完整版数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学.docx
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数列专题复习
、等差数列的有关概念:
1、等差数列的判断方法:
定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n2)。
如设{an}是等差数列,求证:
以bn=a1a2annN*为通项公式的数列{bn}为
n
等差数列。
2、等差数列的通项:
ana1(n1)d或anam(nm)d。
如
(1)等差数列{an}中,a1030,a2050,则通项an(答:
2n10);
(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是
8d3)
3
2*
12nn2(n6,nN*)
Tn)
n2*
n212n72(n6,nN*)
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:
a1、d、n、an及
Sn,其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为⋯,a2d,ad,a,ad,a2d⋯(公差为d);偶数个数成等差,可设为⋯,a3d,ad,ad,a3d,⋯(公差为2d)
5、等差数列的性质:
(1)当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n和Snna1n(n1)ddn2(a1d)n是关于n的二次
n12212
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。
(3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap.
如
(1)等差数列{an}中,Sn18,anan1an23,S31,则n=(答:
27);
(4)若{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、
*a
{apnq}(p,qN*)、Sn,S2nSn,S3nS2n,⋯也成等差数列,而{aan}成等比数列;若{an}是等比数列,且an0,则{lgan}是等差数列.
如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。
(答:
225)
(5)在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇nd;项数为奇数2n1时,S奇S偶a中,S2n1(2n1)a中(这里a中即an);S奇:
S偶n:
n-1。
2)项数为奇数的等差数列
如
(1)在等差数列中,S11=22,则a6=(答:
2);
{an}中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:
5;31)
6)若等差数列{an}
An
{bn}的前n和分别为An、Bn,且nf(n),则
Bn
(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增
an0或an0确定出前多少项为非负(或非正);法二:
因等差数列前n项是关于
an10an10
n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性nN*。
上述两种方法是运用了哪种数学思想?
(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
如
(1)等差数列{an}中,a125,S9S17,问此数列前多少项和最大?
并求此最大
值。
(答:
前13项和最大,最大值为169);
(2)若{an}是等差数列,首项a10,a2003a20040,a2003a20040,则使前n项和
Sn0成立的最大正整数n是(答:
4006)
3)在等差数列an中,a100,a110,且a11|a10|,Sn是其前n项和,则()
A、S1,S2LS10都小于0,S11,S12L都大于0
B、S1,S2LS19都小于0,S20,S21L都大于0
C、S1,S2LS5都小于0,S6,S7L都大于0
求证:
数列{bn}是等比数列。
1或2)
2
a99(答:
44);
如
(1)等比数列中,q=2,S99=77,求a3a6
10n
2)(Cnk)的值为(答:
2046);
n1k0
特别提醒:
等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,
要对q分q1和q1两种情形讨论求解。
4、等比中项:
若a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等比中项。
提醒:
不是任何
两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab。
如已知两个正数
a,b(ab)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为(答:
A>B)
提醒:
(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:
a1、q、n、an及
Sn,其中a1、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,
即知3求2;
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为⋯,
a2,a,a,aq,aq2⋯(公比为q);但偶数个数成等比时,不能设为⋯a3,a,aq,aq3,⋯,
q2qq3q
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为q2。
如有四个数,其中前三
个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三
个数的和为12,求此四个数。
(答:
15,,9,3,1或0,4,8,16)
5.等比数列的性质:
(1)当mnpq时,则有amganapgaq,特别地,当mn2p时,则有
2amganap
2)各项均为正数的等比数列
答:
512);
{an}中,若a5a69,则log3a1log3a2Llog3a10
答:
10)。
{|an|}、{apnq}(p,qN*)、{kan}成等比数列;若
(2)若{an}是等比数列,则
{an}、{bn}成等比数列,则{anbn}、{abn}成等比数列;若{an}是等比数列,且公比q1,
则数列Sn,S2nSn,S3nS2n,⋯也是等比数列。
当q1,且n为偶数时,数列Sn,S2nSn,S3nS2n,⋯是常数数列0,它不是等比数列.
如
(1)已知a0且a1,设数列{xn}满足logaxn11logaxn(nN*),且
x1x2Lx100100,则x101x102Lx200.(答:
100a);
(2)在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若S3013S10,S10S30140,则S20的值为(答:
40)
(3)若a10,q1,则{an}为递增数列;若a10,q1,则{an}为递减数列;若a10,0q1,则{an}为递减数列;若a10,0q1,则{an}为递增数列;若q0,则{an}为摆动数列;若q1,则{an}为常数列.
(4)当q1时,Sna1qna1aqnb,这里ab0,但a0,b0,
n1q1q
是等比数列前n项和公式的一个特征,据此很容易根据Sn,判断数列{an}是否为等比数列。
如若{an}是等比数列,且Sn3nr,则r=(答:
-1)
(5)SmnSmqmSnSnqnSm.如设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn1,Sn,Sn2成等差数列,则q的值为(答:
-2)
(6)在等比数列{an}中,当项数为偶数2n时,S偶qS奇;项数为奇数2n1时,
S奇a1qS偶.
(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数数列,故常数
数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
an有下列三个命题:
①若
2
Snanbna、bR,
如设数列an的前n项和为Sn(nN),关于数列
anan1(nN),则an既是等差数列又是等比数列;②若则an是等差数列;③若Sn1
是(答:
②③)
三、数列通项公式的求法
一、公式法
②an等差、等比数列an公式.
例已知数列{an}满足an12an32n,a12,求数列{an}的通项公式。
{an}的通项公式。
、累加法
anan1a3a2
出nn1L32a1,即得数列{an}的通项公式。
an1an2a2a1
四、取倒数法
111首项是11,公差为2,所以11(n1)22n1,即an1
a1an2n1
五、待定系数法
例已知数列{an}满足an12an35n,a16,求数列an的通项公式。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式
an1
2an
35n转化为an15n12(an5n),
从而可知数列{an5n}是等比数列,
进而求出数列
{an
5n}的通项公式,最后再求出数列
{an}的通项公式。
例已知数列{an}满足an13an
52n
4,a1
1,
求数列{an}的通项公式。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式
an1
3an
5
n
24转化为
an152n123(an52n2),从而可知数列{an52n2}是等比数列,进而求
出数列{an52n2}的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。
六、对数变换法
n5
例已知数列{an}满足an123nan5,a17,求数列{an}的通项公式。
评注:
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123nan5转化为
lgan1lg3(n1)lg3lg25(lganlg3nlg3lg2),从而可知数列
n14164n4164
{lganlg3nlg3lg2}是等比数列,进而求出数列{lganlg3nlg3lg2}的通项
n4164n4164
公式,最后再求出数列{an}的通项公式。
七、迭代法
例已知数列{an}满足an1an3(n1)2,a15,求数列{an}的通项公式。
评注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式an1an3(n1)2
两边取常用对数得lgan1
3(n
1)2n
lgan,即lgan1
lgan
3(n1)2n,再由累乘法可推知
八、数学归纳法
由此可知,当nk1时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何nN*都成立。
九、换元法
1
例已知数列{an}满足an1(14an
16
1
解:
令bn124an,则an24(bn21)
1
可化为bn132(bn3),
所以{bn3}是以b13124a13124132为首项,以1为公比的等比数列,因此bn32
(1)n1
(1)n2,则bn
(1)n23,即124an
(1)n23,得
21n1n1
an23(14)n(12)n31。
十、构造等差、等比数列法
①an1panq;②an1
pan
qn;③an1panf(n);④an2
pan1
qan
例已知数列an中,a1
1,an1
2an3,
求数列an的通项公式.
【解析】an132(an
3)
an3
n1n1
42n1an2n13.
【反思归纳】递推关系形如“
an1
panq
”适用于待定系数法或特征根法:
①令an1p(an);
②在an1panq中令an1
anx
xq,ax
p(an
x);
x,n1
1p
③由an1panq得an
pan1
q,a
n1anp(anan1).
例已知数列an中,a1
1,an1
n
2an3
,求数列an的通项公式.
【解析】an12an3n
,an
2
1an
n2n1
(3)n,令ann1bn
22n1
bn(bnbn1)(bn1
bn2)
(b2
3n
b1)b12(3)n2
112
an
3n2n
【反思归纳】递推关系形如“
an1
npanq
”通过适当变形可转化为:
“an1panq”或“
an1
anf(n)
n求解.
十一、不动点法
例已知数列{an}满足an1
7an
2an
2,a12
31
,求数列{an}的通项公式。
7x223x1
解:
令x,得2x24x20,则x1是函数f(x)的不动点。
2x34x7
因为an117an215an5,所以
2an32an3
评注:
本题解题的关键是通过将124an的换元为bn,使得所给递推关系式转化13
bn12bn2形式,从而可知数列{bn3}为等比数列,进而求出数列{bn3}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。
四、数列求和的基本方法和技巧
、利用常用求和公式求和
例已知log3x
log23
,求x
x2x3
的前
n项和.
例设Sn=1+2+3+⋯+n,n∈N*,求f(n)
Sn
(n32)Sn1
的最大值.
f(n)
Sn
(n32)Sn1
n34
64
n
(n8)25050n
当n
8,即n=8时,f(n)max
1
50
二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q;
然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1an).
例求证:
Cn03C1n5Cn2(2n1)Cnn(n1)2n
证明:
设Sn
Cn0
3C1n
5Cn2
(2n
1)Cnn
Sn
(2n
1)Cnn
(2n
1)Cnn1
3Cn1
Cn0
Sn
(n
1)2n
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
1
1
1
[例7]求数列的前
n项和:
1
1,1
4,127,
n13n
2,⋯
a
a
a
解:
设Sn
(1
1)
(1a
4)
(127)
(1n1
n1
3n2)
a
a
a
Sn
(1
1
1
2
a1n1)(1
47
3n2)
a
a
a
当a=1
时,
Sn
n
(3n1)n
(3n1)n
2=
2
当a1时,Sn
(3n1)n
2
1n
aa
a1
(3n1)n
2
例:
(2010全国卷2文)(18)
且a1a2
2(11),a3
五、
项)
an
本小题满分
12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,
111
a4a564()
a3a4a5
12
Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn(an)2,求数列{bn}的前n项和Tn。
an
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.裂项法的实质是将数列中的每项(通
分解,然后重新组合,
使之能消去一些项,
最终达到求和的目的
.通项分解(裂项)如:
1)
3)
5)
(6)
an
an
an
f(n1)
1
n(n1)
n(n
f(n)
2)
sin1
cosncos(n1)
tan(n1)tann
1
n1
4)
an(2n(12)n()22n1)
(2n1)(2n1)
22n12n1)
1)(n2)
1[
2n(n
1
1)
(n
1)1(n2)]
n
n(n1)
求数列
an
则Sn
在数列
项的和.
解:
1
2n
2(n1)
n(n1)
1
2n
1
n2n1
1,则S
(n1)2n,则Sn
1
(n1)2n
1,,,
1223nn
的前n项和.
nn
1
12
1
23
11
n1
{an}中,an
1
n1
2
n1
n
n1
,又bn
anan1
,求数列{bn}的前n
an
1
n1
2
n1
n
n1
∴bn
n
2
Sn8[(1
21
28(1
n1n
2
12)
n11)
1213)
11
(1314)
11
(1nn11)]
8n
n1
六、合并法求和
例数列{an}:
a11,a2
S2002=a1a2a3
和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
解:
设S2002=
a1
a2
a3
a2002
a6k11,
a6k
2
3,a6k3
2,a6k4
1,
a6k5
3,a6k6
2
∵a6k1
a6k
2
a6k3a6k
4a6k5
a6k6
0
3,a32,an2an1an,求S2002.
a2002=a6k1
a6k2a6k3a6k4=5
例在各项均为正数的等比数列中,若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.
由等比数列的性质mnpqamanapaq
(log3a5log3a6)=10
Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,
找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项
揭示的规律来求数列的前
例求111111
解:
由于1111
k个1
∴111111
=110(10n1)
9101
n项和,是一个重要的方法.
1111之和.
n个1
11
199991(10k1)
9k个19
1111=
n个1
n9=811(10n1109n)
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