新高二数学暑假综合练习一.docx
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新高二数学暑假综合练习一
新高二数学暑假综合练习一
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.复数(1+2i)2的共轭复数是____________.
2.若双曲线-=1(a、b>0)的离心率为2,则=____________.
3.样本数据11,8,9,10,7的方差是____________.
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图象如图所示,则φ=____________.
5.已知集合A={2,5},在A中可重复的依次取出三个数a、b、c,则“以a、b、c为边恰好构成三角形”的概率是__________.
6.设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则·=____________.
7.设α、β为两个不重合的平面,m、n为两条不重合的直线,给出下列四个命题:
①若m⊥n,m⊥α,n⊄α,则n∥α;
②若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;
③若m⊥n,m∥α,n∥β,则α⊥β;
④若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直.
其中,所有真命题的序号是____________.
8.已知tanα=,tanβ=,且α、β∈(0,π),则α+2β=__________.
9.右图是一个算法的流程图,最后输出的S=____________.
10.已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交,则实数m的取值范围为____________.
11.某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm.已知卫生纸的厚度为0.1mm,则满盘时卫生纸的总长度大约是__________m(π取3.14,精确到1m).
12.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则数列{an}的前100项的和为____________.
13.已知△ABC的三边长a、b、c满足b+2c≤3a,c+2a≤3b,则的取值范围为____________.
14.在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,过点P作切线与两个坐标轴交于A、B两点,则△AOB的面积的最小值为______________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在△ABC中,已知角A、B、C的对边分别为a、b、c,且(a+b+c)(b+c-a)=3bc.
(1)求A;
(2)若B-C=90°,c=4,求b.(结果用根式表示)
16.三棱柱ABC—A1B1C1中,已知AB=A1A,D为C1C的中点,O为A1B与AB1的交点.
(1)求证:
AB1⊥平面A1BD;
(2)若点E为AO的中点,求证:
EC∥平面A1BD.
17.有一隧道既是交通拥挤地段,又是事故多发地段.为了保证安全,交通部门规定,隧道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长l(m)的积,且车距不得小于一个车身长l(假设所有车身长均为l).而当车速为60(km/h)时,车距为1.44个车身长.
(1)求通过隧道的最低车速;
(2)在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多?
18.如图,椭圆+=1的左焦点为F,上顶点为A,过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B、C两点.
(1)若=λ,求实数λ的值;
(2)设点P为△ACF的外接圆上的任意一点,当△PAB的面积最大时,求点P的坐标.
19.设数列{an}的前n项和为Sn,已知++…+=(n∈N*).
(1)求S1,S2及Sn;
(2)设bn=()an,若对一切n∈N*,均有bk∈(,m2-6m+),求实数m的取值范围.
20.设函数f(x)=lnx--lna(x>0,a>0且a为常数).
(1)当k=1时,判断函数f(x)的单调性,并加以证明;
(2)当k=0时,求证:
f(x)>0对一切x>0恒成立;
(3)若k<0,且k为常数,求证:
f(x)的极小值是一个与a无关的常数.
数学试卷附加题
21.
B.选修4—2 矩阵与变换
已知矩阵A=,B=.
(1)计算AB;
(2)若矩阵B把直线l:
x+y+2=0变为直线l',求直线l'的方程.
C.选修4—4参数方程与极坐标
已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2asinθ(a是常数).
(1)分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若两个圆的圆心距为,求a的值.
22.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=,是棱CC1的中点.
(1)证明:
A1D⊥平面AB1C1;
(2)求二面角B-AB1-C1的余弦值.
23.某电视台的一个智力游戏节目中,有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本名著连线.每连对一个得3分,连错得-1分,一名观众随意连线,他的得分记作X.
(1)求该观众得分非负的概率;
(2)求X的分布列及数学期望.
高二暑假综合练习
(一)参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.-3-4i 2. 3.2 4. 5. 6.10 7.①② 8. 9.25 10.1<m<121 11.100 12.200 13.(,) 14.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.
15.解:
(1)由条件,得(b+c)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,(2分)
∴cosA==.(4分)
∵A是三角形内角,∴A=60°.(6分)
(2)由得B=105°,C=15°.(8分)
由正弦定理得=,即b=.(10分)
∴b=4tan75°.(12分)
∵tan75°=tan(45°+30°)==2+,
∴b=8+4.(14分)
16.证明:
(1)连DA、DB1、DO,
∵AB=A1A,D为C1C的中点,
而DB1=,DA=,
∴DB1=DA.(2分)
又O是正方形A1ABB1对角线的交点,
∴DO⊥AB1.(4分)
又A1B⊥AB1,A1B∩DO=O,
∴AB1⊥平面A1BD.(7分)
(2)取A1O的中点F,
在△A1OA中,∵E是OA中点,∴EFAA1.(9分)
又D为C1C的中点,∴CDAA1.
∴EFCD,故四边形CDFE是平行四边形.∴CE∥DF.(12分)
又DF⊂平面A1BD,CE⊄平面A1BD,
∴EC∥平面A1BD.(14分)
17.解:
(1)依题意,设d=kv2l,其中k是待定系数,
∵当v=60时,d=1.44l,
∴1.44l=k×602l.(2分)
∴k=0.0004.则d=0.0004v2l.(4分)
∵d≥l,∴0.0004v2l≥l.
则v≥50.∴最低车速为50km/h.(7分)
(2)因为两车间距为d,则两辆车头间的距离为l+d(m),
一小时内通过汽车的数量为Q=,即Q=.(9分)
∵+0.0004v≥2=0.04,∴Q≤.(12分)
当=0.0004v,即v=50时,Q取得最大值为.
∴当v=50km/h时,单位时段内通过的汽车数量最多.(14分)
18.解:
(1)由条件,得F(-1,0),A(0,),直线AF的斜率k1=.
∵AB⊥AF,∴直线AB的斜率为-.
则直线AB的方程为y=-x+.(2分)
令y=0,得x=3.∴点C的坐标为(3,0).(3分)
由得13x2-24x=0.解得x1=0(舍),x2=.
∴点B的坐标为(,).(5分)
∵=λ,∴λ>0,且λ=.
∴λ==.(7分)
(2)∵△ACF是直角三角形,∴△ACF外接圆的圆心为D(1,0),半径为2.
∴圆D的方程为(x-1)2+y2=4.(9分)
∵AB是定值,∴当△PAB的面积最大时,点P到直线AC的距离最大.
过D作直线AC的垂线m,则点P为直线m与圆D的交点.(11分)
∴直线m的方程为y=(x-1).(13分)
代入圆D的方程,得(x-1)2+3(x-1)2=4.(14分)
∴x=0或x=2(舍).
则点P的坐标为(0,).(16分)
19.解:
(1)依题意,n=1时,S1=2,n=2时,S2=6.(2分)
∵++…+=,①
n≥2时,++…+=,②
①-②,得=-,∴Sn=n(n+1).(4分)
上式对n=1也成立,∴Sn=n(n+1)(n∈N*).(5分)
(2)由
(1)知,Sn=n(n+1),
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n.(7分)
∵a1=2,∴an=2n(n∈N*).(8分)
∴bn=()n.
∵=,∴数列{bn}是等比数列.(10分)
则k==(1-).(12分)
∵(1-)随n的增大而增大,∴≤k<.(13分)
依条件,得(14分)
即∴m<0或m≥5.(16分)
20.
(1)解:
当k=1时,f(x)=lnx-·x+x--lna,
∵f′(x)=-·x--x-(1分)
=-≤0,(3分)
∴函数f(x)在(0,+∞)上是单调减函数.(4分)
(2)证明:
当k=0时,f(x)=lnx+x--lna,
f′(x)=-=,
令f′(x)=0,解得x=.(6分)
当0<x<时,f′(x)<0,f(x)是单调减函数;
当x>时,f′(x)>0,f(x)是单调幸函数.
∴当x=时,f(x)有极小值为f()=2-2ln2.(8分)
∵e>2,∴f(x)的极小值f()=2(1-ln2)=2ln>0.
∴f(x)>0恒成立.(10分)
(3)证明:
∵f(x)=lnx-·x+x--lna,∴f′(x)=.
令f′(x0)=0,得kx0-2+a=0.(12分)
∴=.(=舍去)
∴x0=.(14分)
当0<x<x0时,f′(x)<0,f(x)是单调减函数;
当x>x0时,f′(x)>0,f(x)是单调增函数.
因此,当x=x0时,f(x)有极小值f(x0).(15分)
又f(x0)=ln-k+,而=是与a无关的常数,
∴ln,-k,均与a无关.
∴f(x0)是与a无关的常数.
则f(x)的极小值是一个与a无关的常数.(16分)
21.B.
解:
(1)AB=,………………………………3分
(2)设P(x,y)是直线l'上一点,P(x,y)由直线l上点P'(x',y')经矩阵B变换得到,……4分
则==,………………………………6分
所以解得………………………………8分
代入直线l的方程x+y+2=0,得x+2y+y+2=0,即x+3y+2=0,
故直线l'的方程为x+3y+2=0.………………………10分
C.解:
(1)两圆原方程可化为ρ2=2ρcosθ和ρ2=2aρsinθ.
∴两圆的直角坐标方程分别是x2+y2-2x=0和x2+y2-2ay=0.
(2)根据
(1)可知道两圆圆心的直角坐标分别是O1(-1,0)和O2(0,a).
由题知1+a2=5,解得a=±2.
22.证明
(1)∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴BC⊥CC1.
∵ACCC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1.
以C为坐标原点,,,分别为x轴、
y轴、z轴正方向的方向向量,建立如图所示的
空间直角坐标系.
∵AB=2,BC=1,AA1=,∴C(0,0,0),B(1,0,0),A(0,0,),C1(0,,0),B1(1,,0),A1(0,,),D(0,,2),0).
(1)=(0,-,2),-),=(-1,0,0),=(1,,-),
∵·=0,·=0,∴⊥,⊥,即AD1⊥B1C1,AD1⊥AB1.
∵B1C1∩AB1=B1,B1C1,AB1平面AB1C1,∴A1D⊥平面AB1C1.
(2)设n=(x,y,z)是平面ABB1的法向量,由得y-z=0,,y=0.))
取z=1,则n=(,0,1)是平面ABB1的一个法向量.
又=(0,-,2),-)是平面AB1C1的一个法向量,
且<,n>与二面角B-AB1-C1的大小相等.
由cos<,n>==,2),-)·(,0,1),,2)×2)=-,6).
故二面角B-AB1-C1的余弦值为-,6).
23.解:
(1)X的可能取值为-4,0,4,12.
P(X=12)==;
P(X=4)===;
P(X=0)===;
该同学得分非负的概率为P(X=12)+P(X=4)+P(X=0)=.
(2)P(X=-4)==.
X
-4
0
4
12
P
X的分布列为:
E(X)=-4×+4×+12×=0.
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