系统的信号流图与梅森公式.docx

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系统的信号流图与梅森公式

6-5 系统的信号流图与梅森公式

一、信号流图的定义

由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。

例如，图6-29（a）所示的系统框图，可用图6-29（b）来表示，图（b）即为图（a）的信号流图。

图（b）中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输（或流动）方向，支路上标注的H（s）代表支路（子系统）的传输函数。

这样，根据图6-29（b），同样可写出系统各变量之间的关系，即

              图6-29

二、三种运算器的信号流图表示

三种运算器：

加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。

由该表中看出：

在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加（求和）的作用，如表中第一行中的节点Y（s）即是。

三、模拟图与信号流图的相互转换规则

模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：

（1） 在转换中，信号流动的方向（即支路方向）及正、负号不能改变。

（2） 模拟图（或框图）中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。

根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即

。

（3） 模拟图（或框图）中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。

（4） 模拟图（或框图）中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路（若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加），但有时则不需增加（若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。

见例6-17）。

（5） 在模拟图（或框图）中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路（见例6-17）。

（6） 在模拟图（或框图）中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路（也可以不增加，见例6-17）。

        图6-30      （a） 模拟图；（b） 信号流图

        图6-31    （a）    模拟图；（b） 信号流图

    例6-17 试将图6-19，图6-20，图6-21，图6-22所示各形式的模拟图画成信号流图。

    解：

与图6-19，图6-20，图6-21，图6-22相对应的信号流图分别如图6-32中（a），（b），（c），（d）所示。

信号流图实际上是线性代数方程组的图示形式，即用图把线性代数方程组表示出来。

有了系统的信号流图，利用梅森公式，即可很容易地求得系统函数H（s）。

这要比从解线性代数方程组求H（s）容易得多。

信号流图的优点是：

（1） 用它来表示系统，要比用模拟图或框图表示系统更加简明、清晰，而且图也易画。

（2） 下面将会知道，信号流图也是求系统函数H（s）的有力工具。

亦即根据信号流图，利用梅森（Mason）公式，可以很容易地求得系统的系统函数H（s）。

例6-18  已知系统的信号流图如图6-33（a）所示。

试画出与之对应的模拟图。

解：

根据模拟图与信号流图的转换规则，即可画出其模拟图，如图6-33（b）所示。

于是可求得此系统的传输函数（请读者求之）为

四、信号流图的名词术语

下面以图6-32（a）为例，介绍信号流图中的一些名词术语。

1节点

表示系统变量（即信号）的点，如图中的点F（s）,s2X（s）,sX（s）,X（s）,Y（s）；或者说每一个节点代表一个变量。

该图中共有5个变量，故共有5个节点。

2支路

连接两个节点之间的有向线段（或线条）称为支路。

每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信号的传输（或流动）方向，支路旁标注的H（s）代表支路（子系统）的传输函数。

例如图中的1,

均为相应支路的传输函数。

                图6-32

                                  （a） 直接形式的信号流图；（b） 并联形式的信号流图

                                  （c） 级联形式的信号流图；（d） 混联形式的信号流图

3激励节点

代表系统激励信号的节点，如图中的节点F（s）。

激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出去的支路，而没有流入它的支路。

激励节点也称源节点或源点。

4响应节点

代表所求响应变量的节点，如图中的节点Y（s）。

有时为了把响应节点更突出地显示出来，也可从响应节点上再增加引出一条传输函数为1的有向支路，如图6-32（a）中最右边的虚线条所示。

                         图6-33

5混合节点

若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样的节点即为混合节点。

混合节点除了代表变量外，还对输入它的信号有求和的功能，它所代表的变量就是所有输入信号的和，此和信号就是它的输出信号。

6通路

从任一节点出发，沿支路箭头方向（不能是相反方向）连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。

7环路

若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。

如图6-32（a）中共有两个环路：

。

环路也称回路。

8开通路

与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。

9前向开通路

从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。

如图6-32（a）中共有三条前向通路：

;

。

10互不接触的环路

没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。

在图6-32（a）中不存在互不接触的环路。

11自环路

只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。

12环路传输函数

环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。

13前向开通路的传输函数

前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。

五、 梅森公式（Mason’sFormula）

从系统的信号流图直接求系统函数

的计算公式，称为梅森公式。

该公式如下：

                     （6-34）

此公式的证明甚繁，此处略去。

现从应用角度对此公式予以说明。

式中

                （6-35）

Δ称为信号流图的特征行列式。

式中：

为第i个环路的传输函数，i

为所有环路传输函数之和；

为两个互不接触环路传输函数的乘积，

为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；

为三个互不接触环路传输函数的乘积，

为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；

为由激励节点至所求响应节点的第k条前向开通路所有支路传输函数的乘积；

为除去第k条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。

求

的公式仍然是式（6-35）。

例6-19  图6-34（a）所示系统。

求系统函数

。

解：

1求Δ

（1） 求

：

该图共有5个环路，其传输函数分别为

，

，

故      

                           图6-34

（2） 求

:

该图中两两互不接触的环路共有3组：

故

该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有

；…。

故得

2求

（1） 求

：

该图共有3个前向通路，其传输函数分别为

（2） 求

:

除去

前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34（b）所示。

该子图共有两个环路，故

故            

除去

前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

故得

3求H（s）

例6-20图6-35（a）所示系统。

求系统函数

。

解

（1） 求

。

该系统共有5个环路：

故

该系统共有4组两两互不接触的环路：

故

            图6-35

该系统中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有

。

故得

 该系统从F（s）到

共有两个前向通路，即F（s）→4→A（s）→B（s）→1→Y（s）；F（s）→5→G（s）→Q（s）→A（s）→B（s）→1→Y（s）。

故有

求

的子信号流图如图635（b）所示，故有

因除去与

前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

故得

故得

（2） 求

。

Δ的求法与结果完全同上。

该系统从F（s）到

共有两个前向通路：

求

的子信号流图如图6-35（c）所示；同理可求得

故

故得

例6-21试画出图6-28所示用框图表示的系统的信号流图，并用梅森公式求子系统函数

。

       图6-36

解：

 所画出的信号流图如图6-36所示。

下面用梅森公式求

。

故              

故得              

可见与例6-16所得结果相同。

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