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整除
整除
整除
(一)
基础知识:
1.整除的定义、性质.
定义:
如果a、b、c是整数并且
,a÷b=c。
则称a能被b整除或者b能整除a,记做
,否则称为a不能被b整除或者b不能整除a,记做
.
性质1:
如果a、b都能被c整除,那么他们的和与差也能被c整除.
性质2:
如果b与c的乘积能够整除a,那么b、c都能整除a.
性质3:
如果b、c都能整除a,并且b、c互质,那么b、c的乘积也能够整除a.
性质4:
如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a.
性质5:
如果b和c的乘积能够被a整除,并且a,b互质,那么c能够被a整除.
2.被2(5)整除特征:
以2,4,6,8,0(5,0)结尾.
3.被3,9整除特征:
数字和被3,9整除.
4.被4(25)整除的特征:
后2位能被4(25)整除;
被8(125)整除的特征:
后3位能被8(125)整除.
5.被11整除特征:
奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除.(“奇偶位差法”).
6.被7、11、13整除特征:
末三位与末三位之前的数之差能被7、11、13整除.
7.整除性质、特征的综合应用,末尾0的个数问题的处理,运用设未知量求解整除问题.
例题:
例1、如果六位数
能够被105整除,那么后两位数是多少?
[答疑编号5721130101]
【答案】85
【解答】设六位数为
,105=3×5×7,依次考虑被3,5,7整除得到
得到唯一解a=8,b=5.故后两位为85.
例2、求所有的x,y,使得
.
[答疑编号5721130102]
【答案】x=2,y=6
【解答】72=8×9,根据整除9性质易得x+y=8或17,根据整除4的性质y=2或6,分别可以得到5位数32652、32256,检验可知只有32256满足题意.
例3、一本陈年旧账上写的:
购入143只羽毛球共花费
元,其中
处字迹已经模糊不清,请你补上
中的数字并且算出每只羽毛球的单价.
[答疑编号5721130103]
【答案】方框处的数字是7和1,单价5.37元
【解答】
解得:
a=7,b=1所以方框处的数字是7和1,单价5.37元.
例4、要使六位数
能够被63整除,那么商最小是多少?
[答疑编号5721130104]
【答案】1592
【解答】63=7×9.
再考虑该数能被9整除,有a+b+c=2或11或20.由于要求最小的商也就是最小的被除数,先希望a=0.此时,易验证b=0,b=1无解,而在b=2时,有解c=9,所以最小的被除数是100296,最小的商是1592.
例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.
[答疑编号5721130105]
【答案】768768
【解答】168=3×7×8,用6,7,8各两次,数字和42,是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768,776时,前三位只有12种取法,经实验只有数768768符合题目要求。
因此唯一符合题目要求的数是768768.
例6、用1、2、3组成的四位数(可重复)中能够被11整除的数有多少个?
[答疑编号5721130106]
【答案】19个
【解答】这样的四位数被11整除,一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和.在1,2,3,4中:
1+1=1+1,1+2=1+2,1+3=1+3,1+3=2+2,2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况,其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3每种情况只能得到1个4位数,1+2=1+2,1+3=1+3,2+3=2+3每种情况可以得到4个4位数,1+3=2+2也能得到4个4位数,所以一共有3+3×4+4=19个数.
例7、所有五位数中,能够同时被7,8,9,10整除的有多少?
[答疑编号5721130107]
【答案】36个
【解答】7,8,9,10的最小公倍数是2520,五位数最小是10000,最大99999,共有90000个数,99999÷2520=39……1719,10000÷2520=3……2440,所以共有39-3=36个.
整除
(二)
例1.用0、1、2、3、4、5可以排成个不含重复数字的能被11整除的五位数.
[答疑编号5721130201]
【答案】60个
【解答】如果奇数位数字之和与偶数位数字之和相等,那么5个数字的总和就肯定是偶数,而0+1+2+3+4+5=15,所以没有用到的那个数字肯定是奇数.如果没有用5,那么奇数位上3个数字可能是0、2、3或0、1、4.如果是0、2、3,把这三个数字排到万位、百位和个位上有2′2=4种排法,把1、4排到千位和十位上有2种排法,所以可以排出4′2=8个五位数;同理是0、1、4也有8种排法,因此没有用5的情形下,可排8+8=16个.
如果没有用3或1,用同样方法算出也各有16种排法.
如果奇数位数字之和与偶数位数字之和相差11,那么只可能奇数位上是3、4、5,偶数位上是0和1.奇数位上排列有3′2′1=6种,偶数位上排列有2种,可以排出6′2=12个五位数.
综上所述,一共可以排出16′3+12=60个符合要求的五位数.
例2.已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0,而且是343的倍数,那么这11个数中最小的是多少?
[答疑编号5721130202]
【答案】40
【解答】因为连续11个数是343的倍数,而
,但是11个数中最多有2个是7的倍数,所以这11个数中有49或者98。
又是10000的倍数,而11个数中最多有3个是5的倍数,所以这11个数中又有25或者50或者75,并且以5的倍数开头和结尾,又要保证有2个7的倍数,所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.
例3.对于一个自然数N,如果具有这样的性质就称为“破坏数”:
把它添加到任何一个自然数的右端,形成的新数都不能被N+1整除.那么有多少个不大于10的破坏数?
[答疑编号5721130203]
【答案】6个
【解答】首先,奇数肯定是破坏数.因为任何一个自然数右端添上一个奇数,得到的新数必然还是奇数,不可能被偶数整除.
4也是破坏数,因为末位是4的自然数肯定不是5的倍数.
由于3│12,7│56,9│18,11│110,所以2,6,8,10不是破坏数,因此不大于10的破坏数有1,3,4,5,7,9,共6个.
例4.有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说:
“这个数能被2整除”,3号说:
“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说这个数能被他的编号整除.1号作了一一验证,只有编号相邻的两个同学说得不对.问:
(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数.
(2)如果告诉你,1号写的是五位数,请求出这个数.
[答疑编号5721130204]
【答案】
(1)8号和9号
(2)60060.
【解答】
(1)首先可以断定编号是2、3、4、5、6、7的同学说的一定都对.不然,其中说得不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两个同学说得不对”不符合.因此,这个数能被2、3、4、5、6、7整除,从而也能被2×5、3×4、2×7整除,即编号为10、12、14的同学说得也对,于是可以断定编号为11、13、15的同学说得也对,不然,说得不对的编号不是连续的两个自然数.因此,说得不对的两个同学的编号只能是8号和9号.
(2)这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数,由于上述12个数的最小公倍数是:
[2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15]=60060.因为60060是一个五位数,而12个数的其它公倍数均不是五位数,而且显然这个数不是8、9的倍数.所以1号同学写的数就是60060.
例5.两个自然数,差是98,各自的各位数字之和都能被19整除,那么满足要求的最小的一对数之和是多少?
[答疑编号5721130205]
【答案】60096
【解答】.要求出满足条件的最小的一对数之和,我们必须求出这两个数。
设较小的那个数为a,则另一个数为a+98。
由于a的各位数字之和是19的倍数,故a的各位数字之和可表示为19n,若相加过程中不出现进位,那么a+98所得和的各位数字之和为19n+9+8=19n+17,数字和不是19的倍数。
因此在相加的过程中必出现进位。
每出现一次进位,所得和的数字和都比原来两个加数的数字总和少10-1=9,则相加进位后a+98的各位数字之和可表示为19n+17-9m,m为相应的进位次数。
17-9m
9m-17,当m=4时(此时为m的符合条件的最小值),9m-17为19的倍数。
因此,可推知,在相加过程中至少进位四次。
而此时n若为1,原数a的各位数字之和为19,此时a较小,要求数字和为19的正整数加98后,不可能出现四次进位。
因此排除n=1。
若n=2,则此时a的各位数字和为38。
这时得到最小的符合条件的数为29999,这便是本题答案。
由a=29999,得a+98=30097,因此满足条件的最小的一对数之和是29999+30097=60096。
例6.已知□代表一个正整数,并且75+□和48+□都不是120的倍数,但是这两个数的乘积能够被120整除.那么“□”所代表的正整数最小可能是多少?
[答疑编号5721130206]
【答案】117
【解答】75+□和48+□的差为27,积为120的倍数.120=3′5′8,而75+□和48+□的奇偶性是不同的,所以75+□和48+□中必有1个数是8的倍数;另外75+□和48+□的差为27,所以它们必须都是3的倍数.此时如果是8的倍数的那个数又是5的倍数,则这个数就已经是3′5′8=120的倍数了,于是我们发现75+□和48+□中一个是3′8=24的倍数,另一个是3′5=15的倍数.
如果75+□是15的倍数,48+□是24的倍数,则□也是3、5和8的倍数,□最小是120;如果75+□是24的倍数,48+□是15的倍数,考虑到75-3=72是24的倍数,48-3=45是15的倍数,可以推出□+3也是3、5和8的倍数,所以□+3最小是120,□最小就是117.
综上所述,□的最小值是117.
例7.已知p、q都是大于1的正整数,并且
都是整数,那么p+q的值是多少?
[答疑编号5721130207]
【答案】8
【解答】由对称性,
为大于0小于2的整数,只能等于1.
,这样q=3,p=5,所以p+q=8.
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