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高中物理中的相似三角形
相似三角形在高中物理试题中的应用
陈庆威2013.7.22
高中物理中我们常会用到一些数学知识来解决一些与生活实际
相关的事情。
在高考的考试说明中明确指出,要求学生能应用学过的
数学知识处理物理问题。
如三角函数、正弦定理、余弦定理、矢量三
角形、相似三角形等。
其中“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析(尤其是
准平衡态,即动态平衡过程)时找到两个相似三角形,其中一个三角
形的边长表示长度(我们称之为“几何三角形”),另一个三角形的
边长表示力的大小(我们称之为“矢量三角形”)。
利用相似三角形
法解题,往往能起到化繁为简,化难为易的良好效果。
现把高中物理
中常遇到的此类问题总结如下:
例1、半径为R的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑
的小滑轮,滑轮到球面B的距离为h,轻绳的一端系一小球,靠放在
半球上的A点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图1-1
所示,现缓慢地拉绳,在使小球由A到B的过程中,半球对小球的支
持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是()
A、N变大,T变小B、N变小,T变大
C、N变小,T先变小后变大D、N不变,T变小
解析:
如图1-2所示,对小球:
受力平衡,由于缓慢地拉绳,所
以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态,其中重力mg不变,支持力
N,绳子的拉力T一直在改变,但是总形成封闭的动态三角形(图1-2
中小阴影三角形)。
由于在这个三角形中有四个变量:
支持力N的大
小和方向、绳子的拉力T的大小和方向,所以还要利用其它条件。
实
物(小球、绳、球面的球心)形成的三角形也是一个动态的封闭三角
形(图1-2中大阴影三角形),并且始终与三力形成的封闭三角形相
似,则有如下比例式:
TmgN
LhRRL
可得:
Tmg运动过程中L变小,T变小。
hR
R
N运动中各量均为定值,支持力N不变。
正确答案D。
mghR
例2、如图2-1所示,竖直绝缘墙壁上的Q处由一固定的质点A,在Q
的正上方的P点用细线悬挂一质点B,A、B两点因为带电而相互排
斥,致使悬线与竖直方向成角,由于漏电使A、B两质点的电量逐
渐减小,在电荷漏空之前悬线对悬点P的拉力T大小()
A、T变小
B、T变大
C、T不变
D、T无法确定
解析:
有漏电现象,FAB减小,则漏电瞬间质点B的静止状态被
打破,必定向下运动。
对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如
图2-2所示,由于漏电过程缓慢进行,则任意时刻均可视为平衡状态。
三力作用构成动态下的封闭三角形,而对应的实物质点A、B及绳墙
和P点构成动态封闭三角形,且有如图2-3不同位置时阴影三角形的
相似情况,则有如下相似比例:
mgT
F
AB
PQPBAB
PB
可得:
Tmg变化过程PB、PQ、mg均为定值,所以T不
PQ
变。
正确答案C。
以上两例题均通过相似关系求解,相对平衡关系求解要直观、简
洁得多,有些问题也可以直接通过图示关系得出结论。
例3.如图1所示,支架ABC,其中,
在B点挂一重物,,求AB、BC上的受力。
解:
受力分析如图2所示,杆AB受到拉力作用为,杆BC受到支
持力为,这两个力的合力与重力G等大反向,显然由矢量
构造的三角形与图1中相似,由对应边成比例得:
把代入上
式,可解得,。
例4.如图3所示,长为5m的细绳的两端分别系于竖立的地面上相
距为4m的两杆的顶端A、B上,绳上挂一个光滑的轻质挂钩,其下连
着一个重为12N的物体。
平衡时,绳中的张力T=_________N。
解:
受力分析,如图4所示。
因轻质挂钩光滑,所以AO、BO两段绳
的拉力相等,设均为T,且这两个力的合力与重力G等大反向。
现在
构建相似三角形,如图3所示,延长AO交左杆于,不难证明,
又过作右杆的垂线交于,显然,图3、图4两图中阴影部分的三
角形相似,又依题意知,,,。
由相似三角
形对应边成比例得:
//
ABAA
G
T
2
,代入数据解得。
图4
例5.两根等长的轻绳,下端结于一点挂一质量为m的物体,上端固
定在天花板上相距为S的两点上,已知两绳能承受的最大拉力均为T,
则每根绳长度不得短于多少?
解:
因为天花板水平,两绳又等长,所以受力相等。
又因MN两点距
离为S固定,所以绳子越短,两绳张角越大,当合力一定时,绳的张
力越大。
设绳子张力为T时,长度为L,受力分析如图6所示。
在图
5中过O点作MN的垂线,垂足为P,显然,图5、图6两图中阴影部
分的三角形相似,由对应边成比例得:
解得:
例6:
如图所示,竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A,在Q的
正上方的P点用丝线悬另一质点B,A、B两质点因为带电而相互排斥,
致使悬线与竖直方向成θ角,由于漏电使A、B两质点的带电荷量逐
渐减少,在电荷漏电完之前悬线对悬点P的拉力大小()
A.变小B.变大
C.不变D.无法确定
解:
受力分析如图所示,设PA=L,PB=l
由几何知识知:
△APB∽△BDC
则:
T,即:
mg
PBPA
T
mgl
L
因为T和T’是作用力和反作用力,故T=T’,
故选C
例7如图1所示,一个重力G的匀质球放在光滑斜面上,斜面倾角为,在斜面上有
一光滑的不计厚度的木板挡住球,使之处于静止状态。
今使板与斜面的夹角缓慢增大,问:
在此过程中,挡板和斜面对球的压力大小如何变化?
F1
F1
G
β
α
β
α
F2
G
图1-1
图1-2
图1-3
F2
解析:
取球为研究对象,如图1-2所示,球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。
因为球始终处于平衡状态,故三个力的合力始终为零,将三个力矢量构成封闭的三角形。
F1
的方向不变,但方向不变,始终与斜面垂直。
F2的大小、方向均改变,随着挡板逆时针转动
时,F2的方向也逆时针转动,动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。
由此可知,F2先减小后增大,F1随增大而始终减小。
例8.一轻杆BO,其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上,B端挂一重物,且系一细
绳,细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮,用力F拉住,如图2-1所示。
现将细绳缓慢往左拉,
使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少,则在此过程中,拉力F及杆BO所受压力FN的大小变
化情况是()
A.FN先减小,后增大B.FN始终不变
C.F先减小,后增大D.F始终不变
AA
l
FN
FB
F
B
F
H
θ
θ
L
G
OO
解析:
取BO杆的B端为研究对象,受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂
重物的绳子的拉力(大小为G)的作用,将FN与G合成,其合力与F等值反向,如图2-2所示,
将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分),力的三角形与几何三角形OBA相似,
利用相似三角形对应边成比例可得:
(如图2-2所示,设AO高为H,BO长为L,绳长
l,)
GFN
HL
F
l
,式中G、H、L均不变,l逐渐变小,所以可知FN不变,F逐渐变小。
正
确答案为选项B
例9:
如图2-3所示,光滑的半球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小
滑轮,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A点,另一端绕过定滑轮,后用力拉住,使小
球静止.现缓慢地拉绳,在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中,半球对小球的支持
力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是(D)。
(A)N变大,T变小,
C(B)N变小,T变大
(C)N变小,T先变小后变大
(D)N不变,T变小
AB
O
图2-3
此题是一道典型的利用相似三角形解题的方法,这种方法很巧妙,当然同学也可以用三角
函数求解.
解析:
首先对这个小球进行受力分析,找出那些力是始终不变,我们可以知道重力的大小和方向始终
是不发生改变,在根据力构成的三角形和绳子、半球组成的三角形相似,列出mg/h+r=N/r=T/L
在拉动的过程当中,重力mg是不变的,h+R、R都是不变的,那么拉动绳子后,L会变小,那么保
持等式成立,拉力T就必须减小才满足
例10、如图3-1所示,物体G用两根绳子悬挂,开始时绳OA水平,现将两绳同时顺时
0
针转过90°,且保持两绳之间的夹角α不变(90)
,物体保持静止状态,在旋转过程
中,设绳OA的拉力为F1,绳OB的拉力为F2,则()。
(A)F1先减小后增大
(B)F1先增大后减小
(C)F2逐渐减小
(D)F2最终变为零
BB
F1
CD
DF2
F1F2AA
F3OO
F3
解析:
取绳子结点O为研究对角,受到三根绳的拉力,如图3-2所示分别为F1、F2、F3,
ED
GG
D
图3-1图3-2图3-3
将三力构成矢量三角形(如图3-3所示的实线三角形CDE),需满足力F3大小、方向不变,角
∠CDE不变(因为角α不变),由于角∠DCE为直角,则三力的几何关系可以从以DE边为直
径的圆中找,则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。
由此可知,
F1先增大后减小,F2随始终减小,且转过90°时,当好为零。
正确答案选项为B、C、D
例11如图3-4所示,在做“验证力的平行四边形定则”的实验时,用M、N两个测力计
通过细线拉橡皮条的结点,使其到达O点,此时α+β=90°.然后保持M的读数不变,而
使α角减小,为保持结点位置不变,可采用的办法是(A)。
M(A)减小N的读数同时减小β角
(B)减小N的读数同时增大β角
Oα
(C)增大N的读数同时增大β角
(D)增大N的读数同时减小β角
β
N
图3-4
例12.如图4-1所示,在水平天花板与竖直墙壁间,通过不计质量的柔软绳子和光滑
的轻小滑轮悬挂重物G=40N,绳长L=2.5m,OA=1.5m,求绳中张力的大小,并讨论:
(1)当B点位置固定,A端缓慢左移时,绳中张力如何变化?
(2)当A点位置固定,B端缓慢下移时,绳中张力又如何变化?
O
OOOAAA
θA′θθ
A
B
BBB
F1F1
F
1
F2F2F2
CB′CCD′C
F3
G
D
F3
G
D
F3
C′
G
G
D
图4-1图4-3
图4-4图4-2
解析:
取绳子c点为研究对角,受到三根绳的拉力,如图4-2所示分别为F1、F2、F3,延
长绳AO交竖直墙于D点,由于是同一根轻绳,可得:
F1F,BC长度等于CD,AD长度等
2
G
于绳长。
设角∠OAD为θ;根据三个力平衡可得:
F;在三角形AOD中可知,
1
2sinOD
sin。
如果A端左移,AD变为如图4-3中虚线A′D′所示,可知A′D′不变,OD′
AD
减小,sin减小,F1变大。
如果B端下移,BC变为如图4-4虚线B′C′所示,可知AD、
OD不变,sin不变,F
1不变。
同
巩固练习:
1、如图所示,两球A、B用劲度系数为k1
的轻弹簧相连,球B用长为L的细绳悬于O
点,球A固定在O点正下方,且点O、A之间的
距离恰为L,系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现
把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧,
仍使系统平衡,此时绳子所受的拉力为F2,则F1
与F2的大小之间的关系为(B)
A.F1>F2B.F1=F2
C.F1 2、如图甲所示,AC是上端带定滑轮的固定竖直杆,质量不计的轻杆 BC一端通过铰链固定在C点,另一端B悬挂一重为G的重物,且B 端系有一根轻绳并绕过定滑轮A.现用力F拉绳,开始时∠BCA>90°, 使∠BCA缓慢减小,直到杆BC接近竖直杆AC.此过程中,杆BC所 受的力(A) A.大小不变B.逐渐增大 C.逐渐减小D.先增大后减小 3、如图所示,有两个带有等量的同种电荷的小球A O 和B,质量都是m,分别悬于长为L的悬线的一端。 LL A 今使B球固定不动,并使OB在竖直立向上,A可 XB 以在竖直平面内自由摆动,由于静电斥力的作用,A球偏离B球的 距离为x。 如果其它条件不变,A球的质量要增大到原来的几倍,才 会使AB两球的距离缩短为 x。 2 A球受三个力作用mg? T? F电,且三力平衡. 4、如图所示,硬杆BC一端固定在墙上的B点,另一端装有滑轮C, 重物D用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A点。 若杆、滑轮及绳的质量 和摩擦均不计,将绳的固定端从A点稍向下移,则在移动过程中 (C) AA.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都增大 C B.绳的拉力减小,滑轮对绳的作用力增大 B C.绳的拉力不变,滑轮对绳的作用力增大 D.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变 5、如图所示,竖直杆CB顶端有光滑轻质滑轮,轻质杆OA自重不计, 0 可绕O点自由转动OA=OB.当绳缓慢放下,使∠AOB由0 逐渐增大到 0 180 0 的过程中(不包括0 °.下列说法正确的是(CD) 和180 A.绳上的拉力先逐渐增大后逐渐减小 B.杆上的压力先逐渐减小后逐渐增大 C.绳上的拉力越来越大,但不超过2G D.杆上的压力大小始终等于G 6、如图所示,质量不计的定滑轮用轻绳悬挂在B点,另一条轻绳一 端系重物C,绕过滑轮后,另一端固定在墙上A点,若改变B点位置 使滑轮位置发生移动,但使A段绳子始终保持水平,则可以判断悬点 B所受拉力FT的大小变化情况是(B) A.若B向左移,F T将增大 B.若B向右移,F T将增大 C.无论B向左、向右移,F T都保持不变 D.无论B向左、向右移,F T都减小
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