尺规作图方法大全含练习试题.docx
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尺规作图方法大全含练习试题
尺规作图
【知识回顾】
1、尺规作图的定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图:
1、作一条线段等于已知线段;
2、作一个角等于已知角;
3、作已知线段的垂直平分线;
4、作已知角的角平分线;
5、过一点作已知直线的垂线;
(1)题目一:
作一条线段等于已知线段。
已知:
如图,线段a.
求作:
线段AB,使AB=a.
作法:
(1)作射线AP;
(2)在射线AP上截取AB=a.
则线段AB就是所求作的图形。
(2)题目二:
作已知线段的中点。
已知:
如图,线段MN.
求作:
点O,使MO=NO(即O是MN的中点).
作法:
(1)分别以M、N为圆心,大于
的相同线段为半径画弧,
两弧相交于P,Q;
(2)连接PQ交MN于O.
则点O就是所求作的MN的中点。
(3)题目三:
作已知角的角平分线。
已知:
如图,∠AOB,
求作:
射线OP,使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。
作法:
(1)以O为圆心,任意长度为半径画弧,
分别交OA,OB于M,N;
(2)分别以M、N为圆心,大于的线段长
为半径画弧,两弧交∠AOB内于P;
(3)作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
(4)题目四:
作一个角等于已知角。
已知:
如图,∠AOB。
求作:
∠A’O’B’,使A’O’B’=∠AOB
作法:
(1)作射线O’A’;
(2)以O为圆心,任意长度为半径画弧,交OA于M,交OB于N;
(3)以O’为圆心,以OM的长为半径画弧,交O’A’于M’;
(4)以M’为圆心,以MN的长为半径画弧,交前弧于N’;
(5)连接O’N’并延长到B’。
则∠A’O’B’就是所求作的角。
(5)题目五:
经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知:
如图,P是直线AB上一点。
求作:
直线CD,是CD经过点P,且CD⊥AB。
作法:
(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N;
(2)分别以M、N为圆心,大于
的长为半径画弧,两弧交于点Q;
(3)过D、Q作直线CD。
则直线CD是求作的直线。
(6)题目六:
经过直线外一点作已知直线的垂线
已知:
如图,直线AB及外一点P。
求作:
直线CD,使CD经过点P,
且CD⊥AB。
作法:
(1)以P为圆心,任意长为半径画弧,交AB于M、N;
(2)分别以M、N圆心,大于
长度的一半为半径画弧,两弧交于点Q;
(3)过P、Q作直线CD。
则直线CD就是所求作的直线。
(5)题目七:
已知三边作三角形。
已知:
如图,线段a,b,c.
求作:
△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
作法:
(1)作线段AB=c;
(2)以A为圆心,以b为半径作弧,
以B为圆心,以a为半径作弧与
前弧相交于C;
(3)连接AC,BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目八:
已知两边及夹角作三角形。
已知:
如图,线段m,n,∠
.
求作:
△ABC,使∠A=∠
,AB=m,AC=n.
作法:
(1)作∠A=∠
;
(2)在AB上截取AB=m,AC=n;
(3)连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目九:
已知两角及夹边作三角形。
已知:
如图,∠
,∠
,线段m.
求作:
△ABC,使∠A=∠
,∠B=∠
AB=m.
作法:
(1)作线段AB=m;
(2)在AB的同旁
作∠A=∠
,作∠B=∠
,
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形(三角形)。
2、三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划建一个加油站,要求到三条公路的距离相等,问满足要求的加油站地址有几种情况?
用尺规作图作出所有可能的加油站地址。
3、过点C作一条线平行于AB。
4、如图,平行四边形纸条ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点。
张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折,得到一个V字形图案。
请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE;(用尺规作图,不写画法,保留作图痕迹)。
5、如图,已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形,∠AOB画在方格纸上,请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB的平分线。
6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案,图中AB为直径,O为圆心(要求用尺规作图,保留作图痕迹)。
7、已知线段AB和CD,如下图,求作一线段,使它的长度等于AB+2CD.
8、如图,已知∠A、∠B,求作一个角,使它等于∠A-∠B.
9、如图,画一个等腰△ABC,使得底边BC=
,它的高AD=
10、如图,有A,B,C三个村庄,现要修建一所希望小学,使三个村庄到学校的距离相等,学校的地址应选在什么地方?
请你在图中画出学校的位置并说明理由(保留作图痕迹).
11、如图,A、B两村在一条小河的的同一侧,要在河边建一水厂向两村供水.
(1)若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置?
(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省,厂址应选在哪个位置?
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出,并保留作图痕迹.
.B
A.
12、如图,A为∠MON内一点,试在OM、ON边上分别作出一点B、C,使△ABC的周长最小.
13、如图,已知两点P、Q在锐角∠AOB内,分别在OA、OB上求点M、N,使PM+MN+NQ最短.
18.如图所示,EFGH是一矩形的台球台面,有黑白两球分别位于A、B两点位置上,试问:
怎样撞击黑球A,使黑球先碰撞台边EF反弹后再击中白球B?
2019年各区二模尺规作图分类
类型1:
作已知直线的垂线平行线
(2019朝阳二模)19.下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知:
直线l及直线l上一点P.
求作:
直线PQ,使得PQ⊥l.
作法:
如图,
在直线l上取一点A(不与点P重合),分别以点P,A为圆心,AP长为半径画弧,两弧在直线l的上方相交于点B;
作射线AB,以点B为圆心,AP长为半径画弧,交AB的延长线于点Q;
作直线PQ.
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
连接BP,
∵_____=_____=_____=AP,
∴点A,P,Q在以点B为圆心,AP长为半径的圆上.
∴∠APQ=90°(_____).(填写推理的依据)
即PQ⊥l.
答案:
19.
(1)图略.
(2)BP,BA,BQ,直径所对的圆周角是直角.
(2019平谷二模)19.下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知:
如图1,直线l和l外一点P.
求作:
直线l的垂线,使它经过点P.
作法:
如图2,
(1)在直线l上任取一点A;
(2)连接AP,以点P为圆心,AP长为半径作弧,交直线l于点B(点A,B不重合);
(3)连接BP,作∠APB的角平分线,交AB于点H;
(4)作直线PH,交直线l于点H.
所以直线PH就是所求作的垂线.
根据小元设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:
∵PH平分∠APB,
∴∠APH=.
∵PA=,
∴PH⊥直线l于H.()(填推理的依据)
答案:
19.
(1)如图;2
(2)证明:
∵PH平分∠APB,
∴∠APH=∠BPH.3
∵PA=PB,4
∴PH⊥直线l于H.(等腰三角形三线合一)5
(2019顺义二模)19.下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.
已知:
△ABC.
求作:
BC边上的高线.
作法:
如图,
①分别以A,B为圆心,大于
长为半径画弧,两弧交于点D,E;
②作直线DE,与AB交于点F,以点F为圆心,FA长为半径画圆,交CB的延长线于点G;
③连接AG.
所以线段AG就是所求作的BC边上的高线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面证明.
证明:
连接DA,DB,EA,EB,
∵DA=DB,
∴点D在线段AB的垂直平分线上()(填推理的依据).
∵=,
∴点E在线段AB的垂直平分线上.
∴DE是线段AB的垂直平分线.
∴FA=FB.
∴AB是⊙F的直径.
∴∠AGB=90°()(填推理的依据).
∴AG⊥BC
即AG就是BC边上的高线.
答案:
19.解:
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
EA=EB
直径所对的圆周角是直角
(2019昌平二模)19.在数学课上,老师提出如下问题:
如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”.
小明的作法如下:
在直线l上取一点A,以点A为圆心,AP长为半径作弧,交直线l于点B;
分别以P,B为圆心,以AP长为半径作弧,两弧相交于点Q(与点A不重合);
作直线PQ.
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小明的作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
∵AB=AP=_________=__________.
∴四边形ABQP是菱形(______________________________)(填推理的依据).
∴PQ∥l.
答案:
(2)BQ,PQ四条边相等的四边形是菱形
类型2:
作特殊的四边形
(2019东城二模)17.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.
已知:
四边形ABCD是平行四边形.
求作:
菱形ABEF(点E在BC上,点F在AD上).
作法:
①以A为圆心,AB长为半径作弧,交AD于点F;
②以B为圆心,AB长为半径作弧,交BC于点E;
③连接EF.
所以四边形ABEF为所求作的菱形.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
∵AF=AB,BE=AB,
∴________=________.
在□ABCD中,AD∥BC.
即AF∥BE.
∴四边形ABEF为平行四边形.
∵AF=AB,
∴四边形ABEF为菱形(_________________________)(填推理的依据).
答案:
17.AF,BE;一组邻边相等的平行四边形是菱形
类型3:
作特殊的三角形
(2019丰台二模)17.下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程.
已知:
直线l.
求作:
△ABC,使得∠ACB=90°,∠ABC=30°.
作法:
如图,
①在直线l上任取两点O,A;
②以点O为圆心,OA长为半径画弧,交直线l于点B;
③以点A为圆心,AO长为半径画弧,交
于点C;
④连接AC,BC.
所以△ABC就是所求作的三角形.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:
在⊙O中,AB为直径,
∴∠ACB=90°(①).(填推理的依据)
连接OC,
∵OA=OC=AC,
∴∠CAB=60°.
∴∠ABC=30°(②).(填推理的依据)
答案:
17.
(1)略;
(2)①直径所对的圆周角是直角;
②直角三角形两个锐角互余.
(2019门头沟二模)20.下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程.
已知:
如图1,线段a和线段b.
求作:
△ABC,使得AB=AC,BC=a,BC边上的高为b.
作法:
如图2,
①作射线BM,并在射线BM上截取BC=a;
②作线段BC的垂直平分线PQ,PQ交BC于D;
③以D为圆心,b为半径作圆,交PQ于A;
④连接AB和AC.
则△ABC就是所求作的图形.
根据上述作图过程,回答问题:
(1)用直尺和圆规,补全图2中的图形;
(2)完成下面的证明:
证明:
由作图可知BC=a,AD=b.
∵PQ为线段BC的垂直平分线,点A在PQ上,
∴AB=AC( )(填依据).
又∵AD在线段BC的垂直平分线PQ上,
∴AD⊥BC.
∴AD为BC边上的高,且AD=b.
答案:
(1)尺规作图正确;
(2)填空正确.
(2019怀柔二模)16.下面是一位同学的一道尺规作图题的过程.
已知:
线段a,b,c.
求作:
线段
,使得a:
b=c:
x.x.。
他的作法如下:
①以点O为端点画射线OM,ON;
②在OM上依次截取OA=a,AB=b;
③在ON上截取OC=c;
④联结AC,过点B作BD∥AC,交ON于点D.
所以:
线段CD就是所求的线段x.
这位同学作图的依据是.
答案:
16.平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得对应线段成比例.
类型4:
作已知角的角的等角倍角半角
(2019石景山二模)17.下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.
已知:
∠AOB.
求作:
∠APC,使得∠APC=2∠AOB.
作法:
如图,
在射线OB上任取一点C;
②作线段OC的垂直平分线,
交OA于点P,交OB于点D;
连接PC;
所以∠APC即为所求作的角.
根据小华设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明(说明:
括号里填写推理的依据).
证明:
∵DP是线段OC的垂直平分线,
∴OP=().
∴∠O=∠PCO.
∵∠APC=∠O+∠PCO().
∴∠APC=2∠AOB.
答案:
17.解:
(1)补全的图形如图所示:
(2)PC;线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
其他:
(2019西城二模)19.下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的
尺规作图过程.
已知:
平行四边形ABCD.
求作:
点M,使点M为边AD的中点.
作法:
如图,
①作射线BA;
②以点A为圆心,CD长为半径画弧,
交BA的延长线于点E;
③连接EC交AD于点M.
所以点M就是所求作的点.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:
连接AC,ED.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥CD.
∵AE=__________,
∴四边形EACD是平行四边形(__________)(填推理的依据).
∴AM=MD(__________)(填推理的依据).
∴点M为所求作的边AD的中点.
答案:
19.解:
(1)补全的图形如图所示;………………2分
(2)CD,
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,
平行四边形的对角线互相平分.……5分
(2019海淀二模)19.下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程.
已知:
在△ABC中,∠C=90°.
求作:
△ABC的中位线DE,使点D在AB上,点E在AC上.
作法:
如图,
①分别以A,C为圆心,大于
长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;
②作直线PQ,与AB交于点D,与AC交于点E.
所以线段DE就是所求作的中位线.
根据小宇设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
连接PA,PC,QA,QC,DC,
∵PA=PC,QA=_________,
∴PQ是AC的垂直平分线(________)(填推理的依据).
∴E为AC中点,AD=DC.
∴∠DAC=∠DCA,
又在Rt△ABC中,有∠BAC+∠ABC=90°,∠DCA+∠DCB=90°.
∴∠ABC=∠DCB(________)(填推理的依据).
∴DB=DC.
∴AD=BD=DC.
∴D为AB中点.
∴DE是△ABC的中位线.
答案
:
(1)补全的图形如图所示:
(作等弧交于两点P,Q点1分,直线PQ1分)
(2)QC
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
等角的余角相等
(2019房山二模)17.阅读下面材料:
小明遇到一个问题:
如图,∠MON,点A在射线OM上,点B在∠MON内部,用直尺和圆规作点
,使点
同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法):
a.点P到
,
两点的距离相等;
b.点P到∠MON的两边的距离相等.
小明的作法是:
1连接AB,作线段AB的垂直平分线交AB于E,交ON于F;
2作∠MON的平分线交EF于点P.
所以点P即为所求.
根据小明的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;
(2)证明:
∵EF垂直平分线段AB,点P在直线EF上,
∴PA=.
∵OP平分∠MON,
∴点P到∠MON的两边的距离相等()(填推理的依据).
所以点P即为所求.
答案:
(1)
(2)PB角平分线上的点到角两边的距离相等
尺规作图全搞定
尺规作图是全国中考的高频考点,看似简单,但考法新颖多变,不仅要掌握基本的尺规作图的方法,还要灵活运用几何图形的性质.
“七嘴八舌说”考情
陕西:
我们的考查题型均为解答题,题目不会明确说明作图方式,需要将题目信息转化一次,得出要作的基本图形.考查形式主要有:
①过一点作一条直线平分三角形面积;②找一点到两直线距离相等;③过一点作一条直线分三角形为两个相似三角形;④在正方形中作已知三角形的相似三角形.考查内容有:
①过一点作已知直线的垂线;②作一个角等于已知角;③作线段的垂直平分线;④作角平分线.
河北:
尺规作图为近8年的必考点,考查方式有:
①根据尺规作图及要求,判断作图顺序;②根据尺规作图,判断所给结论正确的是;③根据尺规作图痕迹补全已知和求证;④求符合要求的作图痕迹;⑤根据尺规作图判断两个人的作法正确的是;
⑥判断作图痕迹表示的作法;⑦按题目要求作图形,题型以选择题为主.考查内容有:
①作角的平分线;②作线段的垂直平分线;③作平行四边形、矩形、正方形;
④作平行线.
山西:
我们8年4考,18年在填空题中考查,给出作图步骤求线段长,15年之前在解答题中考查,第
(1)问主要间接考查五种基本尺规作图,第
(2)问主要考查其相关证明与计算.
安徽:
我们在18年第1次考查,且与圆的相关证明及计算结合考查角平分线的作法.
河南:
我们在选择题和填空题中考查,题目会给出作图的过程,通过判断做的是什么,再根据其性质进行相关计算.涉及的作图内容有:
①作已知角的平分线;②作线段的垂直平分线.
云南:
我们曲靖还会根据尺规作图的过程判断相关结论的正确性;昆明18年与反比例函数结合考查求k值.
说来说去还得练
类型一作一条线段等于已知线段
1.作射线OP;
2.在OP上截取OA=a,OA即为所求线段
1.
已知线段a,b和m,求作三角形ABC,使BC=2a,AB=b,BC边上的中线
AD=m.(尺规作图,保留痕迹)
第1题图解:
如解图所示,△ABC即为所求;
第1题解图
【作法提示】首先画射线BM,再在BM上依次截取BD=DC=a,然后以B为顶点,b长为半径画弧,再以D为顶点,m长为半径画弧,两弧交点就是A点位置,再连接AB、AC即可.
类型二作一个角等于已知角
图示
作法步骤
性质
1.在∠α上以O为圆心,任意长为半
径作弧,分别交∠α的两边于点P、Q;
2.作射线O¢A;
3.以O′为圆心,OP长为半α径作弧,
交O'A于点M;
OP=OQ=O¢M
=O¢N
4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,
交步骤3所作的弧于点N;
5.过点N作射线O′B,∠AO'B即为所
求角
2.“经过已知角一边上的一点,作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下:
此作图的依据中不含有()
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.全等三角形的对应角相等
C.两直线平行同位角相等
D.两点确定一条直线
C【解析】由作图可知,本题通过作CF=OD,CG=OE,FG=DE得到△CFG≌△ODE
(SSS),从而得到∠GCF=∠AOB,而确定射线CG是运用两点确定一条直线为依据,故不含有的依据是C.
类型三作一个角的平分线
图示
作法步骤
性质
1.以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于点N、M;
2.分别以点M、N为圆心,以大于1MN
2
长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点P;
3.作射线OP,OP即为所求角平分线
连接MP、NP、MN
1.OM=ON
2.∠MOP=
∠NOP
3.△MON为等腰三角形
4.点M、N关于直线OP对称5.△MOP≌△NOP
3.
如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠ABC的平分线BD交AC于点D.
(1)作∠BAC的平分线AF分别交BD、BC于点E、G,交⊙O于点F;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)
在
(1)的条件下,若EG=FG=1,求AE的长.
第3题图
解:
(1)如解图所示,射线AF即为所求;
【作法提示】以点A为圆心,适当长度为半径画弧,交边AB、AC于两点;分别以这两点为圆心,适当长度为半径画弧,两弧交于点M;连接AM并延长交⊙O于点F,射线AF即为所求.
第3题解图
(2)∵∠BEF是△ABE的外角,AG、BD分别是∠BAC、∠ABC的平分线,
∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=∠CAF+∠CBD=∠CBF+∠CBD=∠EBF
∴BF=EF=EG+FG=2,
又∵∠FBG=∠FAB,∠BFG=∠AFB,
∴△BGF∽△ABF.
∴BF=GF,即
2=1,解得AF=4.
AFBFAF2
∴AE=AF-EF=2.
类型四作一条线段的垂直平分线
图示
作法步骤
性质
1.分别以点A、B为圆心,以大于
1AB长为半径,在AB两侧作弧,
2
分别交于
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