将军饮马系列最值问题.docx
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将军饮马系列最值问题
“将军饮马”系列最值问题
1.两点之间,线段最短.
2.点到直线的距离,垂线段最短.
3.
三角形两边之和大于第三边,两边之差小鱼第三边.
-知识讲解
如图,将军从A出发到河边
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.
有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:
饮马,然后再到B地军营视察,显然有许多走法.问怎样走路线最短呢?
精通数理的海伦稍加思索,作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.
F面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.
根据公理:
连接两点的所有线中,线段最短.
若A、B在河流的异侧,直接连接AB,AB与I的交点即为所求.
若A、B在河流的同侧,根据两点间线段最短,那么显然要把折线变成直线再解.
海伦解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理,即轴对称思想
轴对称及其性质:
把一个图形沿某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图
形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称.如等腰ABC是轴对
称图形.
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就是说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
如下图,ABC与A'B'C'关于直线I对称,I叫做对称轴.A和A,B和B',C和C'是对称点.
轴对称的两个图形有如下性质:
1关于某条直线对称的两个图形是全等形;
2对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
3两个图形关于某条直线对称,如果他们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
线段垂直平分线:
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
通常考虑作轴
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高,或者求几条折线段的最小值等情况,对称变换,以“补齐”图形,集中条件。
菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐
所有的轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、
标轴),都可以考察“将军饮马”问题。
题考查。
常见模型:
(1)PA
PB最小
同侧
异侧
A
B
图1
A
实用标准
)①PA
PB最小
同侧
异侧
异侧
②PA
同侧
I
PB最大
B/
异侧
A
I
P使的直线I为APB的角平分线
【变形】异侧时,也可以问:
在直线I上是否存在一点
周长最短
类型一
类型二
(4)
A
B
“过河”最短距离
A'
类型三
B'
类型一
类型二
线段和最小
E
12
\1
I
F
(6)在直角坐标系里的运用
E
12
AI
AI
E
i'
IF
B'
EF=1
APE=BPE
【例11尺规作图,作线段AB的垂直平分线,作
COD的角平分线.
实用标准
【变式练习】已知:
如图,
ABC及两点M、N.求作:
点P,使得PMPN,且P点到
ABC两边
所在的直线的距离相等.
P在直线I
请说明理
【例2】已知点A在直线I外,点P为直线I上的一个动点,探究是否存在一个定点B,当点
上运动时,点P与A、B两点的距离总相等,如果存在,请作出定点B;若不存在,
由.
【例3】如图,在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站,要求到A、B两仓库的距
离和最短,这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理?
A.
【变式练习】如图,M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点,在AB上求一点P,使PMN的周
长最短.
【例4】
如图,AOB45,角内有点P,在角的两边有两点Q、R(均不同于0点),求作Q、
使得PQR的周长的最小.
使从A点到M点及N点的距离和为最小;在直线0Q上也取B点,使从B点到M点和
OA的边的距离和最小.
【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图,正方形ABCD中,AB8,M是DC上的一点,且DM2,
N是AC上的一动点.
求
(1)DNMN的最小值与最大值.
(2)IDNMN\的最小值与最大值.
n\n\
【例8】如图△ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF
的周长为P,请作出周长最小的△DEF.
【习题1】
如图,在等腰RtABC中,CACB3,E的BC上一点,满足BE2,在斜边AB上求作
【习题2】
文档
如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点M、N分别是变AB、BC的中点,在对
实用标准
角线AC求作一点P使得PMPN的值最小.
D.76
【习题6】如图,在平面直角坐标系中,直线I是第一、三象限的角平分线.
实用标准
实验与探究:
(1)由图观察易知A2,0关于直线I的对称点A'的坐标为2,0,请在图中分别标
归纳与发现:
运用与拓广:
(3)已知两点D1,3、E1,4,试在直线I上找一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最
小.
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