高考全国Ⅱ卷文科数学真题含答案.docx

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高考全国Ⅱ卷文科数学真题含答案

绝密★启用前

2019年一般高等学校招生全国一致考试

文科数学

本试卷共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考据号码填写清楚，将条形码正确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题一定使用2B铅笔填涂；非选择题一定使用0.5毫米黑色笔迹的署名笔书写，字体工整、笔迹清

楚。

3．请依据题号次序在答题卡各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效；在底稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔划出，确立后一定用黑色笔迹的署名笔描黑。

5．保持卡面洁净，不要折叠，不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：

此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目

要求的．

1

．已知会合A={x|x

1}，B{x|x

2}，则A∩B=

A．（-1，+∞）

B．（-∞，2）

C．（-1，2）

D．

2

．设z=i（2+i），则z=

A．1+2i

B．-1+2i

C．1-2i

D．-1-2i

3

．已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|=

A．2B．2

C．52

D．50

4．生物实验室有5只兔子，此中只有

3只丈量过某项指标，若从这

5只兔子中随机拿出

3只，则恰有2

只丈量过该指标的概率为

2

3

A．

B．

3

5

2

1

C．

D．

5

5

5．在“一带一路”知识测试后，甲、乙、丙三人对成绩进行展望．

甲：

我的成绩比乙高．

乙：

丙的成绩比我和甲的都高．

丙：

我的成绩比乙高．

成绩宣布后，三人成绩互不同样且只有一个人展望正确，那么三人按成绩由高到低的序次为

A．甲、乙、丙

B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲

D．甲、丙、乙

6

．设

f（x）

为奇函数，且当

x

≥时，

f（x）=e

x

1

，则当

x

<0

时，f

x

）=

0

（

A．ex

1

B．ex

1

C．

ex

1

D．ex

1

7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条订交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

8．若x1=，x2=

是函数f（x）=sinx（

>0）两个相邻的极值点，则=

4

4

A．2

3

B．

2

C．1

1

D．

2

x2

y2

9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆

1的一个焦点，则p=

3p

p

A．2

B．3

C．4

D．8

10．曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为

A．xy

10

B．2xy210

C．2xy210

D．xy10

11．已知a∈（0，

π

α+1，则sinα=

），2sin2α=cos2

2

A．

1

B．

5

5

5

C．

3

D．25

3

x2

y2

5

OF为直径的圆与圆x2+y2

12．设F为双曲线C：

2

b

21（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以

a

=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A．2

B．

3

C．2

D．

5

二、填空题：

此题共

4小题，每题

5分，共

20分。

2x

3y

6

0，

13．若变量x，y知足拘束条件x

y3

0，则z=3x–y的最大值是___________.

y20，

14．我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，

有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的均匀正

点率的预计值为___________.

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.

16．中国有悠长的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但

南北朝期间的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图

1

）.半正多面体是由两种或两种以上的正

多边形围成的多面体．半正多面体表现了数学的对称美．图

2

是一个棱数为48的半正多面体，它的所

有极点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为

1．则该半正多面体共有________个面，其棱

长为_________．（此题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第

生都一定作答。

第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

17～21

题为必考题，每个试题考

如图，长方体

ABCD–A1B1C1D1的底面

ABCD

是正方形，点

E在棱

AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：

BE⊥平面

EB1C1；

（2）若

AE=A1E，AB=3，求四棱锥

E

BB1C1C

的体积．

18．（12

分）

已知

{an}

是各项均为正数的等比数列，

a1

2,a3

2a2

16.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bnlog2an，求数列{bn}的前n项和．

19．（12分）

某行业主管部门为认识本行业中小公司的生产状况，随机检查了

100个公司，获得这些公司第一季度

相关于前一年第一季度产值增加率

y的频数散布表．

y的分组

[0.20,0）

[0,0.20）

[0.20,0.40）

[0.40,0.60）

[0.60,0.80）

公司数

2

24

53

14

7

（1）分别预计这种公司中产值增加率不低于

40%的公司比率、产值负增加的公司比率；

（2）求这种公司产值增加率的均匀数与标准差的预计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精准到0.01）

附：

748.602.

20．（12分）

2

2

已知F1,F2是椭圆C:

x2

y2

1（a

b

0）的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

a

b

（1）若△POF2为等边三角形，求

C的离心率；

2

）假如存在点

P

PF1

PF2

，且

△F1PF2

的面积等于

16

，求b的值和a的取值范围．

（

，使得

21．（12分）

已知函数f（x）（x1）lnxx1．证明：

（1）f（x）存在独一的极值点；

（2）f（x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

假如多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点M（0,0）（00）在曲线C:

4sin上，直线l过点A（4,0）且与OM

垂直，垂足为P.

（1）当0=

时，求

0及l的极坐标方程；

3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23．[选修4-5：

不等式选讲]（10分）

已知

f（x）

|x

a|x

|x

2|（x

a）.

（1）当

a

1时，求不等式

f（x）

0的解集；

（2）若

x

（

1）时，

f（x）

0，求

a的取值范围

.

2019年一般高等学校招生全国一致考试

文科数学·参照答案

1．C

2．D

3．A

4．B

5．A

6．D

7．B

8．A

9．D

10．C

11．B

12．A

13

．9

14．0.98

15．

3π

1

16．26；2

4

17

．解：

（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE

平面ABB1A1，

故B1C1

BE．

又BEEC1，所以BE⊥平面EB1C1．

（2）由

（1）知∠BEB1=90

°.由题设知

Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以

AEB

A1EB1

45

，故

AE=AB=3，

AA1

2AE

6.

作EF

BB1，垂足为

F，则

EF⊥平面

BB1C1C，且

EF

AB

3．

所以，四棱锥

E

BB1C1C的体积

V

1

3

36

3

18．

18．解：

（1）设an的公比为q，由题设得

2q2

4q

16，即q2

2q

8

0．

解得

q

2（舍去）或q=4．

所以

an

的通项公式为an

2

4n1

22n1．

（2）由

（1）得bn

（2n

1）log22

2n1，所以数列

bn

的前n项和为13

L2n1n2．

19．解：

（1）依据产值增加率频数散布表得，所检查的

100个公司中产值增加率不低于

40%的公司频次为

14

7

0.21．

100

2

产值负增加的公司频次为

0.02．

100

用样本频次散布预计整体散布得这种公司中产值增加率不低于

40%的公司比率为

21%，产值负增加的

公司比率为2%．

（2）y

1（

0.10

2

0.10

24

0.30

53

0.50

14

0.70

7）0.30，

100

s2

1

5

yi

y

ni

2

100i1

1

（

0.40）2

2

（0.20）2

24

0253

0.202

14

0.402

7

100

=0.0296，

s

0.0296

0.02

74

0.17，

所以，这种公司产值增加率的均匀数与标准差的预计值分别为

30%，17%．

20．解：

（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在

△F1PF2中，F1PF2

90

，PF2

c，PF1

3c，

于是2a

PF1

PF2

（

31）c，故C的离心率是e

c

31.

a

1

y

y

（2）由题意可知，知足条件的点

P（x,y）存在．当且仅当

16，

1，

|y|2c

xc

xc

2

x2

y2

1，即c|y|

16，①

a2

b2

x2

y2

c2，②

x2

y2

1，③

a2

b2

2

2

2

2

b4

2162

，故b

4．

由②③及a

b

c

得y

c2，又由①知y

c2

2

由②③得x2

a2

c2

b2

，所以c2

b2，进而a2

b2

c2

2b2

32,故a4

2.

c

当b

4，a4

2时，存在知足条件的点

P．

所以b

4，a的取值范围为[4

2,

）．

21．解：

（1）f（x）的定义域为（

0，+

）.

f（x）

x1

1

lnx1

lnx.

x

1

x

由于y

lnx单一递加，y

单一递减，所以

f（x）单一递加，又

f

（1）

10，

1

ln4

1

x

f

（2）

0，故存在独一

x0

（1,2），使得fx0

0

.

ln2

2

2

又当x

x0时，f

（x）

0，f（x）单一递减；当

x

x0时，f（x）

0

，f（x）单一递加.

所以，f（x）存在独一的极值点.

（2）由

（1）知f

x0

f

（1）

2，又f

e2

e2

30，所以f（x）

0在x0,

内存在独一根

x.

x0

1得

1

由

1x0.

又f

1

1

1ln11

1

f（）

0，故

1

是f（x）

0在0,x0

的独一根.

综上，f（x）

0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

22．解：

（1）由于M

0,0

在C上，当0

时，

0

4sin

3

2

3.

3

由已知得|OP||OA|cos

3

2.

设Q（,）为l上除P的随意一点.在Rt△OPQ中，

cos

3

|OP|

2，

经查验，点P

（2,

）

在曲线

cos

2上．

3

3

所以，l的极坐标方程为

cos

2．

3

（2）设P（,

），在Rt△OAP中，|OP||OA|cos

4cos

即

4cos．

由于P在线段OM上，且AP

OM，故

的取值范围是

4

.

2

所以，

P点轨迹的极坐标方程为

4cos

42

.

23．解：

（1）当

a=1

时，

f（x）=|x

1|x+|x

2|（x

1）.

当x

1时，

f（x）

2（x

1）2

0

；当

x

1时，f（x）

0.

所以，不等式

f（x）

0的解集为

（

1）.

（2）由于

f（a）=0

，所以

a

1.

当a

1，

x

（

1）时，

f（x）=（a

x）x+（2

x）（x

a）=2（a

x）（x

1）<0.

所以，

a的取值范围是

[1,

）

．