双曲线离心率专题.docx
- 文档编号:26325315
- 上传时间:2023-06-17
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:94.59KB
双曲线离心率专题.docx
《双曲线离心率专题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《双曲线离心率专题.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
双曲线离心率专题
双曲线离心率专题
一.选择题(共40小题)
1.已知F1,F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P,若点P在以线段F1F2为直径的圆,则双曲线离心率的取值围是( )
A.(1,2)B.(1,)C.(,2)D.(2,+∞)
2.已知双曲线C:
=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A,B,点P是C上异于A,B的一点,直线PA,PB的倾斜角分别为α,β.若=﹣,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
3.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点的一条直线与双曲线交于A,B两点,点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=,则该双曲线离心率e的值为( )
A.2B.C.2D.
4.已知F1(﹣c,0),F2(c,0)为双曲线的两个焦点,若双曲线上存在点P使得,则双曲线离心率的取值围为( )
A.(1,+∞)B.[2,+∞)C.D.
5.双曲线C1:
(a>0,b>0)的焦点为F1(0,﹣c)、F2(0,c),抛物线C2:
的准线与C1交于M、N两点,且以MN为直径的圆过F2,则椭圆的离心率的平方为( )
A.B.C.D.
6.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A,且2|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为( )
A.B.C.D.
7.已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>)的左焦点为F,右顶点为E,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A,B,若△ABE为锐角三角形,则双曲线C的离心率的取值围为( )
A.(1,2)B.(1,2]C.(2,3]D.[2,3)
8.已知双曲线的一条渐近线过点(2,﹣1),则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
9.已知双曲线E:
﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在E上,MN∥F1F2,|MN|=|F1F2|,线段F2M交E于点Q.且=,则E的离心率为( )
A.B.C.2D.
10.已知双曲线C1:
﹣=1(a>0,b>0)和C2:
﹣=1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则C1的离心率为( )
A.或B.2或C.2或D.或
11.已知F为双曲线C:
x2﹣m2y2=3(m>0)的一个焦点,若点F到C的一条渐近线的距离为3,则该对曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.3
12.设F1,F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点,两曲线在第一象限交于点M,△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,且|MF1|=2,若椭圆C1的离心率,则双曲线C2的离心率e2的取值围是( )
A.(1,5]B.[2,4]C.[2,5]D.[4,5]
13.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点(﹣2,1),则它的离心率为( )
A.B.C.D.
14.双曲线﹣=1(a>0,b>0)的实轴为A1A2,虚轴的一个端点为B,若三角形A1A2B的面积为b2,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
15.过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
16.若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为,则该双曲线的离心率为( )
A.3B.2C.D.
17.已知双曲线,四点P1(2,1),P2(1,0),P3(﹣2,),P4(2,)中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.5
18.若双曲线的渐近线与抛物线相切,则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
19.过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的右顶点,若点M在以AB为直径的圆的外部,则此双曲线的离心率e的取值围为( )
A.()B.(1,)C.(2,+∞)D.(1,2)
20.已知双曲线C1:
(a>0,b>0)的焦点为F1(0,﹣c),F2(0,c),抛物线C2:
的准线与C1交于M、N两点,且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
21.已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C右支上的一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q,若|F2Q|=2|AQ|,|OA|=b(O是坐标原点)则双曲线C的离心率是( )
A.B.C.5D.+1
22.已知双曲线E:
﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线E右支上的一点,若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点,则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.2D.
23.已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
24.设F1,F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点.若双曲线上存在点M,使∠F1MF2=90°,且|MF1|=2|MF2|,则双曲线离心率为( )
A.B.C.2D.
25.已知双曲线=1(a>0,b>0),若直线1:
y=(x+c)(c为双曲线的半焦距)恰好与圆:
x2+y2=a2相切,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
26.设F1,F2是双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M是双曲线右支上一点,|MF2|=|F1F2|,并且sin∠F1MF2=,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
27.已知双曲线的标准方程,F1,F2为其左右焦点,若P是双曲线右支上的一点,且tan∠PF1F2==2,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
28.若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方,则C的离心率的取值围为( )
A.(4,+∞)B.(1,4)C.(2,+∞)D.(1,2)
29.若m<﹣2,则双曲线的离心率的取值围是( )
A.B.C.D.
30.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°,则双曲线M的离心率是( )
A.B.C.2D.或2
31.直线x=2a与双曲线﹣=1(a>0,b>0)在第一和第四象限分别交于点M和N.O为坐标原点,A为y轴上一点〔(不与O重合),若∠AOM=∠MON,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
32.双曲线C:
=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M,N两点若△MNF1是直角三角形,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
33.已知双曲线﹣=1,经过点M(2,2),则其离心率e=( )
A.B.C.D.
34.已知F1,F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线右支上的点,且∠F1PF2=45°,若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
35.已知点P(1,2)在双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线上,则C的离心率是( )
A.B.C.D.
36.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线交双曲线右支于P,Q两点,PQ⊥PF1,且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
37.已知双曲线的渐近线方程为y=,则双曲线的离心率( )
A.B.C.或D.或
38.设双曲线的一个焦点为F,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,且与另一条渐近线交于点B,若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.2C.D.
39.若双曲线的两个焦点为F1,F2,若双曲线上存在一点P,满足|PF1|=3|PF2|,则该双曲线的离心率的取值围是( )
A.1<e<2B.1≤e≤2C.1<e≤2D.1≤e<2
40.F为双曲线(a>0,b>0)右焦点,M,N为双曲线上的点,四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为bc,则双曲线的离心率为( )
A.2B.C.D.
双曲线离心率专题
参考答案与试题解析
一.选择题(共40小题)
1.已知F1,F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P,若点P在以线段F1F2为直径的圆,则双曲线离心率的取值围是( )
A.(1,2)B.(1,)C.(,2)D.(2,+∞)
【解答】解:
设F1(﹣c,0),双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,
过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=(x+c),
联立渐近线方程y=﹣x,可得交点P(﹣c,),
点P在以线段F1F2为直径的圆,可得
(﹣c)2+()2<c2,
即有<3,
可得双曲线的离心率e==<2,但e>1,
即1<e<2.
故选:
A.
2.已知双曲线C:
=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A,B,点P是C上异于A,B的一点,直线PA,PB的倾斜角分别为α,β.若=﹣,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
双曲线C:
=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A(﹣a,0),B(a,0),
点P(m,n)是C上异于A,B的一点,
可得﹣=1,即有=,
设k1=tanα=,k2=tanβ=,
k1k2=tanαtanβ===,
若=﹣,则==﹣,
解得tanαtanβ=5,
即b2=5a2,
可得双曲线的离心率为e===.
故选:
D.
3.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点的一条直线与双曲线交于A,B两点,点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=,则该双曲线离心率e的值为( )
A.2B.C.2D.
【解答】解:
如图,可设|AF|=m,|OF|=c,F'为双曲线的左焦点,
连接AF',BF',
可得四边形AFBF'为矩形,
在直角三角形ABF中,∠ABF=,
即有|BF|=m,|AF'|=m,
2c=2m,2a=m﹣m,
则双曲线的离心率e===+1.
故选:
B.
4.已知F1(﹣c,0),F2(c,0)为双曲线的两个焦点,若双曲线上存在点P使得,则双曲线离心率的取值围为( )
A.(1,+∞)B.[2,+∞)C.D.
【解答】解:
设P(m,n),可得m2+n2≥a2,
由•=(﹣c﹣m,﹣n)•(c﹣m,﹣n)=m2﹣c2+n2=﹣c2,
可得m2+n2=c2,
则c2≥a2,
即有e=≥,
故选:
C.
5.双曲线C1:
(a>0,b>0)的焦点为F1(0,﹣c)、F2(0,c),抛物线C2:
的准线与C1交于M、N两点,且以MN为直径的圆过F2,则椭圆的离心率的平方为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
抛物线C2:
的准线方程为y=﹣c,
焦点坐标为(0,c),
由,解得x=±,
以MN为直径的圆的方程为x2+(y+c)2=,
以MN为直径的圆过F2,
可得4c2=,
即有4c2a2=(c2﹣a2)2,
即为a4﹣6a2c2+c4=0,
解得a2=(3﹣2)c2,
椭圆的离心率的平方为
=1﹣(3﹣2)=2﹣2.
故选:
C.
6.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A,且2|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
可设A为第一象限的点,且|AF1|=m,|AF2|=n,
由题意可得2m=3n,①
由双曲线的定义可得m﹣n=2a,②
由勾股定理可得m2+n2=4(a2+b2),③
联立①②③消去m,n,可得:
36a2+16a2=4a2+4b2,即b2=12a2,
则e====,
故选:
D.
7.已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>)的左焦点为F,右顶点为E,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A,B,若△ABE为锐角三角形,则双曲线C的离心率的取值围为( )
A.(1,2)B.(1,2]C.(2,3]D.[2,3)
【解答】解:
根据双曲线的对称性,得:
△ABE中,|AE|=|BE|,
∴△ABE是锐角三角形,即∠AEB为锐角,
由此可得Rt△AFE中,∠AEF<45°,得|AF|<|EF|,
∵|AF|==,|EF|=a+c,
∴<a+c,即2a2+ac﹣c2>0,
两边都除以a2,得e2﹣e﹣2<0,解之得﹣1<e<2,
∵双曲线的离心率e>1,
∴该双曲线的离心率e的取值围是(1,2),
故选:
A.
8.已知双曲线的一条渐近线过点(2,﹣1),则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
∵双曲线的一条渐近线过点(2,﹣1),
∴渐近线方程为y=±x,
因此,点(2,﹣1)在直线y=﹣x上,可得a=4,
∴b=2,可得c=2,
由此可得双曲线的离心率e==.
故选:
C.
9.已知双曲线E:
﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在E上,MN∥F1F2,|MN|=|F1F2|,线段F2M交E于点Q.且=,则E的离心率为( )
A.B.C.2D.
【解答】解:
F1(﹣c,0),F2(c,0),
∵MN∥F1F2,|MN|=|F1F2|,
∴M的横坐标为﹣,N的横坐标为,
把x=﹣代入﹣=1得:
y=±
=±b,
∴M(﹣,b),
∵=,即Q为MF2的中点,∴Q(,),
把Q坐标代入双曲线方程得:
﹣=1,即﹣+=1,
解得e=.
故选:
B.
10.已知双曲线C1:
﹣=1(a>0,b>0)和C2:
﹣=1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则C1的离心率为( )
A.或B.2或C.2或D.或
【解答】解:
双曲线C1:
﹣=1(a>0,b>0)
和C2:
﹣=1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,
可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°,
即有=或,
e===或2.
故选:
B.
11.已知F为双曲线C:
x2﹣m2y2=3(m>0)的一个焦点,若点F到C的一条渐近线的距离为3,则该对曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.3
【解答】解:
F为双曲线C:
x2﹣m2y2=3(m>0)的一个焦点(,0),
点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3,
可得:
=3,解得m=,
则a=,c=2,
双曲线的离心率为:
e==2.
故选:
B.
12.设F1,F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点,两曲线在第一象限交于点M,△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,且|MF1|=2,若椭圆C1的离心率,则双曲线C2的离心率e2的取值围是( )
A.(1,5]B.[2,4]C.[2,5]D.[4,5]
【解答】解:
∵F1,F2为椭圆C1:
+=1(a>b>0)与双曲线C2的左右焦点,
△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,且|MF1|=2,
∴|MF2|=|F1F2|=2c,
∵椭圆C1的离心率e1∈[,],
∴当e1=时,=,解得c=,
双曲线C2的离心率e2==2,
当e1=时,=,解得c=,
双曲线C2的离心率e2==5,
∴双曲线C2的离心率取值围是[2,5].
故选:
C.
13.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点(﹣2,1),则它的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,﹣1),
可得2b﹣a=0,即4c2﹣4a2=a2,
可得4c2=5a2
e=.
故选:
A.
14.双曲线﹣=1(a>0,b>0)的实轴为A1A2,虚轴的一个端点为B,若三角形A1A2B的面积为b2,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
设B(0,b),则|A1A2|=2a,
∵三角形A1A2B的面积为b2,
∴S=×2a•b=ab=b2,
即a=b,
则离心率e====,
故选:
A.
15.过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
x=2a时,代入双曲线方程可得y=±b,取P(2a,﹣b),
∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为,
∴=
∴e==2+.
故选:
B.
16.若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为,则该双曲线的离心率为( )
A.3B.2C.D.
【解答】解:
∵双曲线不妨设为:
(a>0,b>0)的渐近线与实轴的夹角为30°,
∴a=b,
∴c==2b,
∴e===.
故选:
D.
17.已知双曲线,四点P1(2,1),P2(1,0),P3(﹣2,),P4(2,)中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.5
【解答】解:
根据双曲线的性质可得P3(﹣2,),P4(2,)中在双曲线上,
则P1(2,1),一定不在双曲线上,则P2(1,0)在双曲线上,
∴a=1,,
解得b2=,
∴c2=a2+b2=,
∴c=,
∴e==,
故选:
A.
18.若双曲线的渐近线与抛物线相切,则C的离心率为( )
A.B.C.2D.
【解答】解:
双曲线的渐近线为y=±x,
所以其中一条渐近线方程为y=x,
又因为渐近线与抛物线y=x2+相切,
所以,消去y得x=x2+,
即x2﹣x+=0,
所以△=﹣4×1×=0,
解得b=a,
又c2=a2+b2,所以c2=a2,
所以离心率e==.
故选:
A.
19.过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的右顶点,若点M在以AB为直径的圆的外部,则此双曲线的离心率e的取值围为( )
A.()B.(1,)C.(2,+∞)D.(1,2)
【解答】解:
设双曲线方程为,a>0,b>0
则直线AB方程为:
x=﹣c,
因此,设A(﹣c,m),B(﹣c,﹣m),
∴,解之得m=,得|AF|=,
∵双曲线的左焦点M(﹣a,0)在以AB为直径的圆外部,
∴|MF|>|AF|,即a+c>,
将b2=c2﹣a2,并化简整理,得2a2+ac﹣c2>0,
两边都除以a2,整理得e2﹣e﹣2<0,∵e>1,解之得1<e<2,
故选:
D.
20.已知双曲线C1:
(a>0,b>0)的焦点为F1(0,﹣c),F2(0,c),抛物线C2:
的准线与C1交于M、N两点,且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
抛物线C2:
的准线方程为y=﹣c,焦点坐标为(0,c)
由,解得x=±,则MN=,
∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形,
∴=tan60°=,
∴2ac=b2=(c2﹣a2),
即2e=(e2﹣1),
解得e=,
∴椭圆的离心率为==,
故选:
B.
21.已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C右支上的一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q,若|F2Q|=2|AQ|,|OA|=b(O是坐标原点)则双曲线C的离心率是( )
A.B.C.5D.+1
【解答】解:
设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M,在AP上的切点为N,
则|PM|=|PN|,|AQ|=|AN|,|QF2|=|MF2|,
由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|,
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|
=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|
=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|
=﹣==2a,
化为9a2=2c2﹣a2,
即5a2=c2,
离心率e==.
故选:
B.
22.已知双曲线E:
﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线E右支上的一点,若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点,则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.2D.
【解答】解:
由已知中点P是双曲线E右支上的一点,线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点,
可得P点横坐标为c,
则P为通径的一个端点,
则,
即b=2a,
则c==,
故双曲线E的离心率e=,
故选:
D.
23.已知双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,
即=,
∴b=a,
∴c==a,
∴双曲线的离心率为e===.
故选:
D.
24.设F1,F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点.若双曲线上存在点M,使∠F1MF2=90°,且|MF1|=2|MF2|,则双曲线离心率为( )
A.B.C.2D.
【解答】解:
设F1,F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点.
若双曲线上存在点M,使∠F1MF2=90°,且|MF1|=2|MF2|,
设|MF2|=t,|MF1|=2t,(t>0)
双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t,2c==t=2a,
∴离心率为,
故选:
D.
25.已知双曲线=1(a>0,b>0),若直线1:
y=(x+c)(c为双曲线的半焦距)恰好与圆:
x2+y2=a2相切,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
【解答】解:
直线1:
y=(x+c)(c为双曲线的半焦距)恰好与圆:
x2+y2=a2相切,
可得=a,
化简可得c=2a,
即e==2,
故选:
C.
26.设F1,F2是双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M是双曲线右支上一点,|MF2|=|F1F2|,并且sin∠F1MF2=,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
设|MF2|=|F1F2|=2c,并且sin∠F1MF2=,
可得cos∠F1MF2==,
由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c,
在△MF1F2中,可得cos∠F1MF2=
==,
即4c=5a,即e==.
故选:
B.
27.已知双曲线的标准方程,F1,F2为其左右焦点,若P是双曲线右支上的一点,且tan∠PF1F2==2,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:
设P(m,n),可得﹣=1,
F1(﹣c,0),F2(c,0)为其左右焦点,
可得直线PF1的斜率k1=,直线PF2的斜率k2=,
k2=﹣2,k1=,
即为=,=﹣2,
解得m=c,n=c,
则﹣=1,
由b2=c2﹣a2,e=可得
9e2﹣=25,
化为9e4﹣50e2+25=0,
即为e2=5(<1舍去),
可得e=.
故选:
A.
28.若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方,则C的离心率的取值围为( )
A.(4,+∞)B.(1,4)C.(2,+∞)D.(1,2)
【解答】解:
双曲线的焦点(0,±),
双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方,
可得:
2﹣4<0,解得b2<3,因为a=1,所以c∈(1,2).
∴双曲线C的离心率的取值围为:
(1,2).
故选:
D.
29.若m<﹣2,则双曲
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 双曲线 离心 专题