第1章点直线平面的投影.docx
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第1章点直线平面的投影
第1章点、直线、平面的投影
在生产实际中,设计和制造部门普遍使用图样来表达物体。
工程图样是利用投影的方法获得的。
本章介绍投影的一些基本知识以及点、直线、平面的投影规律和作图方法。
1.1投影法的基本知识
由光的投射成影这一物理现象,人们创造了用投影来表达物体形状的方法——投影法。
由国家标准(GB/T16948)定义:
投射线经过物体,向选定的面投射,在该面上得到图形的方法称为投影法。
从图1-1可知,投射线、被投射物和投影平面是进行投射时不可缺少的条件,称投影三要素。
在表示投影的图样中,空间几何元素用大写字母(斜体)表示,而投影用同名小写字母表示。
图1-1投影三要素图1-2中心投影法
1.1.1中心投影法
投射线都从投射中心出发的投影法称为中心投影法。
如图1-2所示,通过投射中心S作出△ABC在投影面P上的投影:
投射线SA、SB、SC分别与投影面交于a、b、c,直线ab、bc、ca分别是直线AB、BC、CA的投影,而△ABC的投影就是△abc。
中心投影法主要用于建筑物或产品的立体图。
以中心投影法为依据所作的投影称透视投影。
由于透视投影所画的图形符合于视觉印象,空间立体感强,形象生动逼真,所以广泛用于科学、艺术和工程技术等领域。
用透视投影所画得的图形,也称透视图。
1.1.2平行投影法
若投射中心S移到无穷远处,投射线相互平行,称平行投影法,所得投影称平行投影。
平行投影法又分正投影法和斜投影法:
投射方向(即投射线的方向)垂直于投影面的是正投影法,如图1-3(a),投射方向倾斜于投影面的是斜投影法,如图1-3(b)。
由于正投影图的作图较其他图视法简便,又便于度量,在工程上得到广泛应用,机械图样主要是用正投影法绘制。
为叙述简单,今后将“正投影”简称“投影”。
图1-3平行投影法
平行投影有下述若干投影特性:
(1)实形性:
与投影面平行的物体,如平面、直线,投射后所得投影反映该物体的实形,如图1-4(a)所示;
(2)积聚性:
与投射线平行的平面或直线,投射后所得投影积聚为直线或点,如图1-4(b)所示;
(3)从属性:
直线上的点或平面上的点和线,投射后所得投影仍在直线或平面的投影上,如图1-4(c)所示;
(4)等比性:
点分线段所成的比例,投影后不变,如图1-4(d)所示,ac:
cb=AC:
CB。
图1-4平行投影特性
1.1.3投影体系
如图1-5所示,由空间点A向平面P作正投射,得惟一的投影a。
反之,若已知点B的投影b,就不能惟一确定点B的空间位置。
换句话说,一个投影无法描述一个物体。
因此,常把几何形体放在相互垂直的两个或三个投影面之间,并在这些投影面上形成多面投影。
如图1-6(a)所示,设立相互垂直的正立投影面V(简称正面)和水平投影面H,组成两投影面体系,将空间划分为四个角:
第一角、第二角、第三角和第四角,V面和H面交于投影轴(两投影面的交线)OX。
如图1-6(b)所示,再设立一个与V面、H面都垂直的侧立投影面W(简称侧面),组成三投影面体系,将空间划分为八个角,每两个投影面的交线,形成OX、OY和OZ三根投影轴,且互相垂直。
无论是两面体系、三面体系,本书着重讲述第一角中的几何形体的投影。
图1-5点的一个投影图1-6投影体系
1.2点的投影
1.2.1点的两面投影和三面投影
1.点的两面投影
如图1-7(a)所示,由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa′、Aa,分别与V面、H面交得点A的正面投影(V面投影)a′和水平投影(H面投影)a。
为区分空间点和投影点,我们规定:
空间点用大写(斜体)字母表示,如A、B、C……,H面上的投影点用小写字母表示,如a、b、c……,V面上的投影点用小写字母加一撇表示,如a′、b′、c′……。
由于平面Aa′a分别垂直于H面、V面,则平面Aa′a⊥OX轴并交于ax点,因此a′ax⊥OX,aax⊥OX。
又因四边形Aaaxa′是矩形,所以axa′=aA,反映点A到面H的距离;axa=a′A,反映点A到V面的距离。
V面保持不动,将H面绕OX轴向下旋转90°,与V面展成一个平面,如图1-7(b)所示。
展开后,a′a形成一条投影连线(交OX轴于ax点),且a′a垂直于OX轴。
在实际画图时,不必画出投影面的边框和点ax,图1-7(c)即为点A的投影图。
图1-7点在两面体系中的投影
由此可概括出点的两面投影特性:
(1)点的投影连线垂直于投影轴,即a′a⊥OX;
(2)点的投影与投影轴的距离,反映点与投影面的距离,即axa′反映点到H面的距离,axa反映点到V面的距离。
已知一点的两面投影,就可惟一地确定该点的空间位置。
读者自行想象:
若将图1-7(c),中OX轴以下的H面自前向上抬起90°,由a作H面的垂线,由a′作V面的垂线,两垂线的交点,即空间点A的惟一位置。
2.点的三面投影
三面体系第一角如图1-8所示,其展开的方法是V面不动,H面绕OX轴自前向下,W面绕OZ轴自前向右各转90°后与V面重合,OY轴则分为H面上的OYH和W面上的OYW,如图1-8(b)。
图1-8三面体系第一角图1-9点的三面投影
如图1-9(a)所示,由空间点A分别作垂直于V面、H面、W面的投射线,交得点A的正面投影a′、水平投影a和侧面投影a″(W面投影,规定用小写字母加两撇表示)。
与两面体系中一样,每两条投射线确定一个平面,分别垂直投影轴。
展开后就得如图1-9(b)所示的投影图,且a′a⊥OX,a′a″⊥OZ,aaYH⊥OYH,a″aYw⊥OYW,OaYH=OaYW。
为保证a″点的作图准确,即保证OaYH=OaYW,可过O点作一45°斜线,aaYH和a″aYw的延长线必与该斜线交于一点,由此定出a″(或a)。
由上分析,得出点的三面投影特性:
(1)点的投影连线垂直于相应的投影轴,即a′a⊥OX,a′a″⊥OZ,aa″⊥OY(投影图中表现为aaYH⊥OYH,a″aYw⊥OYW);
(2)点的投影与投影轴的距离,反映点与投影面的距离,即a′ax(或a″aYw)反映点到H面的距离,aax(或a″aZ)反映点到V面的距离,aaYH(或a′aZ)反映点到W面的距离。
利用点的两投影,就可求得第三个投影。
1.2.2点的投影与该点直角坐标的关系
如图1-10所示,若将三面体系看做直角坐标系,则投影轴、投影面、点O分别是坐标轴、坐标面、原点。
点A(xA,yA,zA)的投影与该点的坐标有下述关系:
X坐标xA(即Oax)=aza′=aYHa=点A到W面距离a″A;
Y坐标yA(即OaYH=OaYW)=aXa=aZa″=点A到V面距离a′A;
Z坐标zA(即OaZ)=aXa′=aYWa″=点A到H面距离aA。
点的一个投影可以反映空间点的两个坐标,因此,当空间点A由坐标(x,y,z)给定后,就可作出点A的三个投影;反之,亦然。
图1-10点的投影与该点直角坐标的对应关系图1-11投影面和投影轴上的点
图1-11是位于V面、H面和OX轴上的三点B、C、D的直观图和投影图,由图可看出其坐标和投影具有下述特征:
(1)投影面上的点有一个坐标为零,在该投影面上的投影与其空间点重合,其他两投影分别在相应的投影轴上(如点B点C)。
(2)投影轴上的点有两个坐标为零,在该轴上有两个投影与其空间点重合,其余的一个投影落在原点O上(如点D)。
【例】已知点A的坐标为(15,10,20),点B的坐标为(20,0,10),点C的坐标为(0,15,0),分别求A、B、C三点的投影图。
〖解〗步骤如下:
(1)画两条互相垂直的细实线作为投影轴,标上相应的字母,再作一条成45°的细实线为作图辅助线;
(2)从原点出发,沿OX轴向左量取15mm得一点,定为aX,过该点作OX轴的垂线(如图1-12(a)所示);
(3)在该垂线上,从aX出发向上量取20mm得一点,定为a′,向下量取10mm得一点,定为a(如图1-12(b)所示);
(4)由点A的两投影(a,a′),用“二求三”的方法作图即可得点A的第三投影a″(如图1-12(c)所示)。
B、C两点的作图过程与点A类似,见图1-12(d)。
图1-12由给定的点的坐标值求点的投影图
1.2.3两点的相对位置及重影点
空间两点的相对位置是指它们的左右、前后及上下之间的关系,一般由X、Y、Z三个方向上的坐标差来判断。
如图1-13所示,因为xA>xB,yA 它们之间在这三个方向上的坐标差,即为这两点对投影面W、V、H的距离差。 若已知两点的相对位置及其中一个点的投影,就能作出另一个点的投影。 需要注意的是: 对水平投影而言沿OYH轴移动代表向前,而对侧面投影而言,沿OYW轴移动也代表向前。 图1-13两点相对位置 当空间两点位于某一投影面的一条投射线上,则此两点在该面的投影必重合,称之为该投影面的重影点,如图1-14。 从相对位置分析,点C在点A之后yA-yC处,因为xA=xC,zA=zC,所以点C与点A无左右距离差和上下距离差,点C在点A的正后方,正面投影相重合,点A和点C称为对正面的重影点。 图1-14重影点 对V面、H面、W面的重影点的可见性判断,分别应是前遮后、上遮下、左遮右。 图1-14中由于点A位于点C正前方,因此V面投影a′可见,c′被遮而不可见。 如需表明可见性,则在不可见投影的符号上加上括号,如图中的(c′)。 1.3直线的投影 空间两点决定一直线,两点的同面投影连线即为直线的投影。 如图1-15(a),A、B两点的投影分别为a、b,直线段AB的投影即为a、b连线ab。 若AB与H投影面的倾角为a时(见图1-15(b)),则ab=ABcosa,a、b连线长度小于空间直线段AB。 只有当直线与投影面的倾角为0°或90°,直线的投影反映了两种特殊情况(见图1-15(c)): 一是ab=AB,即直线平行于投影面,其投影反映实长;二是C、D的投影重合在一点,即直线垂直于投影面(直线与投射线平行),其投影积聚为一点。 图1-15直线的投影 1.3.1直线对投影面的相对位置 位于三面体系中的直线,相对于投影面有三种不同的位置: 一般位置和平行、垂直位置。 处于后两种位置的直线,称为特殊位置直线。 1.一般位置直线 当直线与三个投影面均倾斜时,称为一般位置直线,如图1-16所示。 直线两端点A、B的各同面投影连线ab、a′b′、a″b″分别为直线AB的水平投影、正面投影和侧面投影。 直线与投影面H、V、W的倾角分别记为a、b、g,则ab=ABcosa 由图可知,直线AB的投影与投影轴的夹角,并不等于AB对投影面的夹角。 图1-16一般位置直线的投影 一般位置直线的投影特性为: (1)一般位置直线的三个投影都倾斜于投影轴; (2)一般位置直线的三个投影长度均小于线段的实长; (3)投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的夹角。 2.投影面的平行线 当直线仅平行于某一投影面时(与另两投影面倾斜),则得到投影面的平行线,我们把平行于H面、V面、W面的直线分别称为水平线、正平线、侧平线。 表1-1列出了三种投影面平行线的直观图、投影图和投影特性。 表1-1投影面平行线 以表中水平线AB为例,分析如下: 直线AB∥H面,其水平投影ab=AB,反映实长,ab与OX轴、OYH轴的夹角分别反映直线AB与V面、W面的倾角b、g的真实大小。 AB∥H面,其上各点Z坐标相等,正面投影a′b′∥OX,侧面投影a″b″∥OYW,反映直线AB到H面的距离;a′b′=ABcosb,a″b″=ABcosg,均小于AB实长。 同理,可分析正平线、侧平线的投影特性。 由表1-1,概括出投影面平行线的投影特性如下: (1)在所平行的投影面上的投影反映实长,它与投影轴的夹角,分别反映直线对另两投影面的真实倾角; (2)另外两投影平行相应的投影轴,长度缩短。 3.投影面的垂直线 当直线垂直于一个投影面时(必定同时平行另两个投影面),则得到投影面的垂直线,我们把垂直于H面、V面、W面的直线称为铅垂线、正垂线、侧垂线。 表1-2列出了三种投影面垂直线的直观图、投影图和投影特性。 表1-2投影面垂直线 以表中铅垂线为例,分析如下: 直线AB⊥H面,其水平投影ab必积聚为一点;又AB∥V、AB∥W,正面投影a′b′=AB,且a′b′∥OZ轴,侧面投影a″b″=AB,且a″b″∥OZ轴。 同理,可分析正垂线、侧垂线的投影特性。 由表1-2,概括出投影面垂直线的投影特性如下: (1)在所垂直的投影面上的投影积聚为一点; (2)另外两投影均反映实长,且平行于同一根投影轴。 1.3.2直线上的点 属于直线上的一点,其投影必在直线的同面投影上。 如图1-17中的直线AB上的点C,其投影c在直线的投影ab上;DE上的点F,其投影f在直线的投影de上,由于DE为H面的垂直线,故其投影重合在一处,f也重合在de上。 因直线AB上的点A、B、C的同面投射线均互相平行,所以AC: CB=ac: cb。 直线上的点的投影特性为: (1)点在直线上,其投影在直线的同面投影上,且符合点的投影规律; (2)点分线段之比,在投影后保持不变,即AC: CB=ac: cb(图1-17)。 图1-17直线上的点的投影图1-18作分线段AB为3: 2的分点C 【例】在直线AB的投影图上作出分线段AB为3: 2的点C的两面投影c、c′(图1-18)。 〖解〗根据直线上点的投影特性,可先把AB的任一投影分为3: 2,得C的一个投影,再作出另一投影。 作图过程如图1-18(c): (1)由a任作一直线,在其上量取5个单位长度,得B0,再取C0,使aC0: C0B0=3: 2; (2)连bB0,作C0c∥B0b,交ab于c; (3)由c作投影连线(cc′⊥OX)与a′b′交于c′,c、c′即为所求定比分点C的两投影。 1.3.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种: 平行、相交、交叉(既不平行、又不相交,也称异面)。 图1-19两直线的三种相对位置 如图1-19(a)所示,将两平行直线AB、CD向H面作正投影,由于它们与投射线所形成的两平面AaBb与CcDd互相平行,显然AB与CD在H面上的投影一定平行,即ab∥cd,同理可证明a′b′∥c′d′,a″b″∥c″d″。 如图1-19b)所示,AB与CB交于B,B是两直线的共有点,则b应同时位于ab和bc上,即为两直线的水平投影的交点b。 同理可证明b′、b″也应分别是这两直线正面投影和侧面投影的交点。 由于b、b′、b″是点B的三面投影,应符合点的投影特性,即投影连线垂直于投影轴。 如图1-19(c)所示,AB与CD在空间交叉,虽然ab与cd相交,但该“交点”却是分别位于AB、CD上的点E、点F对H面的重合投影。 e、f称为对H面的重影点。 由于点E在点F之上,所以e可见,而f不可见,用(f)表示。 由于交叉两直线在空间既不平行又不相交,因此它们的三面投影图或许有投影相交的情况,但该“交点”不符合点的投影特性;或许三面投影图有一个或两个相交情况,而另两个或一个投影成平行或无交点状。 由此说明交叉两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性,又不符合相交两直线的投影特性。 表1-3为三种相对位置直线的投影图和投影特性。 表1-3两直线相对位置的投影特性 表中交叉两直线重影点的可见性,可用上遮下、前遮后、左遮右来判断,如V面重影点AB上的E在CD上的F之前,则正面重影点e′可见,f′不可见。 当两直线中有投影面垂直线时,它们相互间的相对位置表现出哪些投影特性,请读者自行分析。 【例】判断两直线的相对位置。 图1-20和图1-21。 〖解〗在图1-20所示的情况下,两直线均为侧平线时虽然有两个投影平行,但不能说明这两条侧平线在空间是否平行,通常应添加W面,作出AB、CD的侧面投影。 若a″b″∥c″d″,则AB∥CD;若a″b″不平行c″d″,则AB和CD交叉。 作图结果如图1-20(b)所示,可判断AB和CD交叉。 该题的关键是判断AB、CD是否共面(如平行或相交,则共面),增加侧面投影,异面直线的特点就显现出来如图1-20(b)所示)。 是否还有别的方法来判断两直线是否共面? 请读者自行思考。 图1-20判断两直线的相对位置 图1-21所给图例由于两直线同面投影不平行,所以空间两直线不平行。 在两面体系中,如果直线的投影不与投影连线重合,则两直线是否相交或交叉可直接由两投影来判断。 而该例中的AB线为侧平线,ab、a′b′均与投影连线重合,因此应同上例一样添加W面,作出侧面投影,再根据投影特性来判断AB、CD是相交还是交叉。 这是一种思路。 图1-21判断两直线的相对位置 而在此,我们以另一种思路来判断是否相交或交叉。 若AB、CD相交,则交点只有一个,且为AB、CD所共有;若交叉,则在某一投影面上的“交点”必为两直线上某两点对该投影面的重影点。 据此,我们可以判断正面投影中的“交点”或水平投影中的“交点”是否是两直线的共有点。 作图过程如图1-21(b)所示: (1)在a′b′、c′d′相交处,定出AB上的点E的正面投影e′; (2)由“点分线段成定比”的投影特性,决定AB上点E的水平投影e; (3)由于e不在ab、cd的相交处,故AB上的E不属于CD线。 所以AB、CD交叉。 1.4平面的投影 1.4.1平面的几何元素表示法 平面的投影常用确定该平面的点、直线、或平面图形等几何元素的投影来表示,如图1-22所示。 图1-22用几何元素表示平面 此外,平面的投影也用迹线来表示。 所谓“迹线”是指空间平面与投影面的交线。 由于空间平面与三个投影面都可能有交线,因此用表示平面的字母如P加上表示投影面的字母V、H、W来分别表示正面迹线PV、水平迹线PH和侧面迹线PW,如图1-23(a)、(b)所示。 图中,PX是PV和PH的交点,在OX轴上。 图1-23用迹线表示平面,PV、PH表示一般面,QH表示垂直于H面的平面 如果平面垂直于某个投影面,必有迹线垂直于投影轴,为方便作图,我们省略了与投影轴垂直的迹线,而用与该投影面相交但不垂直于投影轴的一条迹线来表示。 为区别起见,一般这类平面迹线用一条细实线并在两端加画两段粗短线来表示,如图1-23(d)。 1.4.2平面对投影面的相对位置 位于三面体系中的平面,相对于投影面有三种不同位置: 一般位置和垂直、平行位置。 处于后两种位置的平面,称特殊位置平面。 平面与H、V、W面的两面角,分别就是该平面对投影面H、V、W的倾角a、b、g。 平面平行于投影面,对该面的倾角为零;垂直于投影面,对该面的倾角为90°。 1.一般位置平面 当平面与三个投影面均倾斜时,称为一般位置平面,如图1-24所示。 图中用△ABC来表示平面,投影图得到三个三角形的投影,均为封闭线框,与△ABC类似,而不反映△ABC的实形,面积均比△ABC小,我们称这样的图形为空间平面图形的类似形。 所谓“类似形”,是指两图形的相应线段保持定比,边数、平行、凹凸、直曲等关系保持不变。 图1-24一般位置平面 一般位置平面的投影特性是: 三个投影都是平面图形的类似形,面积缩小。 2.投影面垂直面 当平面仅与一个投影面垂直(与另两个投影面均倾斜)时,称为投影面的垂直面。 垂直于H面,称之为铅垂面,垂直于V面,称之为正垂面,垂直于W面,称之为侧垂面。 表1-4列出了三种投影面垂直面的直观图、投影图和投影特性。 现以表中铅垂面为例,分析如下: 因为△ABC⊥H面,则其水平投影abc在一条直线上,且△ABC与V面、W面的夹角可在此投影上直接反映;同时因为△ABC倾斜于V面、W面,则它的正面投影和侧面投影仍是△a′b′c′和△a″b″c″,都是类似形,面积缩小。 同理可分析正垂面、侧垂面的投影特性。 由表1-4,概括出投影面垂直面的投影特性如下: (1)在所垂直的投影面上的投影积聚成直线,它与投影面的夹角分别反映平面对另两投影面的真实倾角。 (2)在另外两个投影面上的投影为空间平面图形的类似形,且面积缩小。 3.投影面平行面 平行于投影面的平面称为投影面的平行面。 平行于H面,称为水平面,平行于V面,称为正平面,平行于W面,称为侧平面。 表1-5列出了三种投影面平行面的直观图、投影图和投影特性。 现以表中水平面为例,分析如下: 因为△ABC∥H面,其水平投影abc反映实形;同时△ABC与V面、W垂直,则它的正面投影和侧面投影分别积聚成直线,且由于平面上各点的Z坐标相等(平行于H面),这两个积聚投影还平行于相应的投影轴OX、OY。 表1-4投影面垂直面 同理可分析正平面、侧平面的投影特性。 (1)在所平行的投影面上的投影反映实形。 (2)另外两个投影面上的投影分别积聚成直线,且平行于相应的投影轴。 由表1-5,概括出投影面平行面的投影特性如下: 表1-5投影面平行面 1.4.3平面上的点和直线 点和直线在平面上的几何条件是: (1)点在平面上,则该点必在属于这个平面的一条直线上。 (2)直线在平面上,则该直线必定通过属于这个平面上的两点;或者通过该平面上的一个点,且平行于属于这个平面上的另一条直线。 图1-25平面上的点和直线 图1-26一般位置平面内的点和直线 图1-25给出上述几何条件的直观图。 图1-26是其投影图的作法。 特殊位置平面由于在其所垂直的投影面上的投影积聚成直线,所以这类平面上的点和直线在该平面所垂直的投影面上的投影,位于平面有积聚性的投影或迹线上,如图1-27所示。 属于平面上的线可能处于一般位置,也可能处于特殊位置,比如平面上的水平线、正平线和侧平线,它们是属于平面上的对投影面处于平行位置的线,如图1-28所示为属于平面△ABC上的水平线AD。 请读者自行分析诸如图1-28这类平面上的特殊位置线的投影特性。 图1-27在有积聚投影的平面内取点、取线图1-28平面上的水平线 【例】已知平面ABCD的正面投影和部分水平投影,试补全平面ABCD的水平投影(图1-29)。 〖解〗该题的关键是A、B、C、D四点应位于同一面内,因此只需在由ABD组成的平面内确定第四个点C即可。 具体作图见图1-29(b)。 【例】判断直线EF和点K是否在平面ABCD内,见图1-30。 〖解〗如果直线EF在平面ABCD上,则必须通过该平面上的两已知点,由所给图形可知,EF线的一端点E在平面ABCD的一条边AB上,即E为ABCD上的一个已知点,而点F不在ABCD平面上(如果在平面上,应在F1处或F2处),由此知,EF线不属于平面ABCD。 K点虽画在图形之外,但平面是能延伸的,只要符合点在面上必在一条属于面的已知线上。 通过作图可知K点在一条属于平面的已知线上,如图1-30(b)所示。 图1-29补全平面ABCD的水平投影图1-30判断直线EF和点K是否在平面ABCD上 故此判断: 直线EF不在平面ABCD上,而点K在平面ABCD上。 【例】已知平面(由相交两直线AB、BC给定)的两投影,试在其上取一点K,使K点在H面之上10mm,在V面之前15mm,如图1-31所示。 图1-31在给定平面内作一特定要求的点K 〖解〗在平面上又距H面10mm的所有点,必在平面上且距H面10mm的一条水平线上,为此先作距H面10mm的水平线ⅠⅡ,得其两投影12,1′2′(图1-31(a));该题同时要求距V面15mm,如果只满足这一条件,同样应得到一条距V面15mm的正平线。 但同时须满足两个条件,则必然是水平线和正平线的交点,即如图1-31(b)所
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