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量子力学考试题
量子力学考试题
(共五题,每题20分)
1、扼要说明:
(a)束缚定态的主要性质。
(b)单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
AA一,AAAAAA
2、设力学量算符(厄米算符)
试证明:
(a)K的本征值是实数。
(b)对于F的任何本征态
F,G不对易,令K=i(FG-GF),
屮),K的平均值为0。
(c)在任何态中F2+G2>K3、自旋矗/2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已
知其能量算符为
H?
wS
(⑷,V>0,⑷?
V)
(a)求能级的精确值。
A
(b)视VSx项为微扰,用微扰论公式求能级。
4、质量为m的粒子在无限深势阱(0 写出能级和波函数,并计算平均值x,瓦,XpX 5、某物理体系由两个粒子组成,粒子间相互作用微弱,可以忽略。 已知单粒子“轨道”态只有3种: Va(7),屮b(7),屮c(7),试分别就以下两种情况,求体系的可能(独立)状态数目。 (i)无自旋全同粒子。 (ii)自旋勺2的全同粒子(例如电子)。 量子力学考试评分标准 1、(a),(b)各10分 (a)能量有确定值。 力学量(不显含t)的可能测值及概率不随时间改变。 (b) (nImms)T(n'I'm)m 选择定则: 凶=±1,直m=O,±1,也ms=0根据: 电矩m矩阵兀-ern'I)ns),mImmsH06分(b)7分(c)7分 K是厄米算符,所以其本征值必为实数。 旳=川旳,(屮 (c) F=U^I AAAA FG-GF 旳=i代 =iA{俘洽普)-代(F+i0)(F-i0)=F2+G2-K K=俘 (F+i0)(F-iG)旳二I/. F-iG)|旳 2>0 A Sx h1 2©[0 a 0 -1]+2 A AeoV =2[V-o] 普= a [b: : b: 令E=2A -K 当⑷? v, ,则 V V一《—A n E1=-2(厂 V2 Jeo2+V2=c(1+时2)1/2;tC 岛V2衣 E1z2+2w],E=2[ A Sz+V H0本征值为 =0, g'AA'A Sx=H0+H,H0i±1(0)—兔! 3 2,取E1(0)=-2, 0 f2,E>=y2 (1+2⑷2)y2 '+2© A Sz 相当本征函数(Sz表象)为甲1(0)=[1] A' 则H之矩阵元(Sz表象)为 h 2Jk! 2+V2 2 V =©+ A VSx -怙 2 1 空2(0)=[0] E2(0) H11=0,H22=0, |H21 E1=E1(0)+丄1+E1(0)-e20) .,2 -Er=-1甩 H12=H21 “J 4 +0-屉 |H12 LL(0)LI'I-(0) F? =E2+H22+E2 2 兀- 4、B= a _胖fxdx x=0 A2 2ma2 屮1(x)=y 2;xsin a0 2.TIX —SIn— Ia 0 0 X<0,X>a 2—dx=m a2 ad Px=-pi0dx-i ad 一J屮1x—f1dx=-i xPx=-pi0dx Td(; _a -2兀X江X i矗一fxsin——d(sin——) a0aa sin2 TlX )=0a JIX) a -i以[xsin2’ai 1a —i衣一Jxd(sin2a。 a ar■2兀X..fsin—dx]a0-0a 也Mdx』 =0+202 四项各5分 5、(i),(ii)各10分 (i)s=0,为玻色子,体系波函数应交换对称。 w(7,r2)有: 屮a(7)屮a(r7)屮bE)屮b(rr) 1TTTT 石[屮a(r1)屮b(r2)Zb(r1)屮a(r2)] a b 共6种。 1(ii)s=2,们屮Pl [o」,M 单粒子态共 .j/b【11 6种: 呵, 帚“」。 501 任取两个,可构成体系(交换)反对称态,如 1 72 量子力学习题 第一章绪论 1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律: 能量密度极大值所对应的波长Am 与温度T成反比,即 AmT=b(常量); 并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。 1.2在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。 1.3氦原子的动能是E=3kT/2(k为玻耳兹曼常数),求T=1K时,氦原子的德布罗意波长。 1.4利用玻尔一索末菲的量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量; (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10特斯拉,玻尔磁子Mb=9X10-24焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间隔也E,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。 1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。 如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 第二章波函数和薛定谔方程 0, oC [0,XC0 V(x)斗 M,X3O 求反射系数、透射系数。 E 2.9质量为m的粒子只能沿圆环(半径R)运动,能量算符 9为旋转角。 求能级(En)及归一化本征波函数屮n(巧,讨论各能级的简并度。 第三章基本原理 2x2 3.5 3.6 3.7米算符。 3.8大一倍。 3.9 屮n、 势能的平均值U T 动能的平均值 动量的几率分布函数。 3.2设t=0时,粒子的状态为 1 2— 屮(x)=A[sinkx+2coskx], 求此时粒子的平均动量和平均动能。 3.3在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数 屮(x)=Ax(a-x) 描写,A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 3.4证明: 如归一化的波函数屮(X)是实函数,贝Uvxpx>=屮/2;如屮=屮(「)(与 日,W无关),则vr打>=-3/2。 计算对易式[X,Ly],[pz,Lx],并写出类似的下标轮换式(XTy,尸Z,PX)。 证明算符关系 pXL+Lx6=2苗p 设F为非厄米算符(F+年),证明F可以表示成A+iB的形式,A、B为厄求A、B与F、f+之关系。 1 一维谐振子(Vi=2kx2)处于基态。 设势场突然变成V2=kx2,即弹性力增求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。 有线性算符L、M、K,[L,M]=1,K=LM。 K的本征函数、本征值记为>-n(n=1,2,...)。 证明: 如函数M屮n及L屮n存在,则它们也是K的本征函数,本征值为(如±1)。 -2-- 3.10证明: 如H=p/2m+V(r),则对于任何束缚态vP>=0。 一2_— 3.11粒子在均匀电场中运动,已知H=P/2m-q眾X。 设t=0时x=0,px=po, 求X(t),Px(t)。 设t=0时 =(P0,0,0),求t>0时 。 3.13粒子在势场V(O中运动,V与粒子质量m无关。 证明: 如m增大,则束缚态能级下降。 原子磁矩与角动量之比为 这个比值,称为回转磁比率。 4.3设氢原子处于状态 1 5.3Ap。 4.7对于类氢离子的基态屮100,计算Ax,ipx,验证不确定关系 Z七pxA勺2。 4.8单价原子中价电子(最外层电子)所受原子实(原子核及内层电子)的库仑作用势可以近似表示成 2、2 e人eao V(r)=———一,0C«1 rr 试求价电子能级。 与氢原子能级比较,列出主量子数n的修正数公式。 [提示: 将V(r)中第二项与离心势合并,记成1'(1'+1)衣2/2川,计算(r-l)之值,…]。 第五章表象理论 5.1设f^>,^k〉是厄米算符H? 的本征态矢,相应于不同的本征值。 算符F? 与 H? 对易。 证明V屮kFPnXO。 5.2质量为4的粒子在势场V(x)中作一维运动,设能级是离散的。 证明能量表象中求和规则 送(En—Ek)〈n|" 2=空 n2卩仏为实数)。 对于一维谐振子的能量本征态h>,利用升、降算符计算vT>、vv>、Ax、 [J,n-J]=i衣nXJ (即n•J的平均值)。 求其本征值及本征态矢(取衣=1)。 P,AP。 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为ro,电荷均匀分布的小球, 6.1 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 6.2转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场E中,如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的二级修正。 6.3设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及Eo2,现在受到微扰H? '的 作用。 微扰矩阵元为H'2=H'i=a,H'i=H'22=b;a,b都是实数。 用微扰公式求能量至二级修正值。 6.4一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场呂作用,设电场沿正X方向: (1)用微扰法求能量至二级修正; (2)求能量的准确值,并和 (1)所得结果比较。 6.5设在t=0时,氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离。 设 单色光的电场可以近似地表示为跆in毗,及0)均为常量;电离后电子的波函数近似地以平面波表示。 求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。 6.6基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降, 即 t<0; t>0(1>0) r0, 氏e\ 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 6.7计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 6.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 6.9粒子(质量4)在无限深势阱0vxva中运动,处于能量本征态屮n(x)。 后 受到微扰作用,H'=x, (a)求跃迁选择定律(屮円屮n'n'n=? ); (b)利用定态微扰论,求能级En的一级修正。 1 6.10用变分法求氢原子(V=F2/r)或三维各向同性谐振子(V=2h32r2)的基态能量近似值(二者选一)。 (a)取试探波函数为屮a,r)=Aexp(-M); (b)取试探波函数为屮a,r)=Bexp(-洛2)。 6.11质量为卩的粒子在势场V(x)=kx4(k>0)中作一维运动。 试用变分法求基态 能量近似值。 建议取试探波函数屮仏,r)=Aexp(—k2r2)。 试证明: 6.12某量子力学体系处于基态屮1(x)。 t>0后受到微扰作用,H'^rFMeS,长时间后(t>>T)该体系处于激发态屮n(X)的几率为 (ASx2©Sy2=? 现? Sz的平均值是多少? 7.5设氢原子的状态是 1、尹21(山1(日严)73-——R^1(r)Yoe,W)、2丿 (1)求轨道角动量z分量Lz和自旋角动量z分量的平均值; (2)求总磁矩 M? 吩吩S(SI) 的z分量的平均值(用玻尔磁子表示)。 7.6求电子的总角动量算符J2,Jz的共同本征函数。 7.7在Sz表象中,证明 7.8对于电子的L,S,J,证明(取衣=1) 22I (2S丄+1)=J+- ——2 QJ)(bJ—1)=J 7.9电子的总磁矩算符是 ==-e■■ P=Pl+Ps=-e(L+2S) 2meC 对于电子角动量的Ijj态(mj=j)计算Az的平均值(结果用量子数j表示出来)。 第八章多粒子体系 8.1一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用。 玻色子只有两个可能的单粒子态。 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 1 8.2设两电子在弹性辏力场中运动,每个电子的势能是U(r)=? Ao? r2。 如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略,求当一个电子处在基态,另一个电子处于沿x方向的第一激发态时,两电子组成体系的波函数。 8.3某体系由两个全同粒子组成,单粒子自旋量子数为S。 求体系总自旋态 中对称态与反对称态的数目。 8.4某体系由三个粒子组成,单粒子状态为屮0G屮P,屮',...,写出体系波函数的可能类型(忽略粒子间相互作用)。 (a)全同玻色子;(b)全同费密子;(C)不同粒子。
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