第二章随机变量极其分布.docx
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第二章随机变量极其分布
•a
4•设随机变量X的概率分布为P{X=k(=b/l\k=H2,…,b>0,则X为
(C)
A・任意正数
5.设P{X=k}二业二,k=0,2,4,…是X的概率函数,则LC一立满足(B)
一、选择题:
1・设X的概率密度与分布函数分別为/(%)F(x),则下列选项正确是(
A,0(%)
p{X=x} 7•设斤(切与&(x)分别是随机变量Xi与X? 的分布函数,为便F(x)=«斤⑴-b&(x)是 X的分布函数 B.a=3/5pb=—2/5D・a=1/3,b=-1/3 某有随机变量 (B) A.a=3/5,b=2/5 C.a=1/2.c=1/2 8.设随机变量X服从正态分布X〜N(0,1)Y=2X-L则Y~(B) A・N(OJ)B・N(-l,4) C・N(-1J)D・N{-I,3) 9.已知随机变量X服从正态分布N(2,22)且Y=aX+b服从标准正态分布,则(C) A.a=2,b=-2B.a=-2,b=-1 C.a=1/2,b=—1D.a=1/2,b=1 10•若X〜N(1J)密度函数与分布函数分别为/(X)与F(x),则 D・F(-x}=1-F(x) 11.设X~N(“C则随CT的增大,概率P{X-n 14•设随机变量X的概率密度为/CU且/(%)=/(-%),F(x)是X的分布函数,则对任意 X+4 15•设随机变量X的分布函数为Fg则丫=丁的分布函数为 16•设随机变量X的分布函数为F(x)=P{X B・0 A.F(a) 17.设存(切、巧(兀)分别是随机变量X「X2的分布函数,若aF,(x)+hF^{x)为某一随机 1&设X~BgP),且EX=3,P=1/7,则n= 19•如果F(x)是连续随机变量的分布函数,则下列#项不成立的是 CC Y) 23-设X.Y是两个相互独立的随机变量,分布函数分别为F^{x}^Fy{y}.则Z=min Y B.丄 7 C40 D.—— 49 34 24・设X.Y是两个随机变量,且P{x>o,y>o)=-,P{x>0}=P{y>0}=上,则 77 P{max(X#)>0} CB A16 A»— 49 C.2 CI. (B) A.独立同分布B.独立不同分布 C.不独立同分布D.不独立也不同分布 28.若X与Y独立且都在[0,1]上服从均匀分布,则服从均匀分别的随机变量是 A・(X,Y)B・X+Y CX2D•X-Y 7 二、填空题: 1.已知P{X=^=C・F/k! 卫=12…,仏…,幷中/1>0,则C= 密度。 上0 3.如果随机变量X的概率密度为/(大)=』2-圮l 0,其他 则P{X 4.如果随机变量X的概率密度为/(x)=-*N,—8 为. 5.如果随机变量X的概率分布为P{X=k]=bA^、k=\2…、b>0■则兄为. 6.若随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,YOVXv*o,则A= &若P{Xa}=0・5•貝中幺? 则P{a X,%<0 P{2 若随机变量X在[0J]±服从均匀分布》=2X+1的概率密度为 为・ P〉,且P{X>1}=訂则 1&设随机变量X(4,0-1).Y=X\贝|JP{Y>1}19•设随机变量X〜B(2P),Y〜B(3, P{y>i}=20・若随机变量§在(1,6)上服从均匀分布,则方程x-+^x+\=0有实根的概率 是. 21.设随机变MX*jY相互独立且同分布.P{X=-1}=P{Y=-1}=P(X=1}=P{Y =II=l/2,PliJP{X=Y}=. 22.设随机变量X与Y相互独立且同分布,P{X=-1}=P{Y=-l}=P{X=1} =P{Y=1)=1/2侧P{X+Y=0}=. 23.设随机变SXY相互独立且同分布,P{X=-]1=P{Y=-1}=P{X=1|=P{Y =1}=1/2,1)10P{X>Y}=. 24.设随机变量X与Y相互独立且同分布,P{X=-1)=P{Y=-! }=P{X=1} =P(Y=l|=l/2,则P{X 34 25.设随机变MX-*jY相互独立且P{X>0,y>0}=-,PlX>G}=P{Y>0}=-,则 P{max(XM)>0}= 分布密度为AM= 边缘分布密度为fy{y}= 28・若随机变量X与Y独立•苴概率密度分别为 槪率密度为= 6严叫.fo 0,其他' 边缘概率密度为 33.若随机变量(X.Y)的联合概率密度为/(x,y)h P{2X+3Y<6}= 34.若随机变量(X.Y)的联合分布函数为F(;v,y)=A(B+arctan—)(C+arctan—),则系数A、B、C分别为= 35.若随机变麹X,Y)的联合分布函数为S沪討分arctan自G+orcUm訐则随机变量X的边缘分布函数为Fxd)=36.若随机变鱼X,Y)的联合分布函数为住,y)rG+arc吨)G+arc吨),则随机变量Y的边缘分布函数为= 37・若随机变虽(X.Y)的联合分布函数为FSV)=-^(—+arctan—)(—+arctan—),则'矿2223 随机变量(X,Y)的联合槪率密度为=° 38.若随机变量(X,Y)在以(0.1),(1,0),(1.1)为顶点的三角形区域D上服从均匀分 布,则随机变量(X,Y)的联合概率密度为=0 三、判断题: 1•若/(X)是随机变量X的概率密度,则有/ 2・ 若/(X)是随机变量X的槪率密度,则匸= 3・ 若/(X)是随机变HX的槪率密度,则0 4. 若f(x)是随机变量X的概率密度,则/(g)=lJ(YC)=O。 5・ 若/(X)是连续变量X的概率密度,则/(X)连续。 6・ 若F(x)是连续变量X的分布函数,则F(x)>0O 若F(x)是连续变量X的分布函数,则J^F(aXv=U &若F(x)是连续变量X的分布函数•则0 9.若FCv)是连续变量X的分布函数•则F(*Q)=hF(y>)=0。 0. 若F(x)是连续变量X的分布函数,则F(x)是单调不减函数。 ]1・ 若X是连续型随机变量,则对任意实数有P{X=x(J=O。 12. 若对存在实数心,使P{X=Xo}=O・则X是连续型随机变量。 13. 若随机变量X的概率函数为P{X=%&}=几,£=1、2、…,则以 14.若随机变量X的槪率函数为卩以=兀}=几^=1、2、・・・・则工几=1。 15.若X是离散随机变量,则X的分布函数处处不连续。 16.若X是连续随机变量,则X的分布函数是连续的0 17.若/(X)是可连续随机变量的密度函数,则/(X)—总有界。 若F(x)是可连续随机变量的分布函数侧F(x)-^有界。 19・ 若f(x)^F(x)分別是随机变量X的概率密度商分布函数,则r(x)=/(x)o 20. 若/(%)*;F(x)分别是随机变量X的概率密度与分布函数,则r(x)=F(x)o 21.若F(x,y)是(X°Y)的联合分布函数.fjx)仃Fy(y)分别是X与Y的边缘分布函数. 22.若F(x.y)是(X.Y)的联合分布函数仃呂(刃分别是X9Y的边缘分布函数, 且Fgy)=F,(x)-Fy(y),则X与Y独立。 23・若(X,Y)的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式 卩(心兀)=耳(兀)出(丹)7=1,2则X与Y独立• 24.若随机变量X与Y独立侧卩(*儿)=/^(兀)・/^刀),i、7=t2 25.若F(xo')是二维连续随机变量(X.Y)的分布函数,则F(x,y)是连续的。 26・ 若f(x.y)是二维连续随机变量(X.Y)的密度函数,则/&』)一定连续。 27・ 若F(x,y)是二维连续随机变量(X,Y)的分布函数•则F(x.y)是非负有界函数。 28. 若/(X』)是二维连续随机变量<X,Y)的密度函数,则f(x.y)是非负有界函数。 29・若(X,Y)是二维均匀分布,则边缘分布X也是均匀分布。 30.若(X,Y)是二维正态分布,则X的边缘分布也是正态分布。 31・若X与Y独立,且X仃Y均服从均匀分布,则X+Y也服从均匀分布。 32.若X与Y独立,且X与Y均服从正态分布.则X+Y也服从正态分布。 若X与Y独立,且X与Y均服从二项分布,则X+Y也服从二项分布。 若X与Y独立,且X与Y均服从泊淞分布,则X+Y也服从泊淞分布。 33. 34・ 35.若斥(x)和為(x)分别是X的分布函数,则斤(x)+巧(x)可以作为某个随机变量的 分布函数。 36.若齐⑺)和/2(力分别是X与Y的密度函数,则以作为某个随机变量的 密度函数. I2 37.若斤(X)和行Cv)分别是X与Y的分布函数,则一f;(x)+-/s(x)可以作为某个随机 变量的分布函数。 12 38.若yi(x)和/^(兀)分别是X匀Y的密度函数,则-/;(x)+-AW町以作为某个随机 变量的密度函数. 39.若斤(X)和/^Cv)分别是X与Y的分布函数,且XbY独立,则F,(x)+FAx)是X+ Y的分布函数。 40,若/;(兀)和/2(羽分别是X与Y的密度函数,且XbY独立,则/(大皿。 )是XY的 密度函数。 四、计算题: 4 1•设连续随机变量X的概率密度为求: (1)常数a的值; (2)X 1+f 落在区间[0」]内的概率;(3)随机变量X的分布函数。 2.若随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布,求: (1)X的概率密度: (2)X的分布函数。 3.设随机变itX的概率密度为/(牙)=1"/斤二匸'"V* 0, X>1 求: ⑴系数AW〉X落在区间匕弓内的概率: ⑶X的分布函如 4•设随机变量X的概率密度为/(切=人尹1,Y0VXV+A.求, (1)系数a; (2)X落在区间 (0,1)内的槪率: (3)X的分布函数。 5•设随机变量X在[O./r]上服从均匀分布,即概率密度为/(x)=- —,0 0,其他 求: ⑴随机变函数y=sinX的概率密度; (2)X的分布函数。 6•设随机变量X的概率密度为/(%)=- 2x,0 0,其他 求: (i)x的分布函数。 (2)y=x2的概率密度。 7.设连续随机变量X的分布函数F(x)=A+Barctanx,-oo 8•设随机变量X的分布函数为F(x)=< 求: (1)系数A及B; (2)X落在区间(-1,1)内的概率;(3)X的概率密度。 A+3宀,x>0 0,%<0 求: (1)系数A及B: (2)X落在区间(0.1)内的概率;(3)X的概率密度。 '0,x 9•设随机变量X的分布函数为=0<%<1 %>1 求: (1)系数A的值。 (2)X的槪率密度函数。 10•设X在区间[2,6]上服从均匀分布,现对X进行3次独立观测”用Y表示观测值大于3 的次数■求: (1)Y的概率密度分布; (2)P{Y>2}. 11・袋中有2个白球•与3个黑球•每次从尖中任取1个球后不放回,直到取得白球为止,求: (1)取球次数X的概率分布; (2)X的分布函数。 12.一射手对靶射击,宜到第一次命中为止,毎次命中率为06现有4颗子弹,求命中后尚余子X的概率分布及分布函数。 13•从五个数1,234,5中任取3个数冲与^3•求: (1)-^=max{xp心兀彳}的概率分 布: (2)P(X<4}o 14.宜线上一质点从原点开始作随机游动,毎单位时间可以向左或向右移动一步,向左的概率为P,向右的槪率为q=l・p・每步保持定长L,求: (1)三步后质点位鱼^X的概率分 布;⑵P{x>0}o 15•对某一目标进行射击,直到击中为止,如果每次射击命中率为P,求: (1)射击次数X的概率分布; (2)X的分布函数. 16.设随机变量即X的概率函数为 P{X=A}=C: px/i.£=0,1,2宀・屮;9=1一" 求: ⑴斤为何值时J{X=£}最大; (2)最大值是多少017・设随机变量即X的概率函数为 P[x=k}=—e-\R=0丄2■…;/1>0 求: (1)£为何值时,PlX=k}最大: (2)最大值是多少0 1&设随机变量X的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 3 pg OJ 0・2 0・25 0・2 0・l5 OJ 求: (1)X的分布函数: (2)Y=X^的概率分布。 19.设随机变SX的概率函数为P{X=k}=—,A=12…N… 求: y=sin(-X)的概率分布。 2 20•若随机变量X~B(3,0・4).即X的概率分布为P{X=jt)=C^04W-\«=0丄2,3 求: (1)X的分布函数: (2)y==X(3-X)的概率分布。 2 21.已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,从这批产品中任取4件产品,用X及Y分别表示取出的4件产品中一等品及二等品的件数,求: ⑴(X,Y)的联合概率分布; (2)X打Y的边缘分布。 22.—批产品中共有100件产品,其中5件是次品,现进行不放回抽样,抽取2件产品,用X与Y分别表示第一次与第二次取得的次品数,求: (1)(X,Y)的联合概率分布。 (2)X与Y的边缘分布。 23.把3个球随机地投入三个盒子中去,每个球投入各■个盒子的可能性是相同的,用X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数,求: (1)(X.Y)的联合概率分布; (2)X与Y的边缘分布。 24.一整数X随机地在1、2、3中取一值,另一整数随机地在1到X中取一值,求: (1)(X.Y)的联合概率分布: (2)X与Y的边缘分布。 25.—枚均匀硬币连掷两次,用X与Y分别表示第一次及第二次出现正而的次数,求: (1)(X,Y)的联合概率分布; (2)Z=X+Y的概率分布。 26•设二维随机变量(X,Y)在矩形域D={(x,y}\a 求: (1)(X,Y〉的联合概率分布; (2)X打Y的边缘分布。 27•设二维随机变量(X.Y)的联合概率密度为/(X.y)n 2严2卄,兀>0,),>0 0,其他 求: (1)XLjY的边缘概率密度: (2)XY是否独立。 28.设二维随机变S(X.Y)的联合分布函数为 Vy F(x,y)=A(B+arctan—)(C+arctan—) 23 求: (1)系数A、B及C: (2)(X.Y)的联合概率密度。 29■设二维随机变量(X.Y)的联合概率密度为 A严5,x>0,y>0 a其他 求: (1)系数A; (2)(X,Y)的联合分布函数。 30•设随机变量X与Y独立,X~U(0,2),Y~c⑵,即 求: (1)(X,Y)的联合概率密度; (2)P{XWY} 求: (1)X与Y的边缘分布; (2)Z=X-+Y-的概率密度。 求: (1)X与Y的边缘分布; (2)Z=X+Y的概率分布。 33•设随机变量X与Y相互独立•且X与Y的概率分布为 求: (1)(X.Y)的联合概率分布;C2)Z=X+Y的概率分布。 34.设随机变独立,且都服从二项分布: P{X=^)=C*x(-)*x(-)'-\^=0,1,2 22 91 p(y=z: }=c^xP/x(V\^=oj,2 求: Z=X+Y的槪率分布。 35. X+Y的概率分布。 设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,求: (1)(X.Y)的联合概率密度; (2)Z= 36.已知随机变S(X.Y)的联合概率密度为 4a>',O<% 0,其他 求: (1〉联合分布函数F(x』);2〉X与Y的边缘概率密度。 37,设U与V独立同分布但P{U=i]=P{V=i}=-J=tZ3 又设X=max(t/,V},Y=ixnn{U.V}•求: (X,Y)的联合概率分布。 3&已知P(A)=〉p(B|A)=pPG4|B)=L 1,B发生, 0,B不发生, X ・1 0 1 P3 1 1 1 4 2 4 求: (X、Y)的联合槪率分布。 39.已知随机变MX Y 0 1 4(刀) 1 1 2 2 且P{XY=0|=l,^: (1)(X,Y)的联合槪率分布O (2)XY是否独立。 40.设随机变SU在[-2,2]上服从均匀分布,令 -I,U<\ 1,c/>r 求: (X,Y)的联合概率分布。
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- 第二 随机变量 极其 分布