北师大版选修44数学第2章《平摆线和渐开线》学案含答案.docx
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北师大版选修44数学第2章《平摆线和渐开线》学案含答案
§4 平摆线和渐开线1.了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.
2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用.一、平摆线
1.平摆线(旋轮线)
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线),如图.
2.平摆线(旋轮线)的参数方程
半径为r的圆的平摆线的参数方程为
(-
∞<α<+∞).
3.平摆线的性质
当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高
点____,再滚动半
周,点M到达______,这时圆周和x轴又相切于点M,得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期.
平摆线上点的纵坐标最大值是____,最小值是____,即平摆线的拱高为____.
【做一做1】已知一个圆的参数方程为
(θ为参数).那么圆的平摆线方程中与参数φ=
对应的点A与点B
之间的距离为( ).
A.
-1B.
C.
D.
二、渐开线
1.渐开线、基圆
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的外端,把绳拉紧再逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持____,此时,铅笔尖所画出的曲线称为此圆的______,此圆称为渐开线的____,如图.
2.渐开线的参数方程
半径为r的圆的渐开线的参数
方程是
(其中φ为参数).
【做一做2-1】半径为4的圆的渐开线的参数方程为__________.
【做一做2-2】当φ为
,π时,圆的渐开线
上对应点A,B的距离为__________.1.圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义
剖析:
根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程,可以知道其中的字母r是指圆的半径,参数α是过圆周上点M的半径与过圆与x轴切点的半径的夹角.参数的几何意义可以
在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.
2.圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义
剖析:
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时,半径OB相对于Ox转过的角度,如图,其中的∠AOB即是角φ.显然点P由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.
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