广东省中考数学试题精析.docx
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广东省中考数学试题精析
2012年中考数学精析系列——广东卷
(本试卷满分120分,考试时间100分钟)
一.选择题(共5小题,每小题3分,共15分)
3.(2012广东省3分)数据8、8、6、5、6、1、6的众数是【】
A.1B.5C.6D.8
【答案】C。
【考点】众数。
【分析】众数是在一组数据中,出现次数最多的数据,这组数据中,出现次数最多的是6,故这组数据的众数为6。
故选C。
4.(2012广东省3分)如图所示几何体的主视图是【】
A.
B.
C.
D.
【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】从正面看,此图形的主视图有3列组成,从左到右小正方形的个数是:
1,3,1。
故选B。
5.(2012广东省3分)已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是【】
A.5B.6C.11D.16
【答案】C。
【考点】三角形三边关系。
【分析】设此三角形第三边的长为x,则根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的构成条件,得10﹣4<x<10+4,即6<x<14,四个选项中只有11符合条件。
故选C。
二.填空题(共5小题,每小题4分,共20分)
6.(2012广东省4分)分解因式:
2x2﹣10x= ▲ .
【答案】2x(x﹣5)。
【考点】提公因式法因式分解。
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式,若是就考虑用公式法继续分解因式。
因此,直接提取公因式2x即可:
2x2﹣10x==2x(x﹣5)。
7.(2012广东省4分)不等式3x﹣9>0的解集是 ▲ .
【答案】x>3。
【考点】解一元一次不等式。
【分析】移项得,3x>9,系数化为1得,x>3。
故答案为:
x>3.
8.(2012广东省4分)如图,A、B、C是⊙O上的三个点,∠ABC=25°,则∠AOC的度数是 ▲ .
【答案】50°。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对弧
,
∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠AOC=2∠ABC,
又∵∠ABC=25°,∴∠AOC=50°。
9.(2012广东省4分)若x,y为实数,且满足
,则
的值是 ▲ .
【答案】1。
【考点】非负数的性质,算术平方根,绝对值。
【分析】根据算术平方根和绝对值非负数的性质,要使
,必须有
且
,即x=3,y=3。
∴
。
10.(2012广东省4分)如图,在▱ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 ▲ (结果保留π).
【答案】
。
【考点】平行四边形的性质,扇形面积的计算
【分析】过D点作DF⊥AB于点F。
∵AD=2,AB=4,∠A=30°,
∴DF=AD•sin30°=1,EB=AB﹣AE=2。
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积-扇形ADE面积-三角形CBE的面积
=
。
三.解答题
(一)(共5小题,每小题6分,共30分)
11.(2012广东省6分)计算:
.
【答案】解:
原式=
。
【考点】实数的运算,特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂。
【分析】针对特殊角的三角函数值,零指数幂,负整数指数幂3个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。
12.(2012广东省6分)先化简,再求值:
(x+3)(x﹣3)﹣x(x﹣2),其中x=4.
【答案】解:
原式=x2﹣9﹣x2+2x=2x﹣9。
当x=4时,原式=2×4﹣9=﹣1。
【考点】整式的混合运算(化简求值)。
【分析】先把整式进行化简,再把x=4代入进行计算即可。
13.(2012广东省6分)解方程组:
.
【答案】解:
①+②得,4x=20,解得x=5,
把x=5代入①得,5﹣y=4,解得y=1,
∴不等式组的解为:
。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】先用加减消元法求出x的值,再用代入法求出y的值即可。
14.(2012广东省6分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在
(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.
【答案】解:
(1)作图如下:
(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°,
∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。
∵AD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=
∠ABC=
×72°=36°。
∵∠BDC是△ABD的外角,∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。
【考点】作图(基本作图),等腰三角形的性质,三角形内角和定理和外角性质。
【分析】
(1)根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线:
①以点B为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、BC于点E、F;
②分别以点E、F为圆心,大于
EF为半径画圆,两圆相较于点G,连接BG交AC于点D。
(2)先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数,再由角平分线的性质得出
∠ABD的度数,再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。
15.(2012广东省6分)已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于点O,BO=DO.
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明:
∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
在△ABO与△CDO中,∵∠ABO=∠CDO,BO=DO,∠AOB=∠COD,
∴△ABO≌△CDO(ASA)。
∴AB=CD。
∴四边形ABCD是平行四边形。
【考点】平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定。
【分析】根据AB∥CD可知∠ABO=∠CDO,再由BO=DO,∠AOB=∠COD,即可根据ASA得出
△ABO≌△CDO,故可得出AB=CD,从而根据一组对边平行且相等的四边是平行四边形的判定得出结论。
四.解答题
(二)(共4小题,每小题7分,共28分)
16.(2012广东省7分)据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7200万人次,若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?
【答案】解:
(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x.根据题意得
5000(1+x)2=7200.
解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)。
答:
这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%。
(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,则2012年我国公民出境旅游总人数为
7200(1+x)=7200×120%=8640万人次。
答:
预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】
(1)设年平均增长率为x.根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1+x)万人次,2011年公民出境旅游总人数5000(1+x)2万人次.根据题意得方程求解。
(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7200(1+x)万人次。
17.(2012广东省7分)如图,直线y=2x﹣6与反比例函数
的图象交于点A(4,2),与x轴交于点B.
(1)求k的值及点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点C,使得AC=AB?
若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)∵点A(4,2)在反比例函数
的图象上,
∴把(4,2)代入反比例函数
,得k=8。
把y=0代入y=2x﹣6中,可得x=3。
∴B点坐标是(3,0)。
(2)存在。
假设存在,设C点坐标是(a,0),则
∵AB=AC,∴
,即(4﹣a)2+4=5。
解得a=5或a=3(此点与B重合,舍去)。
∴点C的坐标是(5,0)。
【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理。
【分析】
(1)先把(4,2)代入反比例函数解析式,易求k,再把y=0代入一次函数解析式可求B点坐标。
(2)假设存在,设C点坐标是(a,0),然后利用勾股定理可得
,
解方程,即得a=3或a=5,其中a=3和B点重合,舍去,故C点坐标可求。
18.(2012广东省7分)如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=
,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB(结果取整数:
参考数据:
sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50).
【答案】解:
∵在RtABC中,
,∴
。
∵在RtADB中,
,∴BD=2AB。
∵BD﹣BC=CD=200,∴2AB﹣
=200,解得:
AB=300。
答:
小山岗的高度为300米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角和坡度坡角问题)
【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC,在RtDBA中用AB表示出BD,根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。
19.(2012广东省7分)观察下列等式:
第1个等式:
;
第2个等式:
;
第3个等式:
;
第4个等式:
;
…
请解答下列问题:
(1)按以上规律列出第5个等式:
a5= = ;
(2)用含有n的代数式表示第n个等式:
an= = (n为正整数);
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.
【答案】解:
(1)
。
(2)
。
(3)a1+a2+a3+a4+…+a100
。
【考点】分类归纳(数字的变化类)。
【分析】
(1)
(2)观察知,找等号后面的式子规律是关键:
分子不变,为1;分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号之间的关系为:
序号的2倍减1和序号的2倍加1。
(3)运用变化规律计算。
五.解答题(三)(共3小题,每小题9分,共27分)
(3)
。
∵在使分式
有意义的4种情况中,值为整数的(x,y)有(1,﹣2)、
(﹣2,1)2种情况,
∴使
分式的值为整数的(x,y)出现的概率是
。
【考点】列表法或树状图法,概率分式有意义的条件,分式的化简求值。
【分析】
(1)根据题意列出表或画树状图,即可表示(x,y)所有可能出现的结果。
(2)根据
(1)中的表或树状图中找出使分式
有意义的情况,再除以所有情况数即可。
(3)先化简,再在使分式
有意义的4种情况中,找出使分式的值为整数的(x,y)的情况,再除以所有情况数即可。
21.(2012广东省9分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.
(1)求证:
△ABG≌△C′DG;
(2)求tan∠ABG的值;
(3)求EF的长.
【答案】
(1)证明:
∵△BDC′由△BDC翻折而成,
∴∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,∴∠ABG=∠ADE。
在△ABG≌△C′DG中,∵∠BAG=∠C,AB=C′D,∠ABG=∠ADC′,
∴△ABG≌△C′DG(ASA)。
(2)解:
∵由
(1)可知△ABG≌△C′DG,∴GD=GB,∴AG+GB=AD。
设AG=x,则GB=8﹣x,
在Rt△ABG中,∵AB2+AG2=BG2,即62+x2=(8﹣x)2,解得x=
。
∴
。
(3)解:
∵△AEF是△DEF翻折而成,∴EF垂直平分AD。
∴HD=
AD=4。
∵tan∠ABG=tan∠ADE=
。
∴EH=HD×
=4×
。
∵EF垂直平分AD,AB⊥AD,∴HF是△ABD的中位线。
∴HF=
AB=
×6=3。
∴EF=EH+HF=
。
【考点】翻折变换(折叠问题),翻折变换的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义,三角形中位线定理。
【分析】
(1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,故可得出结论。
(2)由
(1)可知GD=GB,故AG+GB=AD,设AG=x,则GB=8-x,在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长,从而得出tan∠ABG的值。
(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=
AD=4,再根据tan∠ABG的值即可得出EH的长,同理可得HF是△ABD的中位线,故可得出HF的长,由EF=EH+HF即可得出结果。
22.(2012广东省9分)如图,抛物线
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
【答案】解:
(1)在
中,
令x=0,得y=-9,∴C(0,﹣9);
令y=0,即
,解得:
x1=﹣3,x2=6,∴A(﹣3,0)、B(6,0)。
∴AB=9,OC=9。
(2)∵ED∥BC,∴△AED∽△ABC,∴
,即:
。
∴s=
m2(0<m<9)。
(3)∵S△AEC=
AE•OC=
m,S△AED=s=
m2,
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣
m2+
m=﹣
(m﹣
)2+
。
∴△CDE的最大面积为
,
此时,AE=m=
,BE=AB﹣AE=
。
又
,
过E作EF⊥BC于F,则Rt△BEF∽Rt△BCO,得:
,
即:
。
∴
。
∴以E点为圆心,与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=
。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,勾股定理,直线与圆相切的性质。
【分析】
(1)已知抛物线的解析式,当x=0,可确定C点坐标;当y=0时,可确定A、B点的坐标,从而确定AB、OC的长。
(2)直线l∥BC,可得出△AED∽△ABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件:
点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围。
(3)①首先用m列出△AEC的面积表达式,△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积,由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式,根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF,这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径,可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解。
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