数学广角数与形练习题及解析.docx

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数学广角数与形练习题及解析

数学广角-数与形

填空

1．观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（）个点。

考查目的：

数与形结合的规律；通过特例分析归纳出一般结论的方法。

答案：

30。

解析：

第

（1）个图有1+2+3=6个点，第

（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点……第

个图就有

个点。

对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解。

2．先画出第五个图形并填空。

再想一想：

后面的第10个方框里有（）个点，第51个方框里有（）个点。

考查目的：

数与形结合的规律；利用规律解决问题。

答案：

，1+4×4；37，201。

解析：

分析图形，可得出第

个图中共有

个点，则第10个图共有1+4×（10-1）=37个点，第51个图共有1+4×（51-1）=201个点。

3．按下面用小棒摆正六边形。

摆4个正六边形需要（）根小棒；摆10个正六边形需要（）根小棒；摆

个正六边形需要（）根小棒。

考查目的：

根据已知图形的排列特点及数量关系，推理得出一般的结论进行解答。

答案：

21；51；

。

解析：

摆1个六边形需要6根小棒，可以写作5×1+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作5×2+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作5×3+1……由此可以推理得出一般规律，即摆

个六边形需要

根小棒。

4．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如图所示），请你结合这个规律，填写下表：

考查目的：

分析图形的变化规律并列出代数式。

答案：

10；

。

解析：

一张方桌坐4人，每多一张方桌就多2个人，那么有4张方桌时就多坐了6人，总人数为4+6=10。

如果是

张方桌，则所坐人数是

。

5．数形结合是一种重要的数学思想，认真观察图形，然后完成下列问题。

；

；

；

；

。

考查目的：

利用数形结合的思想探索规律。

答案：

16，4；5；

。

解析：

通过启发引导，使学生明确可以把一个点看作边长是1的正方形，并由此类比正方形的面积公式计算出结果。

对于

的解答，引导学生从已知的结果归纳出“从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方”这一结论即可。

二、选择

1．观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（）。

考查目的：

数与形的变化规律。

答案：

D

解析：

分别数出第一个、第二个、第三个图中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，以此推算出第5个大三角形中白色三角形的个数为1+3+9+27+81=121。

2．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，做出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（）。

A.随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球

B.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球

C.随机摸出一个球后放回，再随机摸出三个球

D.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出三个球

考查目的：

用画树状图的方法解决与“可能性”有关的问题。

答案：

A

解析：

观察树形图可知，袋中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：

第一次随机摸出一个球后放回，第二次再随机摸出一个球。

3．搭建如图

（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图

（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要（）根钢管。

考查目的：

图形中的计数规律。

答案：

C

解析：

通过分析图形，搭建单顶帐篷需要17根钢管。

从串搭第2顶帐篷开始，每多串一顶帐篷需多用11根钢管，由此得出串搭

顶帐篷需要

根钢管。

则串搭20顶这样的帐篷需要11×20+6=226根钢管。

4．一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系图象如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。

则关于该图象下列说法正确的是（）。

B.整个过程中小狗和兔子的平均速度相同

BC段表明兔子在做匀速直线运动D.在前4秒内，小狗比兔子跑得快

考查目的：

关于行程问题的图象综合题。

答案：

B

解析：

由图象可以看出：

在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度（由此判断选项D错误）；在第4秒，小狗和兔子在相同时间内通过相同的路程，所以它们的平均速度相同；在4到8秒的时间段，小狗在相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。

整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项A是错误的，B正确。

另，图中的BC段表示兔子处于静止状态。

5．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2008这个数在第个三角形的顶点处。

（）

A.669；上B.669；左下C.670；右下D.670；上

考查目的：

数字和图形相结合的变化规律。

答案：

D

解析：

每个三角形有三个角，对应的三个数的顺序是上、左下、右下。

根据2008÷3=669……1，所以2008这个数在第670个三角形的上顶点处。

三、解答

1．把4个完全相同的乒乓球标上数字2、3、4、5，然后放到一个不透明的口袋中，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再任意摸出一个球。

（1）请补充完整下面的连线图：

（2）根据上图计算，两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少？

考查目的：

连线和列表的方法；利用可能性的知识解决问题。

答案：

（1）如下图所示：

（2）共有12种情况，和为7的有4种情况，可能性为

。

解析：

利用连线和列表的方法列举出所有的情况，是一种常用的解决问题的方法。

教师应引导学生去经历和体会整个过程，注重对方法的理解和掌握。

2．找规律填空，要求写出思考的过程。

考查目的：

探索数与形结合的规律。

答案：

（1）2×4=8，8×2=16，8×8=64。

（2）8+2=10，12+3=15，16+4=20。

如下图所示：

解析：

第一个图形中，从上到下外围数字都是2，内部数字都是它的左上角与右上角两个数字的积；第二个图形中，从右上向左下看，每组数据都是一个等差数列：

第一列公差是1，第二列公差是2，第三列公差是3，第四列公差是4……由此即可解答。

3．双休日期间，明明和爸爸开车去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况。

如图所示：

（1）汽车行驶了多长时间？

它的最大速度是多少？

（2）汽车在哪个范围内保持匀速行驶？

速度是多少？

（3）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？

（4）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。

考查目的：

联系生活实际，利用数形结合的知识解决问题。

答案：

（1）汽车行驶了16分钟，最大速度为30千米/小时。

（2）汽车在2到6分钟、12到16分钟这两个时间段内保持匀速行驶，速度为30千米/小时。

（3）可能发生的情况：

汽车加油。

（4）先加速行驶，速度达到30千米/小时，开始匀速行驶，然后减速行驶，直到停下加油。

加油后又开始加速，到30千米/小时的速度后匀速行驶，快到目的地时开始减速，最后到达目的地。

解析：

通过读图，需要让学生明确：

速度不为0就说明汽车在行驶；图象中点的纵坐标的最大值就是最大速度；匀速行驶时，汽车的速度不变；某段时间速度为0，说明汽车没有在行驶，说出一种可能的情况即可；最后一个问题需要结合实际进行描述。

4．分别由红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色排成一排，颜色下面是自然数，按下列方式依次排列：

那么，自然数2010对应在哪种颜色下面？

在第几行？

考查目的：

利用数表中的规律解决问题。

答案：

2010是图形中出现的第2011个数，而2011÷（7+6）=154……9，说明2010在154×2+2=310行，具体位置为从右向左第2个，对应颜色是绿色。

答：

2010在绿色下面，在第310行。

解析：

奇数行都有7个数，偶数行都有6个数，循环的周期是13。

而且奇数行是从左到右增加的顺序，偶数行是从右到左增加的顺序。

2010是图形中出现的第2011个数，用2011除以13得出循环的周期和余数，进一步分析所在的行数，最后确定位置和对应的颜色。

5．用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。

（1）填写下列表格。

想一想，这些数量之间有什么关系？

（2）如果所拼的图形中，用了20块花瓷砖，那么，白瓷砖用了多少块？

（3）如果所拼的图形中，用了

块白瓷砖，那么花瓷砖用了多少块？

考查目的：

先找到数与形结合的规律，再根据规律求解。

答案：

（1）如下表格所示：

（2）（20÷4-1）×（20÷4-1）=16（块）。

答：

白瓷砖用了16块。

（3）

，

（块）。

答：

花瓷砖用了

块。

解析：

大正方形每边的块数每增加1块，所用的花瓷砖块数就增加4。

白瓷砖的总块数是白色瓷砖区域每个边上的块数的平方，而花瓷砖的总数量是白瓷砖一边的块数加1的4倍。

人教版四年级数学下册教案

第八单元数学广角

一、单元教学目标

（一）总目标：

1、知识与技能

（1）经历探索日常生活中间隔排列中简单规律以及类似现象中简单数学规律的过程，初步认识其中的简单规律，并能将这种认识应用到解决简单实际问题之中，感受数学与生活的广泛联系。

（2）通过观察、猜测、操作验证以及与他人交流等活动，培养学生用数学眼光观察周围事物，用数学的观点分析日常生活中各种现象的意识和能力。

2、过程与方法

通过观察、猜测、操作、交流等方式探索规律。

3、情感态度与价值观

通过实践活动，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，体会数学和现实生活的密切联系，并从小养成勤俭节约、合理安排开支的习惯。

（二）子目标：

（1）子目标一【课题：

植树问题】：

知识与技能

1、通过观察、操作及交流活动，探索并认识不封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。

2、培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的能力。

过程与方法

主要让学生通过观察、操作、交流等活动探索新知。

情感态度与价值观

在解决问题的过程中，感受数学与现实生活的密切联系。

（2）子目标二【课题：

围棋中的数学问题】：

知识与技能

1、通过观察、操作及交流活动，探索并认识封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。

2、培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的能力。

过程与方法

主要让学生通过观察、操作、交流等活动探索新知。

情感态度与价值观　

1、让学生经历探索规律的过程，激发学生的探索欲望。

2、渗透生活中处处有数学的思想。

（3）子目标三【课题：

练习课】：

知识与技能

1、通过练习，进一步认识间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决简单实际问题中去。

2、能用不同的方法解决问题，提高学生发散思维能力。

过程与方法

让学生通过独立思考与合作交流等方式进一步感受数学内在的规律与联系。

情感态度与价值观

在学习活动中感受数学内在的规律与联系，体验数学问题的探索性，感受成功的乐趣，增强学习的信心。

（4）子目标四【课题：

综合应用：

小管家】：

知识与技能

1、通过记录家里一周的开支，进一步熟悉用小数表示钱数的方法，巩固小数加减法。

2、进一步认识折线统计图的特点和作用，熟悉用折线表示数据基本方法。

过程与方法

让学生经历收集整理数据、操作及交流的过程，从而提高应用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观

体会数学与现实生活的密切联系，了解数学在日常生活中的应用，从小养成勤俭节约的习惯。

二、单元知识结构图。

三、教学重点剖析：

课题一：

植树问题

1、教学重点：

引导学生在观察、操作、交流中探索并发现不封闭线路上间隔现象中的简单规律。

2、包含的要素分析：

学生在观察、操作、交流中探索，发现在两端都种的情况下，种的棵数＝间隔个数＋1；在两端都不种的情况下，种的棵数＝间隔个数－1，并能将这种规律应用到解决类似的实际问题。

3、突出重点的策略：

本课在教学例1时，从简单情况入手，采用画线段图的方法，让学生把间隔点数和栽树的棵数对应起来，之后让学生自己探索栽树的棵数和间隔数之间的规律，最后让学生根据发现的规律回过头来解决例1的问题。

教学例2时，由于学生前面有了探索的经验，这里可以先放手让学生自己思考，小组讨论后汇报。

课题二：

围棋中的数学问题

1、教学重点：

引导学生在观察、操作、交流中探索并发现不封闭线路上间隔现象中的简单规律。

2、包含的要素分析：

通过动手操作让学生探索“围棋盘最外层一共可以摆多少个棋子”这个问题，运用类推的方法学习求封闭曲线的植树问题。

3、突出重点的策略：

通过操作围棋学具来寻找解决问题的方法，先让学生独立思考，再让学生讨论汇报。

出现19×4的错误，让其他的学生来评判。

通过讨论，让学生领会这样算就重复计算了最外层每个角上的棋子，因此要减去重复计算的4个棋子。

解决问题后，让学生把间隔点数和栽树的棵数对应起来，自己探索栽树的棵数和间隔数之间的规律。

课题三：

练习课

1、教学重点：

进一步认识间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决简单实际问题中去

2、包含的要素分析：

运用间隔排列中的简单规律来解决生活中常见的一些和植树问题相关的实际问题，进一步巩固所学规律。

4、突出重点的策略：

通过画线段图的方式，帮助学生把这些生活中常见的实际问题与植树问题联系起来，然后用间隔排列中的简单规律来解决问题。

四、教学难点剖析：

课题一：

植树问题

教学难点：

培养学生从实际问题中发现规律，应用规律解决问题的能力。

原因分析：

解决植树问题的思想方法在实际生活中广泛应用，但换了一种问法，学生往往就无从入手，因为他们没有发现题目中隐藏着总数和间隔数之间的关系。

解决策略：

1、练习设计时着重从现实生活中出发提出数学问题，让学生在游戏中，在具体情境中充分动口、动手、动脑，培养学生从实际问题中发现规律，应用规律解决问题的能力。

2、鼓励学生用画线段图的方法来探索题目中隐藏的规律。

课题二：

围棋中的数学问题

教学难点：

用数学的方法解决实际生活中的简单问题。

原因分析：

学生没有发现题目中隐藏着封闭曲线的植树棵数等于间隔数的规律，不会应用这个规律来解决问题。

解决策略：

1、在教学新知时，让每位学生都参与活动，通过抢答、验证、分析、交流等一系列活动，借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题，进一步体会数学在日常生活中的广泛应用，学生亲身“经历”知识的形成过程，为运用规律打下基础。

2、教会学生从实际问题中抽出棵数和间隔数的关系进行分析，借助画线段图加深对题意的理解。

3、让学生联系自己的生活实际，举出例子，强化应用。

五、基于课型的教学策略：

策略1：

密切联系现实生活，引导学生在观察、操作、交流中发现和认识规律。

策略2：

鼓励学生从简单的情况入手解决复杂问题，先列举简单的例子来发现规律、验证规律，然后应用找到的规律来解决复杂问题。

策略3：

用画线段图、摆棋子等方法，帮助学生直观地探索规律。

六、错例的估计和采集

1．错例1：

12千米长的公共汽车行驶路线每一千米设一个车站，共有12个车站。

错因分析：

以为有12个一千米就12个车站，忽视两端都有车站。

解决策略：

（1）引导学生结合生活实际，公共汽车两端都有车站，即起点站和终点站。

（2）把这个问题与植树问题联系起来，运用规律解决问题。

（3）画线段图帮助学生理解题意。

2．错例2：

在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一座。

一共要安装多少座路灯？

2千米＝2000米

2000÷50＋1

＝40＋1

＝41（座）

答：

一共要安装41座路灯。

错因分析：

没有仔细审题，忽略了“街道两旁安装路灯”这一条件。

解决策略：

培养学生仔细审题的习惯。

七、课时分配:

（约4课时）

1、

数学广角

（一）例1、例2

1课时

2、

数学广角

（二）例3

1课时

3、

练习课

1课时

4、

综合应用

1课时