微分在近似计算与误差估计中的应用.docx
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微分在近似计算与误差估计中的应用
微分在近似计算与误差估计中的应用
一、预备知识
1.利用一元函数的微分进行近似计算和误差估计
若一元函数y=f(x)在点x0可微,则
当|Δx|很小时,有
f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx
要计算f(x)的值,可找一个邻近于x的x0,使f(x0)与f′(x0)易于计算,然后用x代换
(1)式中的x0+Δx,求得f(x)的近似值为f(x0)+f′(x0)Δx,其中Δx=x-x0.
2.利用全微分进行近似计算与误差估计
若二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,则
Δz=dz+o(ρ)
=f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy+0(ρ)
Δz≈dz=f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy
或
f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)Δx+f′x(x0,y0)Δy(3)
若三元函数u=f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)可微,则
Δu≈du=f′x(x0,y0,z0)Δx+f′y(x0,y0,z0)Δy
+f′x(x0,y0,z0)Δz
或
f(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)≈f(x0,y0,z0)+
3.绝对误差、相对误差
在实际工作中,某个量的精确值往往是无法知道的,于是绝对误差和相对误差也就无法求得.但是根据测量仪器的精度等因素,有时能够确定误差在某一个范围内,如果某个量的精确值是A,测得它的近似值是a,又知道它的误差不超过δA,即
|A-a|≤δA
二、应用例题
例1求sin29°的近似值.
例2证明:
近似公式
利用上面公式,则
例3为了计算出球的体积准确到1%,问度量球半径R时,所产生的相对误差应不超过多少?
所以度量球半径R时,所产生的相对误差不得超过0.33%.
例4证明:
根据正切对数表所求得的角度,比用具有同样多位小数正弦对数表求得的角度更为精确.
证明设y1(x)=lntanx,y2(x)=lnsinx,则
若对数表具有n位,则
一般来说,根据正切对数表所求得的角度,比用具有同样多位小数的正弦对数表求得的角度更为精确.
例5求1.083.96的近似值.
解设f(x,y)=xy,令x0=1,y0=4,Δx=0.08,Δy=-0.04,由公式(3),有
1.083.96=f(x0+Δx,y0+Δy)
≈f(1,4)+f′x(1,4)×0.08+f′y(1,4)×(-0.04)
=1+4×0.08+1×ln1×(-0.04)
=1+0.32=1.32
例6现测得某三角形两边及其夹角分别为a=12.50,b=8.30,C=30°.测量a,b的误差为±0.01,C的误差为±0.1°,求用公式
计算三角形面积时,所产生的绝对误差与相对误差.
解依题意测量a,b,C绝对误差限分别为|Δa|=0.01,|Δb|
由公式(4),有
将各数据代入上式得S的绝对误差为|ΔS|≈0.13.及
从而,S的相对误差为
求方程的近似解,可分两步进行:
第一步是确定根的大致范围,即确定一个区间[a,b],使所求的根是位于这个区间内的唯一实根,称为根的隔离,并称此区间[a,b]为隔离区间.
第二步是以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值,逐步提高根的近似值的精确度,直至得到满足精确度要求的近似解为止.
1.二分法
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0,且方程f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根ξ,于是[a,b]即为这个根的一个隔离区间.
例7用二分法求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值,精确到10-3(即误差不超过10-3).
解设f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4,x∈R
显然,f(x)在R上连续,可导,且
f′(x)=3x2+2.2x+0.9
上严格递增,方程f(x)=0仅有一个实根.
由f(0)=-1.4<0与f
(1)=1.6>0知,方程f(x)=0的根在[0,1]内,取a=0,b=1,则[0,1]即是一个隔离区间.
经计算,有
ξ1=0.5,f(ξ1)=-0.55<0,取a1=0.5,b1=1;
ξ2=0.75,f(ξ2)=0.32>0,取a2=0.5,b2=0.75;
ξ3=0.625,f(ξ3)=-0.16<0,取a3=0.625,b3=0.75;
ξ4=0.687,f(ξ4)=0.062>0,取a4=0.625,b4=0.687;
ξ5=0.656,f(ξ5)=-0.054<0,取a5=0.656,b5=0.687;
ξ6=0.672,f(ξ6)=0.005>0,取a6=0.656,b6=0.672;
ξ7=0.664,f(ξ7)=-0.025<0,取a7=0.664,b7=0.672;
ξ8=0.668,f(ξ8)=-0.010<0,取a8=0.668,b8=0.672;
ξ9=0.672,f(ξ9)=-0.002<0,取a9=0.670,b9=0.672;
ξ10=0.671,f(ξ10)=0.001>0,取a10=0.670,b10=0.671.
于是,0.670<ξ<0.671.
要用0.670作为根的不足近似值,或用0.671作为根过剩近似值,其误差都小于
10-3.
设f(x)在[a,b]上存在二阶导数,f(a)·f(b)<0,且f′(x)与f″(x)在[a,b]上保持定号,则方程f(x)=0在(a,b)内有且仅有一个实根ξ.[a,b]即为根的一个隔离区间,由f′(x)与f″(x)的正、负号之间有不同的组合,曲线y=f(x)在[a,b]上图形
只有如图所示的四种不同的情形.
2.弦位法
标作为方程根的近似值,这种方法称为弦位法.如果f′(x)与f″(x)同号,令x0=a,以点A(x0,f(x0))为已知点的弦AB方程为
令y=0,求得这弦与x轴的交点横坐标x1是
如果f′(x)与f″(x)异号,令x0=b,用同样方法,求得弦与x轴的交点横坐标x1是
由图可见,弦AB与x轴的交点的横坐标x1比a(情形(a),(d))或比b(情形(b),(c))更接近方程根ξ.用同样方法,从新区间[x1,b]或[a,x1)出发,可得比x1更接近ξ的
x2,如此继续下去,一般地,从区间[xn-1,b]或[a,xn-1]出发,得根的近似值为
当n→∞时,xn→ξ,其中满足(3)近似根数列,有
a<x1<x2<…<xn<…<ξ,
满足(4)式的近似根数列,有
ξ<…<xn<xn-1<…<x2<x1<b.
在区间[xn,ξ]或[ξ,xn]上应用拉格朗日定理,有
f(xn)=f(xn)-f(ξ)=(xn-ξ)f′(c)(在xn与ξ构成区间内)
这样,由(5)式就可判定近似根xn与ξ近似程度.
例8用弦切法求方程x3-2x2-4x-7=0的实根的近似值,精确到10-2.
f′(x)=3x3-4x-4>0,
令x1=3.52,由
(1)式,有
同法可得
显然f(xi)<0,i=1,2,3,所以x0<x1<x2<x3<ξ.
由误差估计公式,有
于是,以3.63作为根的近似值,其误差小于10-2.
例9用弦切法求方程x-0.1sinx-2=0的实根近似值,精确到10-3.
解f(x)=x-0.1sinx-2,x∈R
f′(x)=1-0.1cosx>0
由f
(2)=-0.1sin2=-0.1×0.9093=-0.0904<0,
f(2.1)=0.1×(1-sin2.1)=0.1×0.1368=0.00137>0,
f″(x)=-0.1sinx>0
与f′(x)同号,令x1=2,由
(1)式,有
从而f(x1)=0.0868-0.1sin2.0868
≈-0.0002<0
于是,方程的根ξ∈(2.0868,2.0870).其误差不超过10-3.
3.切线法
如图,用曲线弧一端的切线来代替曲线弧,从而求出方程实根的近似值,这种方法称为切线法.在曲线弧的端点纵坐标与f″(x)同号的曲线端点处作曲线的切线,如图,情形(a),(d)作点B处(情形(b),(c)作点A处)的曲线切线.令x0=b(x0=a),则点
B(x0,f(x0)(A(x0,f(x0))处曲线切线方程为
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
令y=0,求得这切线与x轴交点横坐标x1是
由图可见,端点B处(A处)的曲线切线与x轴交点的横坐标x1比b(情形(a),(d))或a(情形(b),(c))更接近方程根ξ.
再在点(x1,f(x1)作切线,可得根的近似值x2,如此继续下去,一般地,在点
(xn-1f(xn-1)作切线,得根的近似值为
例10用切线法求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值,精确到10-3.
f′(x)=3x2+2.2x+0.9>0
f″(x)=6x+2.2>0.
由f(0)<0,f
(1)>0,则f″(x)与f
(1)同号,令x0=1,由(6)式,有
同法可得
出现此种情形,不能再继续算下去.显然,f(xi)(i=1,2,…)与f″(x)同号,即f(0.671)>0,经计算知f(0.670)<0,于是,有
0.670<ξ<0.671
以0.670或0.671作为根的近似值,其误差都小于10-3.
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