数学必修2直线与方程典型例题.docx
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数学必修2直线与方程典型例题
第三章直线与方程
【典型例题】
题型一求直线的倾斜角与斜率
设直线I斜率为k且1 拓展一三点共线问题 例已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值. 例已知三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0))在一条直线上,则-- ab 拓展二与参数有关问题 例已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线I与线段AB始终有公共点,求直线I的斜率k的取值范围• 变式训练: 已知A(2,3),B(3,2)两点,直线I过定点P(1,1)且与线段AB相交,求直线I的斜率k的取值范围• / A 拓展三利用斜率求最值 例已知实数x、y满足2xy8,当2 x 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1已知直线li经过点M(-3,0)、N(-15,-6),12经过点R(-2,-)、S(0, 2 5),试判断^与12是否平行? 2 变式训练: 经过点P(2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,贝Um的值是 (). A.4B.1C.1或3D.1或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1),C(6,3),其垂心为H(3,2),求顶点A的坐标. 变式训练: (1)h的倾斜角为45°12经过点P(-2,-1)、Q(3,-6),问h与12是否垂直? (2)直线11,12的斜率是方程x23x10的两根,则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B(a-2,-3),直线S经过点C(2,3)、D(-1,a-2) (1)如果I1//I2,则求a的值; (2)如果11丄12,则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,222)、B(2,2)、C(0,22..2)、D(4,2),试判断四边 形ABCD的形状. 变式训练: 已知A(1,1),B(2,2),C(3,-3),求点D,使直线CD丄AB,且CB //AD. 探点一数形结合思想 例5已知过原点0的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y 轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点. (1)证明: 点C、D和原点0在同一直线上. (2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标. 探点二分类讨论思想 例6ABC的顶点A(5,1),B(1,1),C(2,m),若ABC为直角三角形,求m的值. 3.2直线的方程 3.2.1直线的点斜式方程 【典型例题】 题型一求直线的方程 (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(3,1), 例1写出下列点斜式直线方程: 倾斜角是30°. 例2倾斜角是135°,在y轴上的截距是3的直线方程是 变式训练: 1.已知直线I过点P(3,4),它的倾斜角是直线yx1的两倍,则直线I的方程为 2.已知直线I在y轴上的截距为一3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线I的 方程. 3•将直线yx731绕它上面一点(1,丽)沿逆时针方向旋转15°得到的直线方程 题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例3已知直线h的方程为y2x3,l2的方程为y4x2,直线l与li平行且与* 在y轴上的截距相同,求直线I的方程。 探究一直线恒过定点或者象限问题 例4.已知直线ykx3k1. (1)求直线恒经过的定点; (2)当3x3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围 探究二直线平移 例5已知直线I: y=2x-3,将直线I向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位后得到的 直线方程为 322直线的两点式方程 【知识点归纳】 1•直线的两点式方程: 2•直线的截距式方程: 【典型例题】 题型一求直线方程 例1已知△ABC顶点为A(2,8),B(4,0),C(6,0),求过点B且将△ABC面积平分的直线方程 变式训练: 1•已知点A(1,2)、B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是(). A.4x2y5B.4x2y5C.x2y5D.x2y5 2•已知2x13%4,2x23y24,则过点A(x「yj,B(X2,y? )的直线l的方程是() A.2x3y4B.2x3y0C.3x2y4D.3x2y0 例2求过点P(3,2),并且在两轴上的截距相等的直线方程 变式训练: 已知直线l过点(3,-1),且与两轴围成一个等腰直角三角形,则I的方程为 题型二直线方程的应用 例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李费用y(元)是行李重量x(千克)的一次函数,其图象如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式,并说明自变量x的取值范围; (2)如果某旅客携带了75千克的行李,则应当购买多少元行李票? x(千克) 探究一直线与坐标轴围成的周长及面积 例4已知直线I过点(2,3),且与两坐标轴构成面积为4的三角形,求直线I的方程. 探究二有关光的反射 例5光线从点A(-3,4)发出,经过x轴反射,再经过y轴反射,光线经过点B(-2, 6),求射入y轴后的反射线的方程• 变式训练: 已知点A(3,8)、B(2,2),点P是x轴上的点,求当Ap|PB最小时的点P的 坐标. 323直线的一般式方程 【知识点归纳】 1直线的一般式: 2•直线平行与垂直的条件: 【典型例题】 题型一灵活选用不同形式求直线方程例1根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: (1)斜率是一1,经过点A(8,-2); (2)经过点B(4,2),平行于x轴; 2 3 (3)在x轴和y轴上的截距分别是—,—3;(4)经过两点P(3,-2)、F2(5, 2 4). 题型二直线不同形式之间的转化 例2求出直线方程,并把它化成一般式、斜截式、截距式: 过点A(5,6),B(4,8). 题型三直线一般式方程的性质 例3直线方程AxByC0的系数A、B、C分别满足什么关系时,这条直线分别有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交; (2)只与x轴相交;(3)只与y轴相交;(4)是x轴所在直线;(5)是y轴所在直线. 变式训练: 已知直线l: 5ax5ya30。 变式训练: (1)求经过点A(3,2)且与直线4x (2)求经过点B(3,0)且与直线2xy5 y20平行的直线方程; 0垂直的直线方程 题型四运用直线平行垂直求参数 例4已知直线11: xmy2m20,l2: mxy1m0,问m为何值时: (1)l1l2; (2)l1//l2. 题型五综合运用 例5已知直线li: xmy60,I2: (m2)x3y2m0,求m的值,使得: (1)li和12相交; (2)li丄l2;(3)Ii//l2;(4)li和12重合. 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 3.3.2两点间的距离 【知识点归纳】 1.两条直线的焦点坐标: 2.两点间的距离公式: 【典型例题】 题型一求直线的交点坐标 例1判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标. (1)直线l1: 2x-3y+10=0,l2: 3x+4y-2=0; (2)直线l1: nxyn1,l2: nyx2n. 题型二三条直线交同一点 变式训练 1.设三条直线: x2y 1,2xky 3,3kx4y5交于一点,求k的值 y30对称的直线I的方程. 2.试求直线l1: xy20关于直线l2: 3x 题型三求过交点的直线问题 例3求经过两条直线2xy80和x2y10的交点,且平行于直线4x3y70的直线方程. 变式训练: 已知直线li: 2x-3y+10=0,I2: 3x+4y-2=0.求经过li和12的交点,且与直线13: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程. 题型四两点间距离公式应用 例4已知点A(2,1),B(a,3)且|AB|5,则a的值为 变式训练: 在直线2xy0上求一点P,使它到点M(5,8)的距离为5,并求直线PM的方程. 题型五三角形的判定 例5已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),判断ABC的类型. 探究一直线恒过定点问题 例6已知直线(a2)y(3a1)x1.求证: 无论a为何值时直线总经过第一象限 变式训练: 若直线I: y=kx..3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,求直线I的倾 斜角的取值范围• 探究二利用对称性求最值问题(和最小,差最大) 例7直线2x-y-4=0上有一点P,求它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值 变式训练: 已知M(1,0)、N(1,0),点P为直线2xy10上的动点.求PM2PN2的最 小值,及取最小值时点P的坐标. 333点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离【知识点归纳】 1.点到直线的距离: 2.两条平行间直线的距离: 拓展: 点关于点、直线对称点的求法 【典型例题】 题型一利用点到直线距离求参数 例1已知点(a,2)(a0)到直线l: xy30的距离为1,贝Ua=() A.2B.—C.21D.21 题型二利用点到直线距离求直线的方程 110 例2求过直线11: y-X10和l2: 3xy0的交点并且与原点相距为1的直线I的方程. 33 变式训练: 直线I过点P(1,2),且M(2,3),N(4,—5)到I的距离相等,则直线I的方程是 题型三利用平行直线间的距离求参数 例3若两平行直线3x2y10和6xayc0之间的距离为乙〕3,求的值. 13a 变式训练: 两平行直线5x12y30与10x24y50间的距离是( ) A.A B.丄 C.丄 D. 5 13 13 26 26 题型四利用平行直线间的距离求直线的方程 例4与直线丨: 5x12y60平行且与I的距离2的直线方程是 题型五点、直线间的距离的综合运用 例5已知点P到两个定点M(—1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1•求直线PN的方程. 探究一与直线有关的对称问题 例6△ABC中,A(3,3),B(2,2),C(7,1).求/A的平分线AD所在直线的方程 变式训练: 1.与直线2x3y60关于点(1,-1)对称的直线方程是 2.求点A(2,2)关于直线2x4y90的对称点坐标 探究二与距离有关的最值问题 例7在函数y4x2的图象上求一点P,使P到直线y4x5的距离最短,并求这个最短的距离. 变式训练: 在直线l: 3xy10上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大。 (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小。 16/16
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