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考研数学一真题及答案
2005年考研数学一真题
欧阳光明(2021.03.07)
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分。
答案写在题中横线上)
x2
(1)曲线y=莎刁的斜渐近线方程为。
11
[答案ly=^-4
【解析】
_11
所以斜渐近线方程为7=^-40
11
综上所述,本题正确答案是y=^-4o
【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性.拐
点及渐近线
(2)微分方程兀"+2y»屁满足以1)=-話勺解为。
[答案】y-押处_9%
【解析】
原方程等价于y+2、lnx
所以通解为
将y(i)=鳥代入可得c=°
综上所述,本题正确答案是y=^/nx"k
【考点】高等数学一常微分方程一一阶线性微分方程
222
(3)设函数u(x,y,z)=1+石+正+码单位向量九=乔{I」」},贝[]
du
11
+「希
V3
综上所述,本题正确答案是三。
【考点】高等数学一多元函数微分学一方向导数和梯度
(4)设°是由锥面Z=与半球面z=J"_x2_『围成的空间区
域,,是"的整个边界的外侧,则
Ifxdydz+ydzdx+zdxdy=
Zo
【答案】2*(1-字)R:
【解析】
综上所述,本题正确答案是W-t)«3o
【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、
性质及计算
(5)设旳,%也均为三维列向量,记矩阵力=(旳,也°)如果⑷=1,那么⑹=。
【答案】2。
【解析】
【方法一】
【方法二】
1
1
1'
rl
1
1
1
2
3
二A
1
2
3
1
■
4
9
■
1
■
4
9
■
B=(仇[,a2/a3)由于
两列取行列式,并用行列式乘法公式,所以
综上所述,本题正确答案是2。
【考点】线性代数一行列式T亍列式的概念和基本性质,行列
式按行(列)展开定理
(6)从数1234中任取—个数记为X,再从1,2,…,X中任一个数,
记为侦]P{Y=2}=o
13
【答案】屁。
【解析】
【方法一】
先求出(")的概率分布,因为X是等可能的取1,234,故(XY)关于X的边缘分布必有P{X=^=”=1,234,而丫只从1,2,…,X中抽取,又是等可能抽取12…,X的概率为忌
XY
1
2
3
4
1
1
4
0
0
0
1
4
2
1
8
1
8
0
0
1
4
3
1
12
1
12
1
12
0
1
4
4
1
1
1
1
1
16
16
16
16
4
即:
x11113
所以p{y=2}=§+正+花二厉
【方法二】
13综上所述,本题正确答案是屁。
【考点】概率论与数理统计一多维随机变量及其分布一二维离
散型随机变量的概率分布.边缘分布和条件分布
二.选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分。
在每小题
给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
)
f(x)=lim1lJl+\x\An
(7)设函数宀,则fW
(A)处处可导
(E)恰有一个不可导点
(C)恰有两个不可导点(D)恰有三个不可导点
【答案】Co
【解析】
lim;加"++…+am=1鉴尬仏}(勺>°),n
宙心8-知
由y=兀兀)的表达式和其图像可知几町在%=±1处不可导,在其
余点均可导。
(8)设F(x)是连续函数门尤)的一个I京函数,“MON壊示M的充分必要
条件是N,则必有
(A)F⑴是偶函数°几对是奇函数
(B)F(Q是奇函数°PX)是偶函数
(C)F(Q是周期函数°PX)是周期函数
(D)F(x)是单调函数o门尤)是单调函数
【答案】Ao
【解析】
【方法一】
若"町是偶函数,由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”,反之,
若几町为奇函数,则師回为偶函数,f⑴的任意一个原函数可表示为F&)=几代)必1。
则F&)是偶函数,故应选A。
【方法二】
排除法:
取fO)=cosx+l,F&)=siM+%+l,显然代幻连续,F(x)=/(x)?
g/(x)是偶函数周期函数。
但F&)不是奇函数(F(0)工0),也不是周期函数,排除B和C选项。
若取伦)=x,F(Q二排除°,故应选Ao
综上所述,本题正确答案是A。
【考点】高等数学一一元函数积分学一原函数和不定积分的概
念,积分上限的函数及其导数
(9)设函数弧")=+曲-y)+其中函数頌有
二阶导数,9具有一阶导数,则必有
d2u_d2ud2u_d2u(C)OxOy_o『(d)dxdy_dx^
【答案】Bo
【解析】
水欧阳光明*创编2021.03.07
沪U_护U
可见有我一莎
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学一多元函数微积分学一多元函数的偏导数和
全微分
(10)设有三元方程卩-z加y+戶=1,根据隐函数存在定理,存在点
(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=zgy)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数无=x(yX)和z=z(x.y)
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数歹=y&z)和z=z(x,y)
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数咒=x(yz)和y=vOn)
【答案】Do
【解析】
则儿二y+产z,fy=无—新;=-lny+严无且儿(0,1,1)=2,=-1,f'z(0,14)=0
由此可确定的隐函数为咒=x(w)和y=y&z)综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学一多元函数微分学一隐函数的求导法
⑴)设兀"是矩阵4的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为旳,«2,贝严1,&(也+也)线性无关的充分必要条件是
(A)山工°(B)久2工°
(C)几1=°(D)久2=°
【答案】Bo
【解析】
【方法一】
设他+上24(。
1+a2)=0即有(“1+*2几1)。
1+*2几2“2=。
①
由于特征值不同特征向量线性无关,所以旳,也线性无关,由①
可得
严]-0
旳,&+优2)线性无关°任2-0°2)
1加
O。
久2
工0<=>A2工0
【方法二】
只有零解
因为(旳,A(仇1+仇2))=(旳心I+滋2)=那么幻,+也)线性无关o厂(5,+也)=2
由于旳,也线性无关,则
旳,心+仇2)线性无关综上所述,本题正确答案是E。
1右
0A,
B•
【考点】线性代数一向量一向量组的线性相关与线性无关,向
量组的秩与矩阵的秩之间的关系
(12)设4为n伍>2)阶可逆矩阵,交换4的第1行与第2行得矩阵耳
"炉分别为加的伴随矩阵,则
(A)交换4*的第一列和第二列得〃*
(B)交换4的第一行和第二行得B“
(C)交换4的第一列和第二列得・B
*欧阳光明*创编2021.03.07
(D)交换4*的第一行和第二行得・B"
【答案】Co
【解析】
设4为3阶矩阵,因为州乍初等行变换得到所以有
即交换°的第一列和第二列得・B
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】线性代数一矩阵一矩阵的初等变换
(13)
设二维随机变量(XY)的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
己知随机事件説=0}和{X+21}相互独立,则
已知0.4+a+b+0.1=l=>a+b=0.5
所以有0.5(0・4+a)=ana=0.4b=0.1
综上所述,本题正确答案是E。
【考点】概率论与数理统计一多维随机变量及其分布一二维离
散型随机变量的概率分布.边缘分布和条件分布,随机变量的
独立性和不相关性
(14)设〔疋,…儿(71>2)为来自总体"(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,2为样本方差,则
(功肿〜于(町
(―1)X|2
小、亍了〜F(l,_°
(D)乙=2*1
【答案】Do
【解析】
叮*
(1),可=2狩〜加(n_l)且屯2与斗=2貯相互独立,因此综上所述,本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计一数理统计的基本概念一简单随机
7
样本,统计量,样本均值,无分布,I分布,F分布
三.解答题(本题共9小题,满分94分。
解答应写出文字说明.
证明过程或验算步骤)
(15)(本题满分11分)
设D={(x,y)|x2+y2
计算二重积分〃/刃1+/+y2]dxdy
【解析】
={O,y)I0
ffnxy[l+x2+y2]dxdy二Jjnxydxdy+Jjn2xydxdy
贝[jUU2
【考点】高等数学一多元函数积分学一二重积分与三重积分的
*欧阳光明*创编
概念、性质.计算和应用
(16)(本题满分12分)
求幕级数"二1(_1(1*顾刁)用的收敛区间与和函数几尤)
【解析】
所以当/VI时,原级数绝对收敛,当/>1时,原级数发散,
因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为
记S3V1)-宀e(一14)胪&)vi)n-】詁尹-i)xe(_“)由于s(o)=os(o)=0
S(x)=
所以
从而
x2x2
/(x)=2S(x)42=2xarctanx-In(1+%2)+—fxG(-1,1)
【考点】高等数学一无穷级数一幕级数及其收敛半径.收敛区间(指开区间)和收敛域,幕级数的和函数,简单幕级数的和函数的求法,初等函数的帑级数展开式
(17)(本题满分11分)
如图曲线c的方程为y=代Q点(3,2)是它的一个拐点,直线S与S分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点(2,4)设函数代尤)具有三阶连续导数,计算定积分几(/+^r^dx
【解析】
由点(跆堤曲线伦)的拐点知/'(3)=0。
由于直线-与厶2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,由图易得,直线S与厶2的斜率分别为2和・2知,/(°)=2/⑶=-2
且由图易得代0)=0/⑶=2则
【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的概念和基本性
质,不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法
(18)(本题满分12分)
已知函数代町在[0,1]连续,在(°,1)内可导,且/(0)=0/
(1)=1
证明:
⑴存在牝(0,1),使得/W=l-
(II)存在两个不同的点",«(0,1),使得巾必)=1
【解析】
(I)令F&)=/(%)-1+e[0,1」,由题设知,尸(尢)在|0,1]上连
续,又
由连续函数的零点定理知,存在牝((M),使得F(Q=°
即/W=1-§
(ID在区间[0刀和[外]上分别对f⑴用拉格朗日中值定理得
【考点】高等数学一一元函数微分学一微分中值定理
(19)(本题满分12分)
设函数©(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭
*欧阳光明*创编2021.03.07
r(p(y)dx+2xydy
曲线L上,曲线积分兔2,+戸的值恒为同一常数
(I)证明:
对右半平面兀>°内的任意分段光滑简单闭曲线C有
©(p(y)dx+2xydy比—2?
+7—_U;
(id求函数0(y)的表达式。
【解析】
⑴如图,将c分解成:
c=“2另作一条曲线5围绕原点且与
c相连,贝U
p=叭刃0=勿po
(ID设一”+产°一2,+严々在单连通区域无>°内具有一阶连
c(p{y)dx+2xydy
续偏导数,由(I)知,曲线积分九用+『在该区域内与路径无关,故当无>°时,总有
dQ_2y(2x2+/)-4x-2xy-4x2y+2y5
而£_(2戏+『)2-(2/+巧2①
dP_0(y)(2*+y4)-4y%(y)_2x2(p'(y)+y40(y)-4y•如(y)
西=&2+/)2=(2尤2+y4)2②
比较①,②式的右端得:
可得卩(y)二・于
【考点】高等数学一多元函数积分学一平面曲线积分与路径无
关的条件
(20)已知二次型
f(无1丸2亿3)=(1-小咒/+(1-口)无22+2无32+2(1+G)无1兀2的秩为
⑴求Q的值;
水欧阳光明*创编2021.03.07
(ID求正交变换兀=Qy,将MwQ化为标准形;(III)求方程心注2丸3)=0的解
【解析】
(II)当a=°时,由
得矩阵4的特征值是220。
(HI)【方法一】
由(id知,在正交变换无=Qy下,注刀心)二°化为
*欧阳光明*创编2021.03.07
2712+2y22二0,解得yi=0,y2=0,y3=仗为任意实数),从而
即方程沧心七)二°的解是为任意常数。
【方法二】
由于
=心?
+x2+2X32+2X^2二+X2)2+2x^=0
所以
其通解为兀=k(1「I)[其中*为任意常数。
【考点】线性代数一二次型一用正交变换和配方法化二次型为
标准形
(21)(本题满分9分)
已知三阶矩阵4的第一行是(Q0,c)不全为零,矩阵
123,
B二246伙为常数)
136kJ,^AB=°,求线性方程组4龙=0的
通解。
【解析】
由朋=0,知厂⑷+r(B)<3,又4工0,B工0,故
l<r(4)<2,l<r(B)<2
当心9时,必有厂(B)=2,此时心)二1由于
71-r⑷=3-1=2,又因为4B二0,〃的列向量是处=0的解。
故处=°的通解为:
©(1Z3)7*+込(36叭心,直是任意常数;当k=9时,则r(B)=lo此时厂⑷=1或2。
若厂⑷二2,贝归-厂⑷=1。
加=0的通解为k(123)l
=*欧阳光明*创编
若厂⑷=1,
贝\]Ax=0与ox+by+cz=0同解,由71-厂⑷=2,设qhO,那么Ax=°的通解为花心巾°)7+如一cQa):
他,心是任意常数
【考点】线性代数一线性方程组一齐次线性方程组有非零解的
充分必要条件,齐次线性方程组的基础解系和通解
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(XY)的概率密度为
⑴求(XY)的边缘概率密度『x(x),fyM;
(II)Z=2X-匕的概率密度『z(z)。
【解析】
⑴当zSO时,Fz(z)=O;
当0VzV2时,Fz(z)=P{2X-K 当z>2时,&(z)=1 【考点】概率论与数理统计一多维随机变量及其分布一二维连续型随机变量的概率密度.边缘概率密度和条件密度 (23)(本题满分9分) 设X],Xp…X3>2)是来自总体N(0,l)的简单随机样本,X是样本均值,记农=Xi・Q=lZ・s ⑦求人的方差=1Z…血; 么必与丫啲协方差c°v(yMo 【解析】 *欧阳光明*创编 【考点】概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量 函数的数学期望、协方差.相关系数及其性质
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