组合数学(1).ppt

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组合数学组合数学RichardA.Brualdi著著冯舜玺冯舜玺等等编译编译机械工业出版社机械工业出版社2办公电话：

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3第第0章章绪绪论论组合数学概述nn现代数学可以分为两大类：

一类是研究连续对象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学。

nn计算机出现以后，由于离散对象的处理是计算机科学的核心，研究离散对象的组合数学得到迅猛发展。

4组合数学的历史组合数学的历史幻方问题幻方问题nn传说在公元前传说在公元前2323世纪大禹世纪大禹治水的时候，在黄河支流治水的时候，在黄河支流洛水中，浮现出一个洛水中，浮现出一个大乌大乌龟，甲上背有龟，甲上背有99种花点的图种花点的图案，人们将图案中的花点案，人们将图案中的花点数了一下，竞惊奇地发现数了一下，竞惊奇地发现99种花点数正巧是种花点数正巧是1199这这99个个数，各数位置的排列也相数，各数位置的排列也相当奇妙，横的当奇妙，横的33行、纵的行、纵的33列以及两对角线上各自的列以及两对角线上各自的数字之和都为数字之和都为1515。

上图为三阶洛书5nn组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。

nn1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。

神农幻方2200BC1151441267981011513321615世纪阶幻方6阿基米德寶典阿基米德寶典失落的羊皮書失落的羊皮書阿基米德（阿基米德（287212BC）手稿）手稿nn上图为一份用希腊文写在羊皮纸上图为一份用希腊文写在羊皮纸上的上的阿基米德阿基米德手稿副本手稿副本,最近科学最近科学家借助现代科技手段初步破译了家借助现代科技手段初步破译了古希腊数学家阿基米德的这篇论古希腊数学家阿基米德的这篇论文文,结论是这篇被称作结论是这篇被称作StomachionStomachion的论文解决的是组合数学问题。

的论文解决的是组合数学问题。

7nn在论文中阿基米德是在计算把14条不规则的纸带拼成正方形一共能有多少种不同的拼法。

这在现在被称为tiling问题。

nn当今数学家借助计算机得出的答案是17152种拼法，这在当时是相当困难的。

8贾宪三角（贾宪三角（1050DC）nn中国最早的组合数学中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时理论可追溯到宋朝时期的期的”贾宪三角贾宪三角”,后后来被杨辉引用来被杨辉引用,所以普所以普遍称之为遍称之为”杨辉三角杨辉三角”,这在西方是这在西方是16541654年年由帕斯卡提出，但比由帕斯卡提出，但比中国晚了中国晚了660000多年。

多年。

11，11，2，11，3，3，11，4，6，4，11，5，10，10，5，11，6，15，20，15，6，19七桥问题七桥问题nn近代图论的历史可追溯到近代图论的历史可追溯到1818世纪的世纪的七桥问题七桥问题穿过穿过KnigsbergKnigsberg城的七座桥，要求每座桥通城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。

过一次且仅通过一次。

nnEulerEuler17361736年证明了不可能存在这样的路线。

年证明了不可能存在这样的路线。

10Euler定理定理nn如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途径，则称这个图为径，则称这个图为欧拉图欧拉图。

nn对任意的非空连通图，若它是对任意的非空连通图，若它是欧拉的欧拉的,当且仅当它当且仅当它没有奇度点。

没有奇度点。

KnigsbergKnigsberg桥对应的图桥对应的图1136军官问题军官问题（欧拉欧拉1779）TheGreatFrederic的阅兵难题的阅兵难题-欧拉的困惑欧拉的困惑拉丁方阵拉丁方阵:

正交拉丁方阵正交拉丁方阵:

12欧拉的结论及猜想nn欧拉给出了奇数阶和4的倍数阶正交拉丁方的构造方法。

并提出了下面的猜想：

nn不存在6阶正交拉丁方nn不存在4k+2阶正交拉丁方现在的结论现在的结论nn对任正整数对任正整数n2,6，存在存在n阶正交拉丁方阶正交拉丁方13四色问题四色问题nn在日常生活中我们常常可以遇到组合数学的问题。

在日常生活中我们常常可以遇到组合数学的问题。

比如一个著名的世界难题比如一个著名的世界难题“四色猜想四色猜想”：

一张：

一张地图，用一种颜色对一个地区着色，那么一共只地图，用一种颜色对一个地区着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不需要四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同。

同。

14四色问题四色问题nn18521852年，刚从伦敦大学毕业的年，刚从伦敦大学毕业的FrancisGuthrie提提出了四色猜想。

出了四色猜想。

nn18781878年著名的英国数学家年著名的英国数学家Cayley向数学界征求解向数学界征求解答。

答。

nn此后数学家此后数学家HeawoodHeawood花费了毕生的精力致力于四花费了毕生的精力致力于四色研究，于色研究，于18901890年证明了五色定理（年证明了五色定理（每个平面图每个平面图都是都是55顶点可着色的顶点可着色的）。

）。

nn直到直到19761976年年66月，美国数学家月，美国数学家K.AppelK.Appel与与W.W.HakenHaken，在，在33台不同的电子计算机上，用了台不同的电子计算机上，用了12001200小小时，才终于完成了时，才终于完成了“四色猜想四色猜想”的证明，从而使的证明，从而使四色猜想四色猜想成为了成为了四色定理四色定理。

15组合数学的应用组合数学的应用nn组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中，甚至在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析，城市物流等领域均有重要应用。

16组合数学的应用组合数学的应用nn著名的组合数学家著名的组合数学家ThomasTutteThomasTutte在组合数学界是泰斗级的大师。

在组合数学界是泰斗级的大师。

直到最近人们才知道，原来他直到最近人们才知道，原来他对提前结束对提前结束“二战二战”有着突出有着突出贡献。

贡献。

nnTutteTutte从德军的两条情报密码出从德军的两条情报密码出发，用组合数学的方法，重建发，用组合数学的方法，重建了敌人的密码机，确定了德军了敌人的密码机，确定了德军密码的内部结构，从而获得了密码的内部结构，从而获得了极为重要的情报。

极为重要的情报。

nn密码破译者密码破译者（BBCBBC）17中国邮递员问题中国邮递员问题nn1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。

nn一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，然后返回邮局。

那么如何选择一条尽可能短的路线。

18货郎担问题货郎担问题nn一个货郎要去若干城镇卖货，然后回到出发地，给定各城镇之间所需的旅行时间后，应怎样计划他的路线，使他能去每个城镇恰好一次而且总时间最短？

19货郎担问题货郎担问题nn用图论的术语说，就是在一个赋权完全图中，找出一个具有最小权的Hamilton圈（包含图G的每个顶点的圈）。

nn这个问题目前还没有有效的算法。

nnHamilton问题是图论的一个重要问题，图论中的许多问题，包括四色问题、图的因子问题，最终都与Hamilton问题有关。

无尺度网络无尺度网络nn2020世纪世纪2020年代，由年代，由KarinthyKarinthy提出。

提出。

nn19501950年，年，PoolPool和和KochenKochen提出这样一个问题：

提出这样一个问题：

“两两个毫无关系的人，要让他们互相认识，至少要经个毫无关系的人，要让他们互相认识，至少要经过多少人？

过多少人？

”nn美国哈佛大学社会心理学家美国哈佛大学社会心理学家S.MilgramS.Milgram在在19671967年做年做过一项有趣的实验，据说他从内布拉斯加州的奥过一项有趣的实验，据说他从内布拉斯加州的奥马哈随机选了马哈随机选了300300人，然后请他们每个人尝试寄一人，然后请他们每个人尝试寄一封信到波士顿的一位证券业务员。

寄信的规则很封信到波士顿的一位证券业务员。

寄信的规则很简单，就是任何收信者只能把信寄给自己熟识的简单，就是任何收信者只能把信寄给自己熟识的人。

人。

重要结论重要结论nn“6度分离”对每个人来说，平均大约只需要通过个人就能将信寄到目的地。

nn研究无尺度网络，对于防备黑客攻击、防治流行病、和开发新药等，都具有重要的意义。

nn在1999年，Barabasietal.发现在因特网上，任意两个网页间的链接最多为19次。

（Nature401,1999）无尺度网络的一个例子无尺度网络的一个例子nn因特网是一个无尺度因特网是一个无尺度网络，左图的星爆形网络，左图的星爆形结构描绘了从某一测结构描绘了从某一测试站点到其他约十万试站点到其他约十万个站点的最短连结路个站点的最短连结路径。

图中以相同的颜径。

图中以相同的颜色来表示相类似的站色来表示相类似的站点。

点。

23一、问题描述一、问题描述一、问题描述一、问题描述假假假假设设设设有有有有一一一一张张张张普普普普通通通通国国国国际际际际象象象象棋棋棋棋棋棋棋棋盘盘盘盘和和和和3232张张张张dominodomino牌牌牌牌，其其其其形形形形状状状状如如如如下下下下:

8:

888象象象象棋棋棋棋棋棋棋棋盘盘盘盘,一一一一张张张张1212格格格格的的的的多多多多米米米米诺诺诺诺牌牌牌牌dominodomino牌。

牌。

牌。

牌。

第一章什么是组合数学1.11.1棋盘的完美覆盖棋盘的完美覆盖24每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两个方格。

每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两个方格。

问问题题（棋棋盘盘的的完完美美覆覆盖盖问问题题）：

是是否否能能够够把把32张张domino牌牌摆摆放放在在棋棋盘盘上上，使使得得任任何何两两张张domino牌牌均均不不重重叠叠，每每张张domino牌牌覆覆盖盖两两个个方方格格，并并且且棋棋盘盘上上所所有有方方格格都都被被覆覆盖盖住住？

如如果果存存在在这这种种完完美美覆覆盖盖，那那么么总总共共有有多多少少种种不不同同的的完完美美覆覆盖盖？

结结论论：

国国际际象象棋棋棋棋盘盘的的不不同同的的完完美美覆覆盖总共有：

盖总共有：

249012=12988816种种25这这种种普普通通的的国国际际象象棋棋棋棋盘盘可可以以用用排排成成m行行n列列的的mn个个方方格格的的一一般般棋棋盘盘代代替替。

此此时时，这这种种棋棋盘盘的的完完美美覆覆盖盖就就未未必必存存在在了了。

比比如如，3行行3列列的的棋棋盘盘就就确确实实不不存存在在完完美美覆覆盖盖。

那那么么，对对于于什什么么样样的的m和和n存存在在完完美美覆覆盖盖呢呢?

不不难难看看出出，当当且且仅仅当当m和和n中中至至少少有有一一个个是是偶偶数数时时,mn棋棋盘盘存存在在完完美美覆覆盖盖。

或或者者说说，当当且且仅仅当当棋棋盘盘的的方方格格数数是是偶数时，偶数时，mn棋盘存在完美覆盖。

棋盘存在完美覆盖。

26再再来来考考查查用用12格格的的多多米米诺诺骨骨牌牌覆覆盖盖去去掉掉了了两两个个对对角角处处格格子子的的88残残缺缺棋棋盘盘，问问能能否否用用31枚骨牌完美覆盖？

枚骨牌完美覆盖？

答答案案是是否否定定的的。

证证明明方方法法很很巧巧妙妙，可可以以先先将将88棋棋盘盘黑黑白白间间隔隔染染色色，去去掉掉的的两两个个对对角角处处格格子子不不是是同同白白，就就是是同同黑黑。

因因此此，88残残缺缺棋棋盘盘剩剩余余的的64-2=62个个格格子子中中黑黑格格数数与与白白格格数数相相差差为为2。

反之，。

反之，27白白白白白白白白白白白白白白白白白白白白黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑黑31黑黑黑黑白白白白若若设设能能用用31枚枚12格格的的骨骨牌牌，若若每每枚枚覆覆盖盖相邻的相邻的2个方格，恰将残