求出自变量x的取值范围。 如果取值范围在对称轴的一侧,要根据抛物线的增减性找出二次函数的最值。 (三)二次函数与一次函数的综合 例2(2015•鄂州,第23题10分)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元。 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元。 经市场调查发现: 日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100。 在销售过程中,每天还要支付其他费用450元. (1)y与x的关系式为_________,自变量x的取值范围是_________。 (2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式。 (3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大? 最大获利是多少元? 解答: (1)y=﹣2x+200(30≤x≤60) (2)W=(x﹣30)(﹣2x+200)﹣450=﹣2x2+260x﹣6450 (3)W=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2(x﹣65)2+2000, ∵30≤x≤60, ∴x=60时,w有最大值为1950元, ∴当销售单价为60元时,该公司日获利最大,最大获利是1950元。 练习1: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售单价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: 若把销售单价x与日销售量y作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x是_______函数。 (1)直接写出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式为______; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售单价应定为多少元? 此时每日销售利润是多少元? (3)若销售单价不得超过20元,每日的销售利润最大是多少? (4)若销售利润不低于125元,销售单价应如何确定? 练习2: 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元;市场调查发现,若每箱以45元的价格销售,平均每天销售105箱;每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.假定每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间满足一次函数关系式. (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式; (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? 练习3: “健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≧30)存在如下图所示的一次函数关系. (1)试求出y与x的函数关系式; (2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润? (3)根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 的范围(直接写出). 参考答案: (1)y=-20x+1000 (2) .x=35. 即当销售单价为 元/千克时,每天可获得最大利润. (3) 或 . 练习4: (2015•湖北)为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来领前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒. (1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式; (2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大? 最大利润是多少? (3)为稳定物价,有关管理部门限定: 这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒? 参考答案: (1)由题意得,y=700﹣20(x﹣45)=﹣20x+1600; (2)P=(x﹣40)(﹣20x+1600)=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20(x﹣60)2+8000, (3)由题意,得﹣20(x﹣60)2+8000=6000,解得x1=50,x2=70. ∵∴50≤x≤58. ∵在y=﹣20x+1600中,y随x的增大而减小 ∴当x=58时,y最小值=﹣20×58+1600=440,即超市每天至少销售粽子440盒. 总结: 既有一次函数又有二次函数,要分清、认准变量字母,不能混淆。 注意哪个函数需要用待定系数法,哪个需要根据题意进行计算得出。 要处理好这些字母之间的“亲属”关系,沉得住气,认真仔细地将题目中所提供的信息加工梳理,有条不紊地进行“抽丝剥茧”,最终解决问题。 (三)分段函数及其最值的讨论 例2(2015•黄石第23题8分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件40元,售价为每件60元,每月可卖出300件.市场调查反映: 调整价格时,售价每上涨1元每月要少卖10件;售价每下降1元每月要多卖20件。 为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为60+x(元/件)(x>0即售价上涨,x<0即售价下降),每月饰品销量为y(件),月利润为w(元)。 (1)直接写出y与x之间的函数关系式; (2)如何确定销售价格才能使月利润最大? 求最大月利润; (3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格? 解答: (1)由题意可得: y= (且x为整数) (2)由题意可得: w= 化简得: w= 在0≤x≤30时,x=5可得W最大=6250;在-20≤x<0时,因为x为整数所以x=2或3可得W最大,此时W最大一定<6125<6250。 故当x=5即销售价格为65元时,利润最大,最大利润为6250元 (3)由题意得w≥6000,如图,令w=6000, 即6000=﹣10(x﹣5)2+6250;6000=﹣20(x+ )2+6125, 解得: x1=﹣5,x2=0,x3=10, ∴当﹣5≤x≤10时,即将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6000元。 练习: 某专卖店经市场调查得知,一种商品的月销售量Q(单位: 吨)与销售价格x(单位: 万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示. (1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系; (2)如果该商品的进价为5万元/吨,除去进货成本外,专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元,问该商品每吨定价多少万元时,销售该商品的月利润最大? 并求月利润的最大值. 根据市场调查,某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图 (1)中的一条折线表示,销售量Q与时间t的关系用图 (2)中的线段表示(t为正整数) (1)分别写出图1表示的价格P与时间t的函数关系式,图2表示的销售量Q与时间t的函数关系式. (2)求这种商品的销售额S(销售额=销售量×价格)的最大值及此时的时间. 总结: ①此类问题涉及分段函数,如何分段,怎样表达每个分段函数是个难点;②必须对不同的最值进行比较、整理、归纳才能得出最终的结论;③注意考虑各段内的自变量取值范围,结果是否满足各段自变量的取值范围。 这是解此类综合应用题目的特点。 对于“二次函数值不小于某某”这类题型,先令“其值等于某某”,然后再利用函数的草图得出x的取值范围。 此类题型计算量大,做时要耐心细致。 练习1: (2015•江苏南通,第26题10分)某网店打出促销广告: 最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元. (1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多? 参考答案: (1) y= = (且x为整数) (2)在0≤x≤10时,y=100x,当x=10时,y有最大值1000; 在10<x≤30时,y=﹣3x2+130x=-3(x- )2+ , ∵x为整数,根据抛物线的对称性得x=22时,y有最大值1408. ∵1408>1000, ∴顾客一次购买22件时,该网站从中获利最多。 练习2: 四川汶川大地震发生后,我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的订单,要求必须在12天(含12天)内完成.已知每顶帐篷的成本价为800元,该车间平时每天能生产帐篷20顶.为了加快进度,车间采取工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高.这样,第一天生产了22顶,以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶.由于机器损耗等原因,当每天生产的帐篷达到30顶后,每增加1顶帐篷,当天生产的所有帐篷,平均每顶的成本就增加20元.设生产这批帐篷的时间为x天,每天生产的帐篷为y顶. (1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (2)若这批帐篷的订购价格为每顶1200元,该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区.设该车间每天的利润为W元,试求出W与x之间的函数关系式,并求出该项车间捐献给灾区多少钱? 参考答案: (1)y=2x+20(1≤x≤12且x为整数) (2)当1≤x≤5时,第x天营业额W=y×(1200-800)=(2x+20)×400=800x+8000, 当x=5时,W最大,W最大=12000(元)。 当6≤x≤12时, 每顶成本为800+(2x+20-30)×20=600+40x, 每顶利润为1200-(600+40x)=600-40x, 则W=y×(600-40x) =(2x+20)×(600-40x) =-80(x-2.5)2+12500 当x=6时,W最大时,W最大=11520。 综上所述,W最大为12000(元)。 练习3: 我市某服装厂生产的服装供不应求,A车间接到生产一批西服的紧急任务,要求必须在12天(含12天)内完成.为了加快进度,车间采取工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高,每天生产的西服数量y(套)与时间x(天)的关系如下表: 平均每套西服的成本z(元)与时间x(天)的关系式为: 请解答下列问题. (1)求每天生产的西服数量y(套)与x(天)之间的关系式及成本z(元)与x(天)之间的关系式. (2)已知这批西服的订购价格为每套1570元,设该车间每天的利润为W(元),试求出日利润W(元)与时间x(天)之间的函数关系式,并求出哪一天该车间获得最大利润,最大利润是多少元? (3)在实际销售中,从第6天起,该厂决定每销售一套西服就捐赠利润a(元)给希望工程。 厂方通过销售记录发现,每天扣除捐赠后的日销售利润(元)随时间(天)的增大而增大,求a的取值范围。 参考答案: (1)y=2x+20 1≤x≤5且x为整数时z=800x+8000 6≤x≤12且x为整数时z=80x2+1200x+4000 (2)当1≤x≤5时,W=2340x+23400, 当x=5时,W最大,W最大=35100(元)。 当≤x≤12时,W=-80x2+1940x+27400 当x=12时,W最大时,W最大=39160。 综上,W最大为39160(元) (3)捐款后利润为W=-80x2+1940x+27400-a(2x+20) =-80x2+(1940-2a)x+27400-20a 由题意知其顶点横坐标必须不小于12 练习4: 已知某商品的进价为每件40元,现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映: 如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%,则销售单价定为多少时,商场可获得最大利润? 最大利润是多少? 参考答案: 56≤x≤64涨价时: y=(x-40)(900-10x)(60≤x≤90)x=64时y最大6150;降价时y=(x-40)[300+20(60-x)](40≤x≤60)x=57.5时y最大6125综上定价为64元时最大6150元 二次函数中的面积型应用题 例1(2015•温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为 m
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