如何培养学生的数感.ppt
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如何培养学生的数感如何培养学生的数感王王永永一、数感的形成什么是数感?
什么是数感?
在计算在计算“”和和“?
”这这类题目时,有些学生很可能会竭尽全力去类题目时,有些学生很可能会竭尽全力去寻找合适的寻找合适的计算程序计算程序来解决问题,而不会去努力来解决问题,而不会去努力寻找题目中数字寻找题目中数字的相关联系的相关联系。
但是,有些孩子则能应用自己掌握的数。
但是,有些孩子则能应用自己掌握的数字事实来解决问题。
字事实来解决问题。
我们把孩子们具有这种我们把孩子们具有这种对数字之间关联的意识对数字之间关联的意识以及以及灵活地解决数字问题的能力灵活地解决数字问题的能力称为其对数字的称为其对数字的“感觉感觉”或或“数感数感”。
(英)朱莉娅(英)朱莉娅安吉莱瑞安吉莱瑞数感和学校课程l数学课程改革已经把标准计算程序的教学转数学课程改革已经把标准计算程序的教学转变为让孩子们学会辨别变为让孩子们学会辨别数字模式数字模式和和数字关系数字关系,并,并在两者之间在两者之间生成联系生成联系的教学。
的教学。
l把把数感数感作为数学学校课程教学的主要目标,作为数学学校课程教学的主要目标,指的是计算策略中的指的是计算策略中的“灵活性灵活性”和和“创造性创造性”,反对,反对过分强调没有思维的计算程序。
过分强调没有思维的计算程序。
l21世纪的生活所必需的技能和理解力之一就世纪的生活所必需的技能和理解力之一就是对是对数字模式数字模式和和数字关系数字关系的辨认,这些模式是对的辨认,这些模式是对数字进行有效运算的重点。
数字进行有效运算的重点。
数字模式l重复型模式重复型模式1,2,1,2,1,2l增长型模式增长型模式2,4,6,813,23,33,43模式模式关系关系函数函数一道习题(加拿大)汤姆和丽娜出售烤蛋糕。
他们每小时出售情况如下表:
汤姆和丽娜出售烤蛋糕。
他们每小时出售情况如下表:
小时小时汤姆汤姆丽娜丽娜按照这样的规律,当丽娜出售个时,汤姆出售多少个?
按照这样的规律,当丽娜出售个时,汤姆出售多少个?
数字关系l寻找一个数字与其他众多数字的关联寻找一个数字与其他众多数字的关联6是是5之后之后7之前的数字(序数)之前的数字(序数)6是是“3个个2”“2个个3”“4和和2”等组合(结构)等组合(结构)6是与六个物体的总数相关的数字(基数)是与六个物体的总数相关的数字(基数)6是是“104”“12”“122”等结果(运算)等结果(运算)12l从数字关系去寻找有效的计算策略从数字关系去寻找有效的计算策略例例1计算:
计算:
2526,3917,1235。
第一题根据第一题根据“已知事实已知事实”252550。
可以迅速。
可以迅速推算出结果。
推算出结果。
第二题可以转化为第二题可以转化为4016。
第三题很可能要用到第三题很可能要用到“拆分拆分”数字的方法,可数字的方法,可以找到以找到103025的组合。
的组合。
反思:
反思:
哪些策略只对本题有效?
哪些策略可以普遍哪些策略只对本题有效?
哪些策略可以普遍推广?
推广?
l数字之间相互联系的方式、不同的可能表达数字之间相互联系的方式、不同的可能表达形式与不同运算相联系的意义,所有这些在孩子形式与不同运算相联系的意义,所有这些在孩子们建立起数字与计算之间的联系中都起着至关重们建立起数字与计算之间的联系中都起着至关重要的作用。
而数字与计算之间的联系又恰巧对他要的作用。
而数字与计算之间的联系又恰巧对他们数感的形成有重要影响。
们数感的形成有重要影响。
例例2计算:
计算:
543算法算法1:
543303243算法算法2:
54360363算法算法3:
54354(62)5462l应用标准的计算程序可能没有根据数感选择应用标准的计算程序可能没有根据数感选择适当的计算策略有效。
适当的计算策略有效。
新的评价体系新的评价体系不再具有固定模式的数字运算,不再具有固定模式的数字运算,而且这些运算也不需要标准的笔算程序。
而且这些运算也不需要标准的笔算程序。
我们期待我们期待学生能够从图形和表格中获取信息,计算空缺的数学生能够从图形和表格中获取信息,计算空缺的数字,并且研究数字模式。
根据这些数字模式,孩子字,并且研究数字模式。
根据这些数字模式,孩子们能够提出合适并有助于他们辨别数字关系的问题。
们能够提出合适并有助于他们辨别数字关系的问题。
我们也期望孩子们能选择最合适的计算程序,包括我们也期望孩子们能选择最合适的计算程序,包括决定是否需要使用计算器等。
这些新颖的教学观点决定是否需要使用计算器等。
这些新颖的教学观点标志着数学教学的新开端。
因此,就目前而言,仅标志着数学教学的新开端。
因此,就目前而言,仅仅教给孩子们相互独立的计算程序已经远远不够,仅教给孩子们相互独立的计算程序已经远远不够,教会他们如何找出数字之间的联系则成为数学教学教会他们如何找出数字之间的联系则成为数学教学的当务之急。
的当务之急。
关于数与运算的评价关于数与运算的评价数感数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力,指的是一个人对数字和运算的一般理解力,以及灵活应用这种理解力的倾向和能力,用这种方式以及灵活应用这种理解力的倾向和能力,用这种方式可以做出明智的数学判断,并开发出应用数字和运算可以做出明智的数学判断,并开发出应用数字和运算法则的有效策略。
法则的有效策略。
(麦金托什等,(麦金托什等,1992年)年)数感数感体现的是应用数字和量化方法作为交体现的是应用数字和量化方法作为交流、加工、解释信息的倾向和能力。
它使人们意识流、加工、解释信息的倾向和能力。
它使人们意识到数学是有某种规律的。
到数学是有某种规律的。
(麦金托什等,(麦金托什等,1992年)年)根据麦金托什等人的分析,根据麦金托什等人的分析,数感数感主要在三个领域主要在三个领域起重要作用:
起重要作用:
l数字知识和数字的简便性数字知识和数字的简便性数字的顺序感;多数字的顺序感;多样化的数字呈现形式;数字相对和绝对数量的判断;样化的数字呈现形式;数字相对和绝对数量的判断;思考数字的基准参考体系。
思考数字的基准参考体系。
l运算知识和运算的简便性运算知识和运算的简便性理解运算结果;意理解运算结果;意识到所应用的规则;运算之间的关系。
识到所应用的规则;运算之间的关系。
l把数字、运算知识及其简便性应用到需要用数字把数字、运算知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中进行推理的问题中理解问题情境和合适的解题理解问题情境和合适的解题策略之间的关系;意识到存在多样化的数字呈现方策略之间的关系;意识到存在多样化的数字呈现方式;应用有效的数字表征形式和(或)方法的倾向;式;应用有效的数字表征形式和(或)方法的倾向;检验数据和结果的倾向。
检验数据和结果的倾向。
理解的重要意义“理解数字和形成计算之间的关系理解数字和形成计算之间的关系”成为孩成为孩子们学习的焦点,它取代了传统课程所要求的子们学习的焦点,它取代了传统课程所要求的“四四则运算则运算”。
尽管得到的数字结果通常与过去一样,。
尽管得到的数字结果通常与过去一样,但是现在的学习要求孩子们自己建构计算方法。
但是现在的学习要求孩子们自己建构计算方法。
虽然过去的数字运算通常和枯燥的、标准程序虽然过去的数字运算通常和枯燥的、标准程序的重复练习相联系,但是,数学教学方面的最新趋的重复练习相联系,但是,数学教学方面的最新趋势则转变为采用研究性教学方法和创设尊重个人思势则转变为采用研究性教学方法和创设尊重个人思维的课堂环境。
维的课堂环境。
回忆已经学过的计算程序的理解类型称为回忆已经学过的计算程序的理解类型称为机械机械性理解性理解;关系性理解关系性理解从不要求学习者接受,而是要从不要求学习者接受,而是要求他们尝试形成自己独特的理解:
从知道怎样应用求他们尝试形成自己独特的理解:
从知道怎样应用知识进行计算扩展到理解为什么这个计算程序有效知识进行计算扩展到理解为什么这个计算程序有效。
培养心理意象在数学学习过程中,从应用具体经验转变到应用心算和在数学学习过程中,从应用具体经验转变到应用心算和符号表征进行计算是需要时间的。
符号表征进行计算是需要时间的。
在用抽象数字进行运算之前,可以先让孩子们学习用手在用抽象数字进行运算之前,可以先让孩子们学习用手指或某些工具(珠子、立方体)来代替实物然后指或某些工具(珠子、立方体)来代替实物然后“模仿模仿”具具体计算的情境。
体计算的情境。
对孩子们来说,用哪些材料模拟数字并不重要,重要的对孩子们来说,用哪些材料模拟数字并不重要,重要的是要培养他们把数字与视觉材料相联系的心理意象,并且能是要培养他们把数字与视觉材料相联系的心理意象,并且能根据根据“想像想像”的情境来解决问题。
研究表明,用实物进行运的情境来解决问题。
研究表明,用实物进行运算和用数字进行抽象运算之间存在着一个重要的过渡阶段,算和用数字进行抽象运算之间存在着一个重要的过渡阶段,这个阶段就是要孩子们通过想像的物体来运算。
这个阶段就是要孩子们通过想像的物体来运算。
具体经验抽象/心算方法符号化关系数轴的模型数轴的模型123456789100123456789101710一串珠子一串珠子一列立方体一列立方体数字轨道数字轨道数轴数轴示意线示意线二、加法和减法加、减法与计数的联系加、减法与计数的联系把一个物体放入到一个集合中,或者从一个集合取出一把一个物体放入到一个集合中,或者从一个集合取出一个物体,这些实际活动为学生提供了与计数有关的语言表达个物体,这些实际活动为学生提供了与计数有关的语言表达和体验的机会,这些语言表达方式和体验有助于他们把具体和体验的机会,这些语言表达方式和体验有助于他们把具体的物体模型与某些抽象的数字模式联系起来。
例如,的物体模型与某些抽象的数字模式联系起来。
例如,“多一多一个个”就是与计数顺序中的下一个数字相联系,就是与计数顺序中的下一个数字相联系,“少一个少一个”则则是与计数顺序中的前一个数字相联系。
这时,孩子们通过解是与计数顺序中的前一个数字相联系。
这时,孩子们通过解决具有实际意义的问题来认知这些计数模式。
决具有实际意义的问题来认知这些计数模式。
研究结果表明,即使缺乏熟练而复杂的数字计算技能,研究结果表明,即使缺乏熟练而复杂的数字计算技能,低年级的学生仍能计算出结果。
这就表明,孩子们是在问题低年级的学生仍能计算出结果。
这就表明,孩子们是在问题解决的过程中形成数学知识的,而不是孤立地学习这些知识解决的过程中形成数学知识的,而不是孤立地学习这些知识然后再单独运用这些知识。
然后再单独运用这些知识。
加法是最基本的计数技能,加法是最基本的计数技能,“向前数向前数”在早期阶段就在早期阶段就是有效的计数策略之一。
是有效的计数策略之一。
例例136l数总体的策略。
数总体的策略。
l继续往下数的策略。
继续往下数的策略。
l从较大的数字开始,继续往下数。
从较大的数字开始,继续往下数。
加法计数策略加法计数策略减法计数的策略减法计数的策略例例293l“数出数出”,即孩子们数,即孩子们数9个手指,减少个手指,减少3个手指,然后个手指,然后数剩下的手指。
数剩下的手指。
l“从较大的数字开始向后数从较大的数字开始向后数”,即孩子们从较大的数字,即孩子们从较大的数字9开始再数开始再数3个数字,所数的数字逐渐变小,即个数字,所数的数字逐渐变小,即“9,8,7,6”,得到答案,得到答案6。
l“往下一直数到较小的数字往下一直数到较小的数字”,即从较大的数字,即从较大的数字9开始开始一直数到较小的数字一直数到较小的数字3,即,即“9,8,7,6,5,4,3”,得,得到答案到答案6。
l从从3到到9“向前数向前数”。
l用已知的结果推断计算结果。
用已知的结果推断计算结果。
理解加、减法的各种意义理解加、减法的各种意义教师与孩子们讨论数字与不同情境联系的方式,并向教师与孩子们讨论数字与不同情境联系的方式,并向他们介绍诸如他们介绍诸如“总和总和”“和和”“取走取走”“余下余下”等词语,以及诸如等词语,以及诸如“多一个多一个”“多两个多两个”“多十个多十个”和和“少一个少一个”“少两个少两个”“少十个少十个”等类似的表述。
在早期阶段
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