完整版几何图形折叠问题.docx
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完整版几何图形折叠问题
几何图形折叠问题
【疑难点拨】
1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中,其实质是轴对称性质的应用•解题
的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量,运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角
之间的联系.
2.折叠(翻折)意味着轴对称,会生成相等的线段和角,这样便于将条件集中•如果题目中有直角,则通常
将条件集中于较小的直角三角形,利用勾股定理求解.
3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线段
长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图),从而构造相似三角形,利用相似三角形
求边或者角的度数.
4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时,第一反应即存在一组全等图形,其次找出与要求几何量相
关的条件量.1.常见的轴对称图形:
等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质:
折叠的实质是轴对
称,折叠前后的两图形全等,对应边和对应角相等.
【基础篇】
一、选择题:
1..(2018?
四川凉州?
3分)如图将矩形ABCD&对角线BD折叠,使C落在C'处,BC'交AD于点E,则下到结
论不一定成立的是()
AD=BCB.ZEBD=/EDBC.AABE^ACBDDsin/ABE*
A.I
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帮助预子個建持续iS步的孚刃力
2.(2017山东烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6取
OA的中点C,过点C作CDLOA交理于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,
用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为(.
A.36n-108B.108-32nC.2nD.n
于点F,则DF的长等于()
B.3.2C.3
ABCAB=AC/BAC=90,点E为AB中点.沿过点E的直线折
5.
(2017乌鲁木齐)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4胚且/AFG=60,GE=2BG则折痕EF的长为()
A.1B.说C.2D.加
HiSMldy」畅字刃VIPT住叱
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二、填空题:
6.(2018•辽宁省盘锦市)如图,已知Rt△ABC中,/B=90°,/A=60°,AC=2三+4,点MN分别在线段AC.AB
D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN勺长为.
8.(2018•湖南省常德
已知/DGH=30,连接
(1)求证:
△ADE^ACED
ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C
2=75°,EF=+1,则BC的长
-3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,
BG则/AGB=
三、解答与计算题:
9.(2018•广东•7分)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,
AE交CD于点F,连接DE
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10—(2018?
山东枣庄?
10分)如图,将矩形—D交
AF于点G,连接DG
(1)求证:
四边形EFDG是菱形;
(2)探究线段EGGFAF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AG=6EG=2E,求BE的长.
【能力篇】
一、选择题:
11.(2018•辽宁省阜新市)如图,将等腰直角三角形ABC(/B=90°)沿EF折叠,使点A落在BC边的中点A
处,BC=8,那么线段AE的长度为()
12.(2018•四川省攀枝花・3分)如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD使B点落在点P处,折痕为EC连结AP并延长AP交CD于F点,连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论:
1四边形AECF为平行四边形;
2/PBA=ZAPQ
3厶FPC为等腰三角形;
4厶APB^AEPC
其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
D
G
E
C
E
15.(2018•四川宜宾•3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3CB=2,点E为线段AB上的动点,将△CBE沿CE
①当E为线段AB中点时,AF//CE;
②当E为线段AB中点时,AF=9;
5
④当AF、C三点共线时,△CEF^AAEF.
B
C
■BC*
图二备用图
U!
三、解答与计算题:
16.(2018•湖北省宜昌•11分)在矩形ABCD中,AB=12P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B
的对应点是点G,过点B作BELCG垂足为E且在AD上,BE交PC于点F.
(1)如图1,若点E是AD的中点,求证:
△AEB^ADEC
(2)如图2,①求证:
BP=BF
③当BP=9时,求BE?
EF的值.
17.(2018•广东•7分)如图,矩形ABCC中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,
AE交CD于点F,连接DE
HiSMc!
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HiStUCU快乐字刃VIPT性比
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18.(2018?
江苏盐城?
10分)如图,在以线段二5■为直径的上取一点,连接、就•将_二弓匚沿.止
翻折后得到□.
(1)试说明点在上;
(2)在线段.:
「的延长线上取一点,使上厂—」一丄.求证:
三壬为①门的切线;
(3)在
(2)的条件下,分别延长线段、匚吕相交于点,若m厂=J,二匸=-,求线段的长•
【探究篇】
19.(2018年江苏省泰州市?
12分)对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作:
先沿CE折叠,使点B落在CD
边上(如图①),再沿CH折叠,这时发现点E恰好与点D重合(如图②)
(2)将该矩形纸片展开.
1如图③,折叠该矩形纸片,使点C与点H重合,折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证:
/HPC=90;
2不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的P点,要求只有一条折痕,且点P
在折痕上,请简要说明折叠方法•(不需说明理由)
沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点AD重合),点C落在点N处,MNWCD交
设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.
几何图形折叠问题
【疑难点拨】
1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中,其实质是轴对称性质的应用•解题
的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量,运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角
之间的联系.
2.折叠(翻折)意味着轴对称,会生成相等的线段和角,这样便于将条件集中•如果题目中有直角,则通常将条件集中于较小的直角三角形,利用勾股定理求解.
3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线段
长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图),从而构造相似三角形,利用相似三角形
求边或者角的度数.
4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时,第一反应即存在一组全等图形,其次找出与要求几何量相
关的条件量.1.常见的轴对称图形:
等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质:
折叠的实质是轴对
称,折叠前后的两图形全等,对应边和对应角相等.
【基础篇】
一、选择题:
1..(2018?
四川凉州?
3分)如图将矩形ABCD&对角线BD折叠,使C落在C'处,BC'交AD于点E,则下到结论不一定成立的是()
A.AD=BCB.ZEBD=/EDBC.AABE^ACBDDsin/ABE*
ED
【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系,即可选出正确答案.
【解答】解:
A、BC=BC,AD=BC二AD=BC,所以正确.
B、/CBD2EDB/CBD=/EBDEBD2EDB正确.
AE
D、tsin/ABE』,
BE
•••ZEBD=/EDB
•••BE=DE
•sin/ABE^.
ED
故选:
C.
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【点评】本题主要用排除法,证明A,B,D都正确,所以不正确的就是—C,排除法也是数学中一种常用的解题方
法.
2.(2017山东烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6取
OA的中点C,过点C作CDLOA交丽于点D,点F是廳上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,
用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为(.
A.36n-108B.108-32nC.2nD.n
【考点】MO扇形面积的计算;P9:
剪纸问题.
1
【分析】先求出/ODCMBOD=30,作DELOB可得DE=OD=3先根据S弓形bd=S扇形bod-&bod求得弓形的面积,
2
再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.
【解答】解:
如图,•••CDLOA
•••/DCOMAOB=90,
•••/ODCMBOD=30,
则DE=OD=3
则剪下的纸片面积之和为12X(3n-9)=36n-108,
故答案为:
36n-108.故选A
3.(2017浙江衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6将厶ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD
于点F,则DF的长等于()
His【udy』?
i乐字刃]vi卩卞性比
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【考点】PB翻折变换(折叠问题);LB:
矩形的性质.
EF=DF;易得FC=FA
2,解方程求出x.
【分析】根据折叠的性质得到AE=AB/E=ZB=90°,易证Rt△AEF^Rt△CDF,即可得到结论设FA=x,则FC=x,FD=6-x,在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+(6-x)
【解答】解:
•••矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在厶ACE的位置,•••AE=AB/E=ZB=90°,
又•••四边形ABCD为矩形,
•AB=CD
•AE=DC
而/AFE=ZDFC
•••在△AEF与厶CDF中,
ZAFE-ZCFD
•••△AEF^ACDF(AAS,
•EF=DF;
•••四边形ABCD为矩形,
•AD=BC=6CD=AB=4
•/Rt△AEF^Rt△CDF
•FC=FA
设FA=x,贝UFC=x,FD=6-x,
13在Rt△CDF中,CF=cD+DF,即x2=42+(6-x)2,解得x=,
则FD=6-x=.
故选:
B.
HiStUdyjl?
iS7^lVIPTUk
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4.(2018•山东青岛•3分)如图,三角形纸片ABCAB=AC/BAC=90,点E为AB中点.沿过点E的直线折
叠,使点B与点A重合,折痕现交于点F.已知EF=,贝UBC的长是()
2
A..B.3、2C.3D.33
【分析】由折叠的性质可知/B=ZEAF=45,所以可求出/AFB=90,再直角三角形的性质可知EF丄AB,所以
AB=AC!
的长可求,再利用勾股定理即可求出BC的长.
【解答】解:
•••沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,
•••/B=ZEAF=45,
•••/AFB=90°,
•••点E为AB中点,
13
•EF=—AB,EF=,
22
•AB=AC=3
•••/BAC=90,
•BC=3.2,
故选:
B.
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用,求出/AFB=9C°是解题的
关键.
5.(2017乌鲁木齐)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4胚且/AFG=60,GE=2BG则折痕EF的长为()
HiStUdyjl?
iS7^lVIPTUk
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【考点】PB:
翻折变换(折叠问题);LB:
矩形的性质.
【分析】由折叠的性质可知,DF=GFHE=CEGH=DC/DFE=/GFE结合/AFG=60即可得出/GFE=60,进而
可得出△GEF为等边三角形,在Rt△GHE中,通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2ECDC=
EC,再由GE=2BG吉合矩形面积为4,即可求出EC的长度,根据EF=GE=2EC卩可求出结论.
【解答】解:
由折叠的性质可知,DF=GFHE=CEGH=DCZDFE=ZGFE
•••/GFE+ZDFE=180-ZAFG=120,
•••/GFE=60.
•/AF//GEZAFG=60,
•ZFGE=/AFG=60,
•△GEF为等边三角形,
•EF=GE
•••/FGE=60,/FGE+ZHGE=90,
•ZHGE=30.
在Rt△GHE中,ZHGE=30,
•GE=2HE=C,
•gh==*$he=CE
•/GE=2BG
•BC=BG+GE+EC=4EC
•••矩形ABCD勺面积为4,
•4EC?
^EC=4,
•EC=1,EF=GE=2
故选C.
二、填空题:
6.(2018•辽宁省盘锦市)如图,已知Rt△ABC中,ZB=90°,ZA=60°,AC=2:
;+4,点MN分别在线段AC.AB
上,将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN勺长为.
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【解答】解:
分两种情况:
①如图,当/CDM=90时,△CDM是直角三角形,
②如图,当/CMD=90时,△CDM是直角三角形,
HiStuaai甌字刃VIPT住叱
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I□~I]■
由题可得:
/CDM=60,/A=ZMDN=60,/-ZBDN=60,/BND=30BD空DN=AN,BN庐BD\1AB巫+2,
1_
/•AN=2,BN^3,过N作NHLAM于H,贝UZANH=30,/•AH空AN=1,HN昉,由折叠可得:
ZAMNZDMN=45,
/•△MNH是等腰直角三角形,/•HM=HN=:
/MN=■.
故答案为:
'或;
7.(2018•山东威海•8分)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C
与AD边上的点K重合,FH为折痕.已知Z仁67.5°,Z2=75°,EF=+1,求BC的长.
【分析】由题意知Z3=180°-2Z1=45°、Z4=180°-2Z2=30°、BE=KEKF=FC作KMLBC,设KM=x知EM=x
MF=x,根据EF的长求得x=1,再进一步求解可得.
【解答】解:
由题意,得:
Z3=180°-2Z1=45°,Z4=180°-2Z2=30°,BE=KEKF=FC
如图,过点K作KMLBC于点M
设KM=x贝UEM=xMF^Jx,
x+V3x^3+1,
解得:
x=1,
•••EK=J办KF=2,
.BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++J:
•BC的长为
【点评】本题主要考查翻折变换,解题的关键是掌握翻折变换的性质:
折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
8.(2018•湖南省常德・3分)如图,将矩形ABC[沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知ZDGH=30,连接BG则ZAGB=75
帮朗预子陶建持续进步的孚刃门
/EBC-ZEBG即:
/GBCMBGH由平行线的性质可知/AGB=ZGBC从而易证/AGB2BGH据此可得答案.
【解答】解:
由折叠的性质可知:
GE=BE/EGHMABC=90,
•••/EBG=ZEGB
•••/EGH-ZEGB玄EBC-ZEBG即:
/GBC=/BGH
又•••AD//BC
•ZAGB=ZGBC
•ZAGB=ZBGH
vZDGH=30,
•ZAGH=150,
•ZAGB二ZAGH=75,
2
故答案为:
75°.
【点评】本题主要考查翻折变换,解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质:
折叠前后图形的形状
和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
三、解答与计算题:
9.(2018•广东•7分)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,
AE交CD于点F,连接DE
(1)求证:
△ADE^ACED
(2)求证:
△DEF是等腰三角形.
【分析】
(1)根据矩形的性质可得出AD=BCAB=CD结合折叠的性质可得出AD=CEAE=CD进而即可证出△ADE
◎△CED(SSS;
(2)根据全等三角形的性质可得出ZDEF=ZEDF利用等边对等角可得出EF=DF由此即可证出△DEF是等腰三
角形.
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【解答】证明:
(1):
四边形ABCD是矩形,
•••AD=BCAB=CD
由折叠的性质可得:
BC=CEAB=AE
•AD=CEAE=CD
Cad=ce
在厶人。
£和厶CED中,y],
[DE=EE'
•△ADE^ACED(SSS.
(2)由
(1)得厶ADE^ACED
•••/DEA=/EDC即/DEF=ZEDF,
•EF=DF
•△DEF是等腰三角形.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质,解题的关键是:
(1)根据矩形的性
质结合折叠的性质找出AD=CEAE=CD
(2)利用全等三角形的性质找出/DEF=/EDF
10.(2018?
山东枣庄?
10分)如图,将矩形ABC[沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG/CD交
AF于点G,连接DG
(1)求证:
四边形EFDG是菱形;
(2)探究线段EGGFAF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AG=6EG=V&,求BE的长.
【分析】
(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明/DGF/DFG从而得到GD=DF接下来依据翻折的性质可
证明DG=GE=DF=EF
(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GFLDEOG=OF=GF,接下来,证明△DOF^AADF,由相似三角形的性质可证明dF=FC?
AF,于是可得到GEAF、FG的数量关系;
(3)过点G作GHLDC垂足为H.利用
(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明△FGHTAFAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD-GH求解即可.
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【解答】解:
(1)证明:
TGE//DF,
•••/EGF=ZDFG
•••由翻折的性质可知:
GD=GEDF=EF/DGFMEGF
•••/DGF=/DFG
•GD=DF
•DG=GE=DF=EF
•四边形EFDG为菱形.
1_
(2)EG=:
GF?
AF.
理由:
如图1所示:
连接DE交AF于点O.
1_
•GF丄DE,OG=OF=GF.
•••/DOF=/ADF=90,/OFD2DFA
•△DOF^AADF.
DF_FO
.•.工J:
即dF"=fcpaf.
丄
•/FO=2gFDF=EG
•eG=gf?
af.
(3)如图2所示:
过点G作GH丄DC垂足为H.
丄
•20=FG(FG+6),整理得:
FG+6FG-40=0.
帮朗预子陶建持续iS步的孚刃门解得:
FG=4FG=-10(舍去).
•/DF=GE=2-,AF=10,
/.AD=LI=4.",
•/GHLDCAD丄DC
•••GH//AD.
•••△FGHTAFAD.
GH_FGGHq
.••仙,即4后=10.
•GH=:
.
dF=FO?
AF是解题答问题
(2)的关键,
沿EF折叠,使点A落在BC边的中点A
【解答】解:
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用,利用相似三角形的性质得到依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题(3)的关键.
【能力篇】一、选择题:
11.(2018•辽宁省阜新市)如图,将等腰直角三角形ABC(/B=90°)
12.
处,BC=8,那么线段AE的长度为()
x=5.
故答案为:
5.故选B
3分)如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD使B点落
在点P处,折痕为EC连结AP并延长AP交CD于F点,连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论:
Histua寸快乐字刃vip亍性比帮朗预子陶建持续进步的孚刃门
1四边形AECF为平行四边形;
2/PBA=ZAPQ
3厶FPC为等腰三角形;
4厶APB^AEPC
其中正确结论的个数为()
A.1B.2C.3D.4
解:
①如图,EC,BP交于点G;
•••点P是点B关于直线EC的对称点,•••EC垂直平分BP,•••EP=EB/-ZEBP=ZEPB
•••点E为AB中点,•AE=EB•AE=EP/ZPAB玄PBA
vZPAB+ZPBA+/APB=180,即ZPAB+ZPBA+
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- 关 键 词:
- 完整版 几何图形 折叠 问题