期权价值敏感性希腊字母汇总.docx
- 文档编号:26368527
- 上传时间:2023-06-18
- 格式:DOCX
- 页数:45
- 大小:1.32MB
期权价值敏感性希腊字母汇总.docx
《期权价值敏感性希腊字母汇总.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《期权价值敏感性希腊字母汇总.docx(45页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
期权价值敏感性希腊字母汇总
第三章 期权敏感性(希腊字母)
顾名思义,期权敏感性是指期权价格受某些定价参数的变动而变动的敏感
程度,本章主要介绍期权价格对其四个参数(标的资产市场价格、到期时间、
波动率和无风险利率)的敏感性指标,这些敏感性指标也称作希腊值(Greeks)。
每一个希腊值刻画了某个特定风险,如果期权价格对某一参数的敏感性为
零,可以想见,该参数变化时给期权带来的价格风险就为零。
实际上,当我们
运用期权给其标的资产或其它期权进行套期保值时,一种较常用的方法就是分
别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量(如标的资产价格、
时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等)的敏感性,然后建立适当数量
的证券头寸,组成套期保值组合,使组合中的保值工具与保值对象的价格变动
能相互抵消,也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零,这样就
能起到消除相应风险的套期保值的目的。
本章将主要介绍 Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho 五个常用希腊字母。
符号风险因素量化公式
Delta∆标的证券价格变化权利金变化/标的证券价格变化
GammaΓ标的证券价格变化Delta 变化/标的证券价格变化
Vegaν波动率变化权利金变化/波动率变化
ThetaΘ到期时间变化权利金变化/到期时间变化
Rhoρ利率变化权利金变化/利率变化
本章符号释义:
T 为期权到期时间
S 为标的证券价格, S0 为标的证券现价, ST 为标的证券行权时价格
K 为期权行权价格
σ 为标的证券波动率
r 为无风险利率
π t 为资产组合在 t 时刻的价值
N() 为标准正态分布的累积密度函数,可以查表或用计算机(如 Excel)求得
1
''
2
2π
第一节 Delta (德尔塔, ∆ )
1.1 定义
Delta 衡量的是标的证券价格变化对权利金的影响,即标的证券价格变化一
个单位,权利金相应产生的变化。
新权利金=原权利金+Delta×标的证券价格变化
案例3.1有一个上证50ETF看涨期权,行权价为1.900元,期权价格为0.073
元,还有6个月到期,此时上证50ETF价格为1.800元。
无风险利率为3.5%,
上证50ETF波动率为20%。
Delta为0.4255。
在其他条件不变的情况下,如果上证50ETF的价格变为1.810 元,即增
加了0.010元,则期权理论价格将变化为:
0.073 + 0.4255⨯ (1.810 -1.800) = 0.073 + 0.4255⨯ 0.010 = 0.077元
1.2 公式
从理论上,Delta 准确的定义为期权价值对于标的证券价格的一阶偏导。
∆=
∂期权价值
∂S
根据 Black-Scholes 期权定价公式,欧式看涨期权的 Delta 公式为:
∆ = N (d1 )
(3.1)
看跌期权的 Delta 公式为:
∆ = N (d1 ) - 1
(3.2)
其中
d1 =
ln(S K ) + (r + σ 2 2)T
σ T
(3.3)
N() 为标准正态分布的累积密度函数,可以查表或用计算机(如 Excel)求得。
显然,看涨期权与看跌期权的 Delta 只差为 1,这也正好与平价关系互相呼
2
应。
案例3.2有两个行权价为1.900的上证50ETF期权,一个看涨一个看跌,离
期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为3.5%,
波动率为20%。
则:
ln(S K ) + (r + σ 2 2)Tln(1.8 1.9) + (0.035 + 0.202 2) ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Delta看涨期权 =N (d1)=N (-0.1879)=0.4255
1.3 性质看跌期权 =N (d1) -1=N (-0.1879) -1=-0.5745
1) 期权的Delta取值介于-1到1之间。
也就是说标的证券价格变化的速度快于期
权价值变化的速度。
2) 看涨期权的Delta是正的;看跌期权的Delta是负的。
对于看涨期权,标的证券价格上升使得期权价值上升。
对于看跌期权,标的证券价格上升使得期权价值下降。
图 3-1
3) 随标的价格的变化:
对于看涨期权,标的价格越高,标的价格变化对期权价值的影响越大。
对于看跌期权,标的价格越低,标的价格变化对期权价值的影响越大。
3
也就是说越是价内的期权,标的价格变化对期权价值的影响越大;越是价外
的期权,标的价格变化对期权价值的影响越小。
图 3-2
4) Delta 随到期时间的变化:
看涨期权:
价内看涨期权(标的价格>行权价)Delta收敛于1
平价看涨期权(标的价格=行权价)Delta收敛于0.5
价外看涨期权(标的价格<行权价)Delta收敛于0
看跌期权:
价内看跌期权(标的价格<行权价)Delta收敛于-1
平价看跌期权(标的价格=行权价)Delta收敛于-0.5
价外看跌期权(标的价格>行权价)Delta收敛于0
4
图 3-3
第二节 Gamma(伽马, Γ )
2.1 定义
在第一节里我们用Delta度量了标的证券价格变化对权利金的影响,当标的
证券价格变化不大时,这种估计是有效的。
然而当标的证券价格变化较大时,
仅仅使用Delta会产生较大的估计误差,此时需要引入另一个希腊字母Gamma。
Gamma 衡量的是标的证券价格变化对 Delta 的影响,即标的证券价格变化
一个单位,期权 Delta 相应产生的变化。
新 Delta=原 Delta+Gamma×标的证券价格变化
Gamma 同时也间接度量了标的证券价格变化对权利金的二阶影响。
新权利金=原权利金+Delta×标的价格变化+1/2×Gamma×标的价格变化 2
案例3.3有一个上证50ETF看涨期权,行权价为1.900元,期权价格为0.073
元,还有6个月到期,此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为3.5%,
上证50ETF波动率为20%。
Delta为0.4255,Gamma为1.540。
在其他条件不变的情况下,如果上证50ETF的价格变为1.850 元,即增
加了0.050元,则
Delta将变化为
0.4255 +1.540 ⨯ (1.850 -1.800) = 0.4255 +1.540 ⨯ 0.05 = 0.5025
期权价格将变化为
1
2
2.2 公式
从理论上,Gamma 的定义为期权价值对于标的证券价格的二阶偏导。
Gamma =
∂2期权价值
∂2S
Gamma 衡量了 Delta 关于标的资产价格的敏感程度。
当 Gamma 比较小时,
5
Delta 变化缓慢,这时为了保证 Delta 中性所做的交易调整并不需要太频繁。
但
是当 Gamma 的绝对值很大时,Delta 对标的资产变动就很敏感,为了保证 Delta
中性,就需要频繁的调整。
根据 Black-Scholes 公式,对于无股息的欧式看涨与看跌期权的 Gamma 公
式如下:
Γ =
N ' (d1)
Sσ T
(3.4)
其中, d1 由式(3.3)给出, N ' (∙) 为标准正态分布的密度函数。
在参数相同时,看涨期权、看跌期权的 Gamma 是相同的。
案例3.4有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权,一个看涨一个看跌,
离期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为
3.5%,上证50ETF波动率为20%。
则
ln(S K ) + (r + σ 2 2)Tln(1.8 1.9) + (0.035 + 0.202 2) ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Gamma看涨期权看 Gamma
=
N ' (d1)
Sσ T
=
2 2
= = 1.540
S0σ 2πT 1.800 ⨯ 0.20 ⨯ 2π ⨯ 0.5
2.3 性质
1) 期权的Gamma是正的。
标的证券价格上涨,总是使期权的Delta变大。
6
图 3.4
2) Gamma随标的价格的变化:
当 S = Ke-(r+3σ
2
2)T
时,Gamma取得最大值
Ke
1
-(r+σ 2 )T
。
图 3.5
3)Gamma随到期时间的变化:
平价期权(标的价格等于行权价)的Gamma是单调递增至无穷大的。
非平
价期权的Gamma先变大后变小,随着接近到期收敛至0。
7
图 3.6
4) Gamma随波动率的变化:
波动率和Gamma最大值呈反比,波动率增加将使行权价附近的Gamma减
小,远离行权价的Gamma增加。
图 3.7
第三节Vega (维嘉, υ )
3.1 定义
Vega衡量的是标的证券波动率变化对权利金的影响,即波动率变化一个单
位,权利金应该产生的变化。
新权利金=原权利金+Vega ⨯ 波动率变化
案例3.5有一个上证50ETF看涨期权,行权价为1.900元,期权价格为0.073
元,还有6个月到期。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为3.5%,
上证50ETF波动率为20%。
Vega为0.4989。
在其他条件不变的情况下,如果上证50ETF的波动率变为21%,即增加了
1%,则期权理论价格将变化为
0.073 + 0.4989 ⨯ (0.21- 0.20) = 0.073 + 0.4989 ⨯ 0.01 = 0.078元
3.2 公式
8
从理论上,Vega准确的定义为期权价值对于标的证券波动率的一阶偏导。
Vega =
∂期权价值
∂σ
根据Black-Scholes理论进行定价,则
Vega = S T N ' (d1)
(3.5)
其中, d1 由式(3.3)给出, N ' (∙) 为正态分布的密度函数。
在参数相同时,看涨期权、看跌期权的 Vega 是相同的。
案例3.6 有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权,一个看涨一个看跌,离
期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为3.5%,
上证50ETF波动率为20%。
则
ln(S K ) + (r + σ 2 2)Tln(1.8 1.9) + (0.035 + 0.202 2) ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Vega看涨期权看 Vega
=S T N ' (d1)
22
= = = 0.4989
2π2π
3.3 性质
1) 期权的 Vega 是正的。
波动率增加将使得期权价值更高,波动率减少将降低期权的价值。
9
图 3.8
2) Vega 随标的价格的变化:
当 S = Ke
-(r-σ 2 2)T
时,Vega 取得最大值
Ke-rT T
2π
。
在行权价附近,波动率对期权价值的影响最大。
图 3.9
3) Vega 随到期时间的变化:
Vega 随期权到期变小。
期权越接近到期,波动率对期权价值的影响越小。
10
图 3.10
第四节 Theta(西塔, Θ )
4.1 定义
Theta 衡量的是到期时间变化对权利金的影响,即到期时间过去一个单位,
权利金应该产生的变化。
新权利金=原权利金+Theta ⨯ 流逝的时间
案例3.7有一个上证50ETF看涨期权,行权价为1.900元,期权价格为0.073
元,还有6个月到期。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为3.5%,
上证50ETF波动率为20%。
Theta为-0.1240。
在其他条件不变的情况下,如果离行权日只有5个半月了,即流逝了半个
月的时间(0.0833),则期权理论价格将变化为
0.073 - 0.1240 ⨯ (0.0833) = 0.073 - 0.010 = 0.063元
4.2 公式
从理论上,Theta 的定义为期权价值对于到期时间变化的一阶偏导。
Theta = -
∂期权价值
∂T
根据 Black-Sholes 理论进行定价,则
11
Theta看涨期权 = -- rKe-rT N (d2 )
2 T
(3.6)
Theta看跌期权 = -+ rKe-rT N (-d2 )
2 T
(3.7)
其中, d1 =
ln(S K ) + (r + σ 2 2)T
σ T
, d2 =
ln(S K ) + (r-σ 2 2)T
σ T
, N (∙) 为标准正态
分布的累积密度函数, N ' (∙) 为标准正态分布的密度函数。
案例3.8 有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权,一个看涨一个看跌,离
期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为3.5%,
上证50ETF波动率为20%。
则
ln(S K ) + (r + σ 2 2)Tln(1.8 1.9) + (0.035 + 0.202 2) ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
ln(S K ) + (r-σ 2 2)Tln(1.8 1.9) + (0.035- 0.202 2) ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
Theta看涨期权
1.8⨯ N ' (-0.1879) ⨯ 0.2
2 0.5
= -0.1240
1.8⨯ N ' (-0.1879) ⨯ 0.2
2 0.5
= -0.0587
4.3 性质
1)看涨期权的 Theta 是负的;看跌期权的 Theta 一般为负的,但在价外严重的
情况下可能为正。
因此通常情况下,越接近到期的期权 Theta 值越小。
12
图 3.11
2)随标的价格的变化:
在行权价附近,Theta的绝对值最大。
也就是说在行权价附近,到期时间
变化对期权价值的影响最大。
图 3.12
3)Theta随到期时间的变化:
平价期权(标的价格等于行权价)的Theta是单调递减至负无穷大。
非平价
期权的Theta将先变小后变大,随着接近到期收敛至0。
因此随着期权接近到
13
期,平价期权受到的影响越来越大,而非平价期权受到的影响越来越小。
图 3.13
第五节 Rho(柔, P )
5.1 定义
Rho衡量的是利率变化对权利金的影响,即利率变化一个单位,权利金
相应产生的变化。
新权利金=原权利金+Rho ⨯ 利率变化
案例3.9有一个上证50ETF看涨期权,行权价为1.900元,期权价格为0.073
元,还有6个月到期。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为3.5%,
上证50ETF波动率为20%。
Rho为0.3463。
在其他条件不变的情况下,如果利率变为4.00%,即利率增加了0.50%,
则期权理论价格将变化为
0.073 + 0.3463⨯ (0.005) = 0.073 + 0.00173 = 0.075元
5.2 公式
从理论上,Rho 的定义为期权价值对于利率的一阶偏导。
14
Rho =
∂期权价值
∂r
根据 Black-Sholes 理论进行定价,则
ρho看涨期权 = KTe-rT N (d2 )
Rho看跌期权 = -KTe-rT N (-d2 )
(3.8)
(3.9)
其中, d2 =
ln(S K ) + (r-σ 2 2)T
σ T
, N (∙) 为标准正态分布的累积密度函数。
案例3.10有两个行权价为1.900元的上证50ETF期权,一个看涨一个看跌,
离期权到期还有6个月。
此时上证50ETF价格为1.800元,无风险利率为
3.5%,上证50ETF波动率为20%。
则
ln(S K ) + (r-σ 2 2)Tln(1.8 1.9) + (0.035- 0.202 2) ⨯ 0.5
σ T0.20 0.5
ρho看涨期权 = KTe-rT N (d2 )=1.9 ⨯ 0.5⨯ e-0.035⨯0.5 N (-0.3293) = 0.3463
ρho看跌期权 = -KTe-rT N (-d2 )=-1.9 ⨯ 0.5⨯ e-0.035⨯0.5 N (0.3293) = -0.5872
5.3 性质
1)看涨期权的 Rho 是正的;看跌期权的 Rho 是负的。
对于看涨期权,利
率上升使得期权价值上升。
对于看跌期权,利率上升使得期权价值下降。
15
图 3.14
2)随标的价格的变化:
Rho 随标的证券价格单调递增。
对于看涨期权,标
的价格越高,利率对期权价值的影响越大。
对于看跌期权,标的价格越低,利
率对期权价值的影响越大。
越是价内(标的价格>行权价)的期权,利率变化对
期权价值的影响越大;越是价外(标的价格<行权价)的期权,利率变化对期权
价值的影响越小。
图 3.15
3)Rho 随时间的变化:
Rho 随着期权到期,单调收敛到 0。
也就是说,期
权越接近到期,利率变化对期权价值的影响越小。
16
影响因素
看涨期权空头
看跌期权空头
融入标的证券
Delta
标的证券价格
-N (d1)
-N (d1) +1
-1
Gamma
标的证券价格
'
- N (d1)
Sσ T
'
- N (d1)
Sσ T
0
Vega
波动率
'
-S T N (d1)
'
-S T N (d1)
0
Theta
到期时间
'
SN (d1)σ
2 T
-rT
+rKe N (d2 )
'
SN (d1)σ
2 T
-rT
-rKe N (-d2 )
0
Rho
利率
-rT
-KTe N (d2 )
-rT
KTe N (-d2 )
0
影响因素
看涨期权多头
看跌期权多头
买入标的证券
Delta
标的证券价格
N (d1)
N (d1) -1
1
Gamma
标的证券价格
'
N (d1)
Sσ T
'
N (d1)
Sσ T
0
Vega
波动率
'
S T N (d1)
'
S T N (d1)
0
Theta
到期时间
'
- SN (d1)σ
2 T
-rT
-rKe N (d2 )
'
- SN (d1)σ
2 T
-rT
+rKe N (-d2 )
0
Rho
利率
-rT
KTe N (d2 )
-rT
-KTe N (-d2 )
0
图 3.16
第六节 希腊字母应用
6.1 期权的希腊字母
前文中分别介绍了五个最常用的希腊字母
Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho。
17
6.2 资产组合的希腊字母
一个同标的资产组合的希腊字母为其各个部分的希腊字母之和。
当一个资
产组合的希腊字母为0,组合将不受相应市场因素的影响,损益是被锁定的,
可以认为组合在这个因素上是无风险的。
案例3.11上证50ETF现价为1.800元,行权价为1.900元,六个月后到期的看
涨期权,权利金为0.073元。
行权价格为1.900元,六个月后到期的看跌期
权,权利金为0.140元。
无风险利率为3.5%,上证50ETF波动率为20%。
构建资产组合A:
买入一手看跌期权,卖空一手看涨期权,买入10000股
上证50ETF
则组合A的希腊字母如下:
Delta0-4255-574510000
Gamma0-15398153980
Vega0-498949890
Theta6531240-5870
Rho-9335-3463-58720
组合A的成本由看涨期权多头、看跌期权空头、ETF构成
成本=10000 ⨯ [-0.073+0.140+1.8]=18670元
组合A的到期收益由看涨期权多头、看跌期权空头、ETF构成
到期收益=10000 ⨯[- max(ST - K , 0) + max(K - ST , 0) + ST ]
= 10000 ⨯ K = 19000元
组合A的价值为到期收益现值
价值元=10000 ⨯ Ke-rT = 19000 ⨯ e-3.5%⨯0.5 = 18670
和上面计算的希腊字母结果一致,组合A的价值不受50ETF的价格的影
响,也不受波动率的影响,单受利率和到期时间的影响。
利率上升,组合A的
价值将下降;到期时间越近,组合A的价值越高。
18
6.3 风险管理
五个希腊字母分别度量了标的证券的价格、标的证券波动率、期权到期
时间、市场利率对期权价格的影响,是管理期权风险的主要指标。
一个资产组合在 t1 时刻的价值,可以用下面这个公式来近似
1
1010101010
其中主要需要考虑的是Delta、Gamma及Vega三个字母,只要管理好这些
希腊字母就能有效的控制资产组合的风险。
在目前的国内市场,缺乏合适的
工 具来对冲Gamma和Vega,但可以利用标的现货来管理Delta。
案例3.12上证50ETF现价为1.800元,行权价为1.900元,六个月后到期的看
跌期权,权利金为0.140元。
无风险利率为3.5%,上证50ETF波动率为20%。
现在投资者手中持有一手看跌期权,则可计算期权的Delta为-5745。
如果投资者希望能够避免资产受上证50ETF价格变化的影响,则可以通
过买入50ETF现货来中和Delta。
构建投资组合B:
一手看跌期权,买入5700股上证50ETF(股票一手为
100股)。
则组合B的希腊字母如下:
Delta-45-57455700
Gamma15398153980
Vega498949890
Theta-587-5870
Rho-5872-58720
组合B的Delta为-45,组合B的成本由看跌期权多头,ETF构成
成本=10000 ⨯ 0.140+5700 ⨯ 1.800=11660元
19
模拟上证50ETF价格变化时,组合价值的变化
+0.200+291-850
+0.100+75-490
-0.100+83+650
-0.200+300+1440
对冲了Delta后,组合B受标的价格影响大大减少。
案例中提到的对冲Delta的方法成为Delta中性策略,是最常用的对冲资产
组合风险的方法。
20
本章问题:
期权行情中能看到希腊字母吗?
能在交易软件上看到吗?
答:
由于希腊字母是对于期权价格变化的一种估计,没有一定的参数和计算
公式,交易所不会提供相关数据。
至于在交
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 期权 价值 敏感性 希腊字母 汇总