北师大版初三数学下册几何图形中的线段之和最短问题.docx

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北师大版初三数学下册几何图形中的线段之和最短问题

《几何图形中的线段之和最短问题》教学设计

西安市华山中学海文

【教学内容与内容分析】

线段之和最短问题一直是中考的热点和难点，其核心内容是运用轴对称的性质将问题转化为“两点之间，线段最短”或“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，应用到的知识较为广泛，几乎涵盖了初中几何大部分内容。

本节课作为中考专题复习课，在学生对初中数学基础知识有了一定掌握的情况下，利用分类、转化、建模的思想建立了三种常见问题的模型，并以常见几何图形为载体，综合运用轴对称性质、勾股定理、常见图形性质等进行分析计算，归纳出解决此类问题的一般方法。

在教学时，重点为探究过程中数学模型的建立和应用。

【目标和目标解析】

经历数学模型的建立、分析及应用过程，通过观察、分析、对比，掌握解决几何图形中线段之和最短问题的一般方法，并结合几何图形的性质特点及题目条件进行熟练计算。

同时，在探究过程中帮助学生进一步强化分类、归纳、综合的思想，体验数学学习的乐趣和成就感，发展应用意识，提升学生分析问题、解决问题的能力。

【教学问题诊断分析】

在初中阶段的数学学习中，由于思维水平的发展限制，多数学生对知识的理解通常是碎片化的，缺乏将同一类问题进行系统化处理的能力，在对线段之和最短问题进行分类讨论时，需要教师逐步引导，增加难度。

学生可能会根据动点和定点的位置不同，画出多种模型，从而在模型筛选上耗费时间，偏离本节课重点，因此在教学时应尽量引导学生在两定一动模型的基础上进行改动，变化出新的模型，从而有效利用课堂时间。

此外，为了帮助学生更好的总结方法，教学时提出了“化折为直”的思想，学生可能在具体的作法上出现问题，在教学中应强化将折线通过“翻”这一动作变为直线，而“翻”实际上是利用轴对称的性质作出对称点，这样能帮助学生更形象的理解和记忆。

由于学生水平的差异，对模型的应用掌握程度不同，在教学时应注重学生的交流、讨论、展示、总结等环节，并在课后通过检测反馈发现问题，对部分同学进行适当辅导。

【教学支持条件分析】

学生通过之前的学习已经掌握了初中阶段的基础数学知识，对简单的线段之和最短问题也在课后习题和教材补充部分中有所接触，能够较熟练地利用做对称点的方法解决将军饮马问题，这些都为本节进一步的专题学习提供认知条件。

北师大版教材对重要的数学内容都是按照“问题情境—建立模型—分析应用”的叙述方式编排，学生在学习的过程中已经逐步形成了建模及应用意识，并且具备一定的观察、分析、抽象概括的能力，同时在研究具体问题时注重探索和交流。

这些为本节课的学习活动奠定了经验基础。

此外，根据本节课的内容和教学环节的安排，决定将多媒体课件投影在黑板上展示，一方面能清晰的有步骤的呈现模型的建立过程，另一方面能方便将图形的投影和传统粉笔作图结合在一起，实现高效教学。

【教学过程设计】

背景引入

课件显示：

师：

相传在古希腊时，有位将军在作战时遇到这样的问题，他想从A地去河边饮马，然后再返回B地，为了节省时间和体力，他想知道到底怎么走最短。

这就是著名的将军饮马问题。

请大家观察并思考能否将其抽象为一个数学模型呢？

生：

可以将A、B两地看作平面内的两个定点，河流看做一条直线l，饮马地点看做l上的一个动点P，那么问题就转化为了在直线l上寻找一点P使得PA+PB的距离最短。

设计意图：

以将军饮马的故事引入线段之和最短问题，激发学生的好奇心，增强学习趣味性。

根据以往的学习经验，学生能够轻易的将此实际问题转化为数学问题，在转化的过程中自然的运用的了建模思想，为下一步的学习做好准备。

问题探究一

课件显示：

模型一：

两定一动

师：

通过对实际问题的转化，我们得到了如上的数学模型。

图中的A、B、P三个点有什么特征？

生：

A、B为定点，P为直线l上的动点。

（设计意图：

通过对点的类型判断，引发学生的分类思想，为之后的不同模型提供认知基础。

）

师：

请大家思考并讨论，也可以上台演示：

（1）能在图中作出PA+PB的最短距离吗？

（2）能说明其中的道理吗？

生：

短暂的思考后，上台演示作图方法，做点A（或B）的对称点A’,连接A’B与直线l相较于点P,则此时PA+PB最短。

（设计意图：

通过两个简单问题帮助学生回顾两定一动情况下寻找线段之和的方法，复习对称点的做法，对用到的知识进行概括。

）

师：

在找到最短距离后，实际上图中哪条线段就表示了PA+PB的最短距离？

生：

观察后回答就是A’B。

教师小结：

在两定一动模型中，基本做法是作其中一定点关于动点所在的直线的对称点，连接对称点和另一定点即得到线段之和的最短距离。

原理是通过化折为直思想将问题转化为两点之间的距离，即得到两点之间，线段最短。

（设计意图：

在以往教学中发现学生解决此类问题时通常会作图不会计算，因此在作图后特别提出此问题，希望学生能够通过观察找到需要计算的线段。

）

变式训练一

课件显示：

已知如图，P为线段AC上的动点，请作出以下线段之和的最短距离。

正方形圆

PM+PBPM+PN

师：

在了解了两定一动的模型之后，应用模型我们可以解决一些问题，如变式训练一，请大家尝试找出图中线段之和的最短距离。

生：

观察思考，在学案上进行作图和计算，两名学生在黑板上作图并讲解。

在正方形中寻找两定一动模型，定点为B和M，动点P在AC上运动，根据正方形的对称性可以发现B关于AC的对称点为D,连接BD,则BD为PM+PB的最短距离。

在圆中，定点为M和N,动点P在AB上运动，根据圆的对称性作出M关于AB的对称点M’，连接M’N，则M’N即为PM+PN的最短距离。

（设计意图：

选择正方形和圆是希望锻炼学生在常见图形中对模型的辨析识别能力，能利用图形本身具有的对称性找到对称点，从而快速发现线段之和的最短距离。

）

师：

用板书在投影上添加条件，正方形边长为2，M为AB中点，圆半径为2，M是弧AB的三等分点，N是弧MB的中点。

请计算图中线段之和的最短距离。

生：

思考计算，两名学生在讲台上计算并为全班讲解。

在正方形中根据勾股定理可以很快计算出结果。

在圆中连接OM’和ON,通过圆心角的计算可以得到直角三角形，再利用勾股定理计算。

教师小结：

在研究常见图形中的线段之和最短问题时，要注意寻找基本模型，做对称点时要尽量结合图形特点寻找最简单的对称点。

（设计思路：

通过作图找到最短距离后，引导学生观察分析，结合数据及图形性质进行计算，对此类问题的综合运用有更深的理解。

）

问题探究二

课件显示：

模型二：

两动一定

师：

将两定一动模型中的一个定点变为动点，则得到如图模型，请大家四人为一小组讨论交流，也可以上台演示。

（1）图中三个点可以构成哪些线段？

观察它们的端点，你发现什么区别？

（2）你能利用刚才的方法作出PQ+PA的最短距离吗？

生：

分组讨论后发现，图中线段有AP、PQ、AQ，根据端点可以分为定定（两个端点为定点），定动（端点为一定一动），动动（端点为两个动点）。

在作PQ+PA的最短距离时，学生可能会出现困难，教师应引导学生回顾刚才作图利用的化折为直的思想，将两条线段放在一个方向上，从而转化为点到线的距离。

教师小结：

根据线段端点的特征，可以对线段进行分类，分为定定、动动、定动，在化折为直的过程中，要将线段放在同一条直线上，则可以通过做对称点将定动线段向外翻折，最终转化为两点间的距离或点到线的距离，若为两点间的距离则线段最短，若为点到线的距离则垂线段最短。

（设计思路：

两动一定模型的分析有一定的难度，因此引入了根据端点对线段进行分类的方法，借此感受线段的不同，从而再进行化折为直时明确应将定动线段进行“外翻”，帮助学生形象的进行理解记忆。

）

变式训练二

课件显示：

师：

利用两动一定模型的分析解法，你能解决这个问题吗？

可以上台演示。

生：

思考并计算，一名学生上台进行作图讲解。

部分学生在应用解题时可能还存在困难，教师可以引导学生回顾刚才的思考过程，先对线段进行分类，BM为定动线段，MN为动动线段，再将定动线段BM向外翻折，即作出定点B的对称点B’，则问题转化为点B’到AB的最短距离，作出垂线段再结合题目条件进行计算。

教师小结：

在图形中寻找模型，对线段进行分类，先作出最短距离，再结合题目条件及对称性进行计算。

（设计意图：

学生对两动一定模型有了初步认识，此处主要考察在常见平面图形中的识别和应用。

此外将定动线段BM向外翻时，需利用角平分线作为对称轴找到B的对称点B’，引导学生发现对称点应根据题目和图形的具体情况寻找。

）

问题探究三

课件显示：

模型三：

两动两定

师：

两动一定模型上再增加一个定点，变为如图的两动两定模型，请大家以小组为单位思考并讨论以下问题

（1）AB、AQ、QP、PB分别是哪个类型的线段？

（2）你能作出AQ+QP+BP的最短距离吗？

生：

有了之前的活动经验，学生能够较快对线段进行分类，并能够认识到将定动线段外翻，仍然是作出定点的对称点。

教师在此过程中，应加深学生对化折为直的形象理解，使知识和方法的记忆更生动。

教师小结：

注意此模型与两动一定模型类似，通过对线段分类及观察可以发现，定定、动动线段在解题时不用去管，只需要把定动线段向外翻折，即作出定点的对称点，就可以把三条线段放在同一个方向上，进而转化为“两点之间，线段最短”的问题。

（设计思路：

教师引导学生在两动一定模型基础上建立两动两定的模型，一方面是对前两个模型的拓展，另一方面帮助学生熟练的掌握化折为直的方法，实现知识的内化。

在这个阶段的学习过程中，教师应将更多的主动权交给学生，鼓励学生自己进行模型的分析和转化。

）

变式训练三

课件显示：

师：

学习完两动两定模型，相信大家能够好好利用它来解决以上问题。

生：

思考并作图计算。

一名学生上台演示过程，为其它同学讲解。

先对线段进行分类，发现BN和CM是定动线段，则将这两条线段向外翻（作出定点的对称点），从而使BN+MN+CM的距离转化为两点之间的距离，结合三角形性质及题目条件可进行计算。

教师小结：

对线段进行快速分类，利用对称性化折为直是迅速找到最短距离的关键，

计算时注意将单独的线段放在特殊三角形中。

（设计思路：

本题主要是锻炼学生对两动两定模型的识别和应用，并再次巩固化折为直的思想。

此外以等腰三角形为载体，帮助学生掌握不同图形中的计算方法，并且提示学生对于线段的计算必须结合具体题目条件，做到有的放矢。

）

小结

师生共析：

两定一动化折为直两点之间

两动一定

两动两定点线之间

（设计意图：

每建立一个模型利用板书记录，在整个教学过程中深化利用化折为直的思想方法，最终将问题转化为两点之间和点线之间的最短距离。

学生通过整堂课的学习自然能够在教师引导下归纳出核心内容。

）

师：

最后把一首诗送给大家，一起来共同完成。

课件显示：

化折为直

——线段之和最短问题

定定动动不用管，只把定动向外翻。

两点之间连线段，勿忘垂线段最短。

（设计意图：

本堂课主要运用分类、建模、转化的思想方法解决几何图形中的线段之和最短问题，课容量较大。

教师引导学生共同完成这首打油诗，既是对整堂课内容的提炼，又生动的加深了学生的记忆，为本节课画下完美的句号。

）

【目标检测设计】

1、

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值.

（设计意图：

课堂教学限于时间，不能进行所有几何图形的训练，因此在课后检测时补充了菱形载体，并且考察学生对两定一动模型的识别和应用。

）

2、

=

，C是

内一点，CO=10，P、Q分别是OA、OB上的动点，求

周长的最小值。

P

（设计意图：

考察学生的问题转化能力和两动一定模型的识别和应用，需明确三角形周长的最小值其实可以转化为三条线段之和的最短问题，再利用化折为直的思想方法进行计算。

）

3、著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

（设计意图：

考察学生是否能够利用两动两定模型解决实际问题，并结合平面直角坐标系和题目条件进行计算，同时需明确四边形的周长最小问题同样可以转化为线段之和最短问题。

）