高中数学必修五知识点公式总结.docx
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高中数学必修五知识点公式总结
必修五数学公式概念
第一章解三角形
正弦定理和余弦定理1.1
正弦定理1.1.1
abc各边和它所对角的正弦的比相等,1、正弦定理:
在一个三角形中,即.
sinAsinBsinCcab正弦定理推论:
①2RR为三角形外接圆的半径)(
sinAsinBsinCasinAbsinBasinAa2RsinC2RsinB,c2RsinA,b②③,,sinCbsinCcsinBc
babacca:
b:
csinA:
sinB:
sinC④⑤
sinBsinCsinAsinBsinAsinC
2、解三角形的概念:
一般地,我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。
(a,b,c)(A,B,C).在三角形中,已知三和三个内角任何一个三角形都有六个元素:
三条边
角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
、正弦定理确定三角形解的情况3
图形关系式解的个数
absinA①一解ab②
A
为babsinA两解锐
角
absinA无解
A
ab一为解
钝
角
或
ab无解直
角
4、任意三角形面积公式为:
必修五数学1
1
11abcbcsinASabsinCacsinBABC224R2r
(abc)2R2c)p(pa)(pb)(psinAsinBsinC2
1.1.2余弦定理
5、余弦定理:
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即
222222222cb2cacosB2bccosAbccbaaa2abcosC,,.
222222222ccbbcbaaa
cosCcosBcosA,,余弦定理推论:
2ab2ac2bc
6、不常用的三角函数值
15°75°105°165°
62626262sin4444
62666222cos
4444
23232323tan
1.2应用举例
11、方位角:
如图,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。
2、方向角:
如图2,从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。
(指定方向线是指正
北或正南或正西或正东)
3、仰角和俯角:
如图3,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角。
(1)方位角
(2)方向角(3)仰角和俯角(4)视角
4、视角:
如图4,观察物体的两端,视线张开的角度称为视角。
5、铅直平行:
于海平面垂直的平面。
6、坡角与坡比:
如图5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角,坡面的铅直
h
i高度与水平宽度的比叫坡比.
l
(5)坡角与坡比
必修五数学2
第二章数列
2.1数列的概念与简单表示法
1、数列的定义:
按照一定顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列
的项。
数列中的每一项和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项),
nn位的数称为这个数列的第项,?
,排在第2排在第二位的数称为这个数列的第项。
所以,
aaaaa,?
,简记为,数列的一般形式可以写成,,?
,.nn123
ann2、数列的通项公式:
如果数列之间的关系可以用一个式子来表示,的第项与序号n
那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
3、数列的递推公式:
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的
a1an2(与它的前一项任一项(或前几项))间的关系可以用一个公式表示,那么nn
a2a1n1)这个公式叫做这个数列的递推公式。
定义式为(n1n
*,n?
1,2,3,4,N4、数列与函数:
数列可以看成以正整数集(或它的有限子集)为定
afn,当自变量按照从大到小的顺序依次取值时,所对应的一列函数值。
义域的函数n
通项公式可以看成函数的解析式。
aa1
aa1n(或5、数列的单调性:
若数列满足:
对一切正整数,都有a),nnnnn
a为递增数列(或递减数列)则称数列。
n
判断方法:
①转化为函数,借助函数的单调性,求数列的单调性;
aa的大小;②作差比较法,即作差比较与nn1
2.2等差数列
1、等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同
d公差常用字母,那么这个数列就叫做等差数列,常数这个常数叫做等差数列的公差,一个
**NadNaaadnn2n))或(表示。
定义式为,(n1n1nnaAbA组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。
这时,2、等差中项:
由三个数,,
ba的等差中项。
叫做与
abbaA2AabAabA的等差中项是,.A
2
*aaaNn2,n),则,,(、等差中项判定等差数列:
任取相邻的三项3n1n1n
aaaaa2aan2成等差数列(,,是等差数列。
)n1n1n1n1nnn
必修五数学3
a.dad1daaan为公差。
变形为:
,其中为首项,、等差数列的通项公式141nn1
1nadmdaaaa.nm项。
变形为、通项公式的变形:
为第,其中5mmnnm
mn
*qaaNmnpaaqnmp;,则,且,6、等差数列的性质:
(1)若,,qmnp
2aaamn2p;,则2()若pmnaaanmp成等差关系;,,成等差数列,则,,(3)若npm
aaqpnppq成等差数列(4)若,首项为(公差为);nn
ca也成等差数列;成等差数列,则(5)若nn
6)如果(paqbbpaqa也是等差数列。
,都是等差数列,则mnnnn
2.3等差数列的前项和n
Sn11asa与1、一般数列的关系为.nnnnSS2n1n
nn1dSnaanan项和的公式:
、等差数列前2n11n
22dnd1nd,Snanann)由项和公式的函数特征:
(1、等差数列前32n11
222dd2aB,则,BAnaSAdBA、2A为常数,其中(令,为等差数列nnn1
22
Sn0aAd00abA的无常数项的二次函数。
是关于,则,即若若,即).n1
dSnaSna0d,则
(2)若.也是等差数列,公差为为等差数列,nn12n
aSSS,SS,为等差数列,(3)若也成等差数列2kk,n2k3kK
mSnSSSSS0mn,则,5,则)若((4)若mnnmmmnn
aAm2m1bBAan,则有项和分别是是均为等差数列,前)若与6(nnnnBb2m1mSSaa0ad0d00存,则中,存在最大值,,则,,)在等差数列(7n1n1n
在最小值。
2.4等比数列
必修五数学4
1、等比数列:
一般地如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那
qq0表示么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母.
a2nqa0q0,(,定义式:
).,nn
an1aaaGGbGb叫做与,中间插入一个数成等比数列,那么,使,2、等比中项:
如果在
2GaabGbabGbGb成等比数列,,.与的等比数列。
Ga
2个互为相反数。
两数同号才有等比中项,且有
n1naqaqaaq.3、通项公式:
,公比为其中首相为1n11q
m*nmnaqaN.,4、等比数列的性质:
()nm等比数列的前项和2.5n
naq11
nSna1q项和的公式:
、等比数列的前1n1
qa1qan1q1q1
anqa11q记.San1q时,项和的函数特征:
当、等比数列的前21nn1
q1q11q
,即nSAqAaA.n1
q1
n项和的性质:
在等比数列中:
3、等比数列的前
SSSSSqk,?
均不为零时,数列成等差数列。
公比为,,)当(1.2kk2k3k
knmSSqSqSS)(2nmnmnmammnmn*)(3nmaaqqN)或(、nmanmnpqaaaa,则(4)若nmqpaCa)若(5为等比数列为等差数列,则nn
logaa是等差数列6)若(为正项等比数列,则nCn
ak、a、a、、ab0aba则均为等比数列,(7)若、n等nnnnnnn
abnn
数学必修五5
q11、k仍是等比数列。
公比分别为:
.、、、、
qqqqqqq221
aa00a0111a当的增减性:
)等比数列(8当为递增数列;,或an时,n0q01q1q1
a01为递增减数列。
或a时,n1q
4、由递推公式求数列通向法:
aaaafnnf变形:
)累加法:
(1n1n1nn
an1aanfnf2)累乘法:
(变形:
n1n
anpana)取倒数法:
(3n1
qapn
pqpq(p1)0paaq),均为常数,(其中)构建新数列法:
(4nn1kapakak设为等比数列。
n1nn
第三章不等式
3.1不等式关系与不等式
1、不等式定义:
用不等号(、、、、)表示不等关系的式子叫不等式,记作
xfxxggfx”或“”连接的不等式叫严格不等式,等。
用“,用不“”
”连接的不等式叫非严格不等式。
或“
2、实数的基本性质
ab0abab0abab0ab;;.
实数的其他性质
a0a0a00ab0,ab0ab0;;ab0,ab
0b0bb0
3、不等式的基本性质
ab,bcacaabb
(2)传递性:
)对称性:
(1
abacbaabccbc(移向法则):
1)可加性:
推论3(
abdbca(同向不等式的相加法则):
推论2
dc
必修五数学6
ababacacbcbc)可乘性:
4(;
0c0c
ababcbaadbcd)同向相加:
(5;异向可减:
cddc
ab0ab0ab(6)同向可乘:
bdac;异项可除:
c0d0dcdc
nn)乘方法则:
7(Nnab0nba1,()
nanNn2b0ab(),)可开方性法则:
(8n
ab11
)倒数法则:
9(
baab0
3.2一元二次不等式及其解法
2的不等式,称为一我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是、一元二次不等式定义:
1
元二次不等式。
使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解,
一元二次不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的解集。
2、二次函数,一元二次方程,一元二次不等式三者之间的关系
20004acb
2axbxc0
a0的图像
2axbxc0两个不相等的实数根两个相等的实数根
没有实数根
xxxx21120a的根
2axbxc0bxx或xxxxxR21
2aa0的解集
2axbxc0
xxxx21a0的解集
附:
韦达定理b2xxc,0a.xax
xbxc0,则在函数2121
aa
必修五数学7
3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
AxByC0、平面区域:
一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式1表示直线
AxByC0某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括
AxByC0边界。
不等式表示的平面区域包括边界,把边界画成实线。
bybkxkxy的上方区域;时,表示、平面区域的判定:
一般地,当2
bbyykxkx的下方区域。
时,表示当
简单的线性规划问题3.3.2
3、线性规划有关概念:
①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称
线性规划问题。
②若约束条件是关于变量的一次不等式(方程),则成为线性约束条件。
③
xy的一次解析式叫做线性目标函数。
④满足线性约,要求最大(小)值所涉及的关于变量
xy)叫做可行解,⑤由所有可行解组成的集合叫做可行域。
⑥使目标函数束条件的解(,
取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
ab基本不等式:
3.4ab2
bRab2abba=1
a时取“、主要不等式:
设(当且仅当,,则”)22abb0abba0a=,(当且仅当”),则时取“、基本不等式:
设22
ab2ab.即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
变形:
22222baabRbb2ababababaa),(、应用:
3
22ab22
4、基本不等式的应用
SS2yx有最大值时,积Sxyyx,那么当且仅当
(1)如果和是定值;
24
Pxy2PxyPxy有最小值(是定值时,和2)如果积,那么当且仅当.
应注意以下几点:
①各项或各因式必须为整数;
②各项或各因式的和(或积)必须为常数;
.③各项或各因式能够取相等的值射影定理:
以上三个条件简称为“一正,二定,三相等”
22ACCDADBDADAB;②①;
2ABCBBD③.
必修五数学8
关于不等式其他补充内容
22yP,Px,yxPP,则,yyxx、两点间的距离公式:
设1.122112222111
Px,ylAB0AxCBy设不同时(的方程为、,直线、点到直线的距离公式:
200
AxByC00dPl的距离为零),则到直线.22BA
ByCC0Ax0ByAx间的距离和、两平行线间的距离公式:
两平行直线321
CC21.d22BA
y0y,即kxxyky4、点斜式方程:
00xx0
ybkbkx为截距。
5、斜截式方程:
,其中为斜率,
ABB00CByAx时,方程可化、(不同时为零),当、直线方程的一般形式:
6
C
AC
yAx的直线。
轴上的截距为,表示斜率为,在y为
BBBB
22Ca,brbyxar其中圆心为..,半径为、圆的标准方程:
72
必修五数学9
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