余弦函数的定义域和值域高中数学知识点讲解含答案.docx
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余弦函数的定义域和值域高中数学知识点讲解含答案
余弦函数的定义域和值域(北京习题集)(教师版)
一.选择题(共2小题)
11
1.(2009•丰台区二模)函数f(x)(sinxcosx)|sinxcosx|的值域是( )
22
2
A.,B.[,1]C.D.[1,]
2222
[11]
2[1,1]
2.(2008•怀柔区模拟)已知函数f(x)3cosx1,则f(x)的取值范围是( )
A.[1,2]B.[1,2]C.[2,4]D.[2,4]
二.填空题(共5小题)
3.(2013秋•宣武区校级月考)y23cos(x)的最大值为 ,此时x .
4
1
4.(2011秋•通州区校级期末)已知函数f(x)cosx,则f(x)的定义域为 .
2
5.(2010•朝阳区二模)函数的值域是 .
y2cos2x
7
6.(2009春•海淀区期中)数列{}的通项公式acos,nN*,当n 时,有最小值.
aa
nnn
2n
7.(2006春•北京校级期末)函数ycos2x4cosx,[,]的值域是 .
x
32
三.解答题(共1小题)
6cosx5cosx1
42
8.(2003•北京)已知函数f(x),求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.
cos2x
第1页(共5页)
余弦函数的定义域和值域(北京习题集)(教师版)
参考答案与试题解析
一.选择题(共2小题)
11
1.(2009•丰台区二模)函数f(x)(sinxcosx)|sinxcosx|的值域是( )
22
A.,B.[,1]C.D.[1,]
[11]
2[1,1]2
2222
【分析】根据绝对值内式子的符号分sinx…cosx和cosxsinx两种情况,化简解析式并用分段函数表示,在根据函
数图象求出每一部分的值域,最后在和在一起.
11
sinxsinx…cosx
【解答】解:
f(x)(sinxcosx)|sinxcosx|,
22
cosxcosxsinx
在坐标系中画出一个周期内ysinx和ycosx的图象:
2
由图得,当时,,;
sinx…cosxsinx[1]
2
2
当cosxsinx时,cosx(,1],
2
2
[,1]
原函数的值域是.
2
故选:
B.
【点评】本题考查了由正弦(余弦)函数的图象求其它函数的值域,此题需要化简函数解析式,根据分段函数求值
域的方法,即求出每个范围内的值域,最后再并在一起.
2.(2008•怀柔区模拟)已知函数f(x)3cosx1,则f(x)的取值范围是( )
A.,B.,C.,D.,
[12][12][24][24]
【分析】令,则,根据单调性判断最大最小值,进而确定的取值范围.
cosxt(t[1,1])f(x)3t1f(x)
【解答】解:
令,
cosxt(t[1,1])
则,
f(x)3t1
当t1时,fmax4;
第2页(共5页)
当1时,.
tfmin2
所以f(x)的取值范围为:
[2,4]
故选:
C.
【点评】本题考查了余弦函数的值域以及一次函数的单调性,属于基础题型.
二.填空题(共5小题)
3.(2013秋•宣武区校级月考)y23cos(x)的最大值为 5 ,此时x .
4
【分析】根据余弦函数的最值,直接求出y23cos(x)的最大值,以及取得最值时的x的值.
4
【解答】解:
Qycos(x)的值域为[1,1],所以y23cos(x)的最大值为5,此时cos(x)1,
444
x2k,kZ,
4
3
x2k,(kZ).
4
3
故答案为:
5;2k,(kZ)
4
【点评】本题考查三角函数的最值,利用三角函数的有界性,即基本函数的最值,是求三角函数最值的常用方法.
1
4.(2011秋•通州区校级期末)已知函数f(x)cosx,则f(x)的定义域为 {x|2k„x„2k,kZ} .
233
【分析】由函数()cos,知x…,解得2k„x„2k,kZ,由此能求出f(x)的定义
fxx1cos10
2233
域.
1
【解答】解:
Q函数f(x)cosx,
2
cos0x…
x1…cos1
,即,x1…cos1
22
解得2k„x„2k,kZ,
33
f(x)的定义域为:
{x|2k„x„2k,kZ},
33
故答案:
{x|2k„x„2k,kZ}.
33
【点评】本题考查余弦函数的定义域和值域,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意余弦函数的性质的灵
活运用.
5.(2010•朝阳区二模)函数2cos的值域是 , .
y2x[02]
【分析】由余弦函数的性质可知1„cosx„1,从而有0„cos2x„1,从而可求函数的值域
【解答】解:
Q1„cosx„1
„2„„„
0cosx10y2
第3页(共5页)
故答案为:
[0,2]
【点评】本题主要考查了函数的值域的求解,解题的关键是熟练应用余弦函数的性质,属于基础试题
7
6.(2009春•海淀区期中)数列的通项公式acos,nN*,当n 4 时,a有最小值.
{a}
nnn
2n
7
【分析】由数列的通项公式a,nN*,分别令n1,2,3,4,5,6,7,结合三角函数的性质求出
{a}cos
nn
2n
an…8nN*7
7
aaaacos0n4
,a,a,a,,,,再由当,时,是锐角,,能够求出当时,
1234567n
2n2n
a
n
有最小值.
7
【解答】解:
Q数列{}的通项公式acos,nN*,
a
nn
2n
a
1
7
coscos(4)cos()cos0
2222
,
a
2
72
coscos
(2)cos()cos
44442
,
a
3
73
coscos()cos
6662
,
a
4
1cos
7422
coscos()cos
88822
.
733
acoscos()coscosa
54
1010108
.
7553
acoscos()coscosa
65
12121210
,
a
7cos0
2
.
n…nN*7
7
当8,时,是锐角,acos0,
n
2n2n
n4
当时,a有最小值.
n
故答案为:
4.
【点评】本题以数列为载体,考查余弦函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
7.(2006春•北京校级期末)函数ycos2x4cosx,x[,]的值域是 [3,1] .
32
【分析】根据二倍角的余弦函数公式化简函数解析式,得到关于cosx的二次函数,根据二次函数开口向上且在对称
轴的左边函数为减函数,利用cosx在x[,]的值域即可求出y的最大值和最小值得到函数的值域.
32
ycos2x4cosx2cos2x4cosx12(cosx1)23[]cosx[01]
32
【解答】解:
,由于,x,,故,,
而当时,为减函数,所以当时,的最小值为;
cosx1ycosx1y2(11)233
当时,的最大值为.
cosx0y2(01)231
第4页(共5页)
所以函数的值域是,.
y[31]
故答案为:
,.
[31]
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值,会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值
域.做题时注意余弦函数的值域.
三.解答题(共1小题)
6cosx5cosx1
42
8.(2003•北京)已知函数f(x),求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.
cos2x
【分析】由分母和余弦函数的性质求出函数的定义域,再求出的式子,由奇(偶函数的定义判断
cos2x0f(x))
函数的奇偶性,由二倍角公式对解析式化简后,由函数的定义域以及余弦函数的值域求出函数的值域.
k
cos2x02x
242
【解答】解:
由得,xk,解得,(kz),
k
函数的定义域为xx,kz};
42
f(x){|
Qf(x)
的定义域关于原点对称,
6cos(x)5cos(x)16cosx5cosx1
4242
且f(x)f(x),
cos(2x)cos2x
f(x)
是偶函数.
k
又Q当x,kz时,
42
f(x)
6cosx5cosx1
42
cos2x
(2cosx1)(3cosx1)
22
2
3cosx1
,cos2x
{y|1„y112}
f(x)的值域为或y„.
22
【点评】本小题主要考查余弦函数的性质和倍角公式的应用,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.
第5页(共5页)
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