正方形的性质与判定课件[1].ppt

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正方形的性质与判定正方形的性质与判定四边形四边形两组对边分别平行两组对边分别平行平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形一角为一角为9090一组邻边相等一组邻边相等你觉得什么样的四你觉得什么样的四边形是正方形呢边形是正方形呢?

矩矩形形正方形矩形怎样变化后就成了正方形呢矩形怎样变化后就成了正方形呢?

探究

（一）探究

（一）22、要使一个矩形成为正方形需、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是添加的条件是（填上一个条件即可）（填上一个条件即可）有一组邻边相等探探究

（二）究

（二）菱形怎样变化后就成了正方形呢菱形怎样变化后就成了正方形呢?

正方形正方形11、要使一个菱形成为正方形需、要使一个菱形成为正方形需增加的条件是增加的条件是（填上一个条件即可）（填上一个条件即可）有一个角是直角探究小结探究小结矩形正方形邻边邻边相等相等发现：

发现：

一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形叫正方形叫正方形菱菱形形一个角一个角是直角是直角正方形发现：

发现：

一个角为直角的菱形叫一个角为直角的菱形叫正方形正方形正方形定义正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形讨论总结讨论总结:

正方形有那些性质正方形有那些性质?

知识点一：

n正方形的性质观察思考：

正方形是中心对称图形吗观察思考：

正方形是中心对称图形吗?

性性质质边边角角对角线对角线对称性对称性图图形形语语言言文文字字语语言言符符号号语语言言ACDBACDBACDBO对边平行，对边平行，四条四条边都边都相等相等四四个个角角都是直角都是直角对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等，每平分且相等，每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角四边形四边形ABCD是是正方形正方形ABCDADBC,AB=BC=CD=AD四边形四边形ABCD是是正方形正方形A=B=C=D=90四边形四边形ABCD是正方是正方形形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴轴对对称称图图形形中中心心对对称称图图形形二、二、正正方方形形的的性性质质的的应应用用例例11、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD中，中，（11）一条对角线把它分成）一条对角线把它分成个全等的三个全等的三角形。

角形。

问：

这些三角形是什么三角形？

问：

这些三角形是什么三角形？

（22）两条对角线把）两条对角线把它分成它分成个全等的个全等的三角形。

三角形。

24等腰直角等腰直角ABDCO（33）对角线）对角线ACAC与正与正方形的一边所成的角方形的一边所成的角为为度。

度。

45例例2、如图，正方形、如图，正方形ABCD中，中，ABDCO正方形的面积为正方形的面积为64平方厘米，则平方厘米，则正方形对角线正方形对角线AC=。

82cm1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角C2.2.已知正方形的一条边长为已知正方形的一条边长为2cm,2cm,则这个正方形的则这个正方形的周长为周长为,对角线长为对角线长为,面积为面积为.8cm3.3.正方形的对角线和它的边所成的角是正方形的对角线和它的边所成的角是度度.454.4.已知正方形的一条对角线长为已知正方形的一条对角线长为4cm,4cm,则它的边长则它的边长为为，面积为面积为。

5.5.已知正方形已知正方形ABCDABCD中中,对角线对角线AC=10cm,PAC=10cm,P为为ABAB上任意一上任意一点点,PEAC,PFBD,E,PEAC,PFBD,E、FF为垂足为垂足,则则PE+PF=PE+PF=。

5cmABCDFPEOADCBO正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？

拓展讨论拓展讨论:

结论：

结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、ADC、ABD、BCD；AOB、BOC、COD、DOA.平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？

正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？

对边平行且相等对边平行且相等每条对角线平分每条对角线平分一组对角一组对角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直对角线互相平分对角线互相平分四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四条边都相等四条边都相等性质性质正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形边形图形图形小结小结知识拓展知识拓展:

与同学讨论后填写下表：

与同学讨论后填写下表：

边边角角对对角角线线对对称称性性平平行行四边形四边形矩矩形形菱菱形形正方形正方形几种特殊四边形的性质几种特殊四边形的性质对边平行对边平行且相等且相等对边平行对边平行且相等且相等对边平行，对边平行，四边都相四边都相等等对边平行，对边平行，四条边四条边都相等都相等对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角对角线互相平分对角线互相平分对角线相等对角线相等且互相平分且互相平分对角线互相垂直对角线互相垂直平分，每条对角平分，每条对角线平分一组对角线平分一组对角对角线互相垂直平对角线互相垂直平分且相等，每条对分且相等，每条对角线平分一组对角角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形、轴对称图形、中心对称图形中心对称图形轴对称图形、轴对称图形、中心对称图形中心对称图形轴对称图形、轴对称图形、中心对称图形中心对称图形知识点二：

n正方形的判定正方形正方形矩形矩形有一组邻边相等有一组邻边相等菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角平行四边形平行四边形有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等图形之间的变化关系图形之间的变化关系正方形的判定方法：

n2、有一组邻边相等的矩形是正方形n3、有一个角是直角的菱形是正方形n1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）判断四边形是正方形有哪些方法？

判断四边形是正方形有哪些方法？

、先说明它是矩形，再说明这个矩形、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等有一组邻边相等、先说明它是菱形，再说明这个菱形、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角有一个角是直角、先说明它是平行四边形，再说明有、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。

一组邻边相等，并且一个角是直角。

（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）（邻边相等的矩形是正方形）（有一个角是直角的菱形是正方形）巩固练习：

判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？

n四个角都相等的四边形是正方形；四个角都相等的四边形是正方形；（）n四条边都相等的四边形是正方形；四条边都相等的四边形是正方形；（）n对角线相等的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；（）n对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；（）n对角线垂直且相等的四边形是正方形对角线垂直且相等的四边形是正方形;（）n四边相等，有一个角是直角的四边形四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形是正方形.（）已知已知:

正方形正方形ABCDABCD中中,点点EE、FF、GG、HH分别在分别在ABAB、BCBC、CDCD、DADA上上,且且AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,试判断四试判断四边形边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗?

为什么为什么?

123证明：

证明：

四边形四边形ABCD是正方形是正方形ABC=BCD=90；AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）又又AE=BF=CG=DHAB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF即即BE=AH=DG=CFAEHBFECGFDHGEH=EF=FG=GH四边形EFGH是菱形又又3+2=90且且131+2=90EFG=90四边形四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）菱形是矩形）练习练习.如图，四边形是正如图，四边形是正方形，、分别是四方形，、分别是四边的中点。

你知道四边形边的中点。

你知道四边形EFGHEFGH的的形状吗？

为什么？

形状吗？

为什么？

2.已知已知:

如图如图,ABC中中.ABC=90,BD是角平是角平分线分线,DEAB,DFBC,垂足分别是垂足分别是E、F.FABCDE试说明：

四边形试说明：

四边形DEBF是正方形是正方形.解解:

DFBC,DEAB,DEB=DFB=90,又又ABC=90,四边形四边形DEBF是矩形是矩形BD平分平分ABC,DFBC,DEAB,DE=DF四边形四边形DEBF是正方形是正方形n如图，在矩形中，四个如图，在矩形中，四个角的平分线相交于点、角的平分线相交于点、，试说明四边形，试说明四边形EFGH是正方是正方形。

形。

小结小结1、正方形定义、正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有那些性质、正方形有那些性质对边平行，四条边都相等对边平行，四条边都相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角等于每条对角线平分一组对角等于45边：

边：

角：

角：

对角线：

对角线：

3、正方形有那些判定方法（请各同学根、正方形有那些判定方法（请各同学根据自己的实际具体分类）据自己的实际具体分类）正方形的判定方法：

n2、有一组邻边相等的矩形是正方形n3、有一个角是直角的菱形是正方形n1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）正方形常考点练习巩固与提升例：

正方形例：

正方形ABCD中中DAF=25,AF交对交对角线角线BD于于E,交交CD于于F,求求BEC的度数的度数.ABCDEF若若FEC=30则则DAF=2530例例3已知：

如图已知：

如图（4）在正方形在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线延长线上一点，上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：

求证：

MFD45分析：

分析：

欲证欲证MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只须证只须证MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要证即只要证_=_要证要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等，大家只须证得哪两个三角形全等?

CMDADF练习练习如图如图（5），在，在AB上取一点上取一点C，以，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正为正方形的一边在同一侧作正方形方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延长延长BD交交AF于于H。

求证：

求证：

（1）ACFDCB

（2）BHAF证明：

证明：

如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那么线段AE和DG有什么大小关系？

请说明理由。

AEFGDCB123例题赏析例题赏析在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是对角线是对角线,AE,AE平分平分BAC,BAC,试猜想试猜想ABAB、BEBE、ACAC之间的大小关之间的大小关系，并证明你的猜想系，并证明你的猜想GFEDABC例例2如图如图（3），正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O，分析：

分析：

要证明要证明BMCN，MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：

求证：

BMCN。

AB=BC，1=2=45AM=BNABMBCN正方形正方形ABCDOM=ONOMNONM45活动与探索活动与探索ABCDEF如图正方形如图正方形ABCD的边长为的边长为1，E、F分别为分别为BC、CD上的点，若上的点，若BE+DF=EF，求证：

求证：

EAF=450G变式：

如图，正方形变式：

如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，点，