数列通项公式方法大全很经典.docx
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数列通项公式方法大全很经典
1,数列通项公式的十种求法:
(1)公式法(构造公式法)
例1已知数列{an}满足ani2an32n,a,2,求数列{an}的通项公式。
解:
an12an32n两边除以2n1,得開
a23
以2--1为首项,以2为公差的等差数列,
31
所以数列{an}的通项公式为angn-)2n。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an12an
2n转化为2-1
是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出
|n1(n
an
2n
1)2,进而求出数列
i,说明数列
{an}的通项公式。
(2)
累加法
解:
由an1
an
2n1得
an1
an2n
1则
an(an
an1)
(an1
an2
)
a?
)
(a2aj
a1
[2(n
1)
1][2(n
2)
1](
:
22
1)(21
1)1
2[(n
1)
(n2)
III
21](n
1)1
2(n
1)n
2
(n1)
1
(n
2n
1)(n
1)1
所以数列{an
}的通〕
项公式为
an
n2。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式
an1an2n1转化为a.1a.2n1,进而求
3,求数列{an}的通项公式。
变式:
已知数列{an}满足an1an23n1,a1
(3)累乘法
3,求数列{a.}的通项公式。
例3已知数列{an}满足an12(n1)5n务,a“
a
解:
因为an12(n1)5na.,43,所以a.0,则亠2(n1)5n,故
an
anan1a3a2
ana1
an1an2a2a,
[2(n11)511][2(n21)5n2]川[2(21)52][2(11)51]3
2n1[n(n1)32]5(n"(n2)213
n(n1)
32n1n!
n(n1)
所以数列{an}的通项公式为an32n1nL
出Ol!
0101玄1,即得数列{an}的通项公式。
an1On20201
(4)待定系数法
解:
设an1x5n12(anx5n)
2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n,得35x2x,则x1,代入④式得
0n15n12(0.5n)
n
由a156510及⑤式得an50,则
n1
—2,则数列
{an5n}是以
l1‘
a151为首项,以2为公比的等比数列,则an
5n
n1n1
2,故an2
5n。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式an12an
5n转化为an15
2(an5n),
从而可知数列{an5n}是等比数列,进而求出数列
{an
5n}的通项公式,最后再求出数列
{an}的通项公式。
变式:
①已知数列{an}满足an1
3an
n
524,
ai
1,求数列{an}的通项公式。
②已知数列{an}满足an1
2an
3n24n
5,
ai1,求数列{an}的通项公式。
(5)对数变换法
例5已知数列{an}满足an
3n
5
an,a1
7,求数列{an}的通项公式。
解:
因为an123na;,
ai
所以an
0,an10。
在an123na;式两边取
常用对数得lgan15lg
an
nlg3
Ig2
设lgan1x(n1)y
5(lganxny)
11
将⑩式代入⑪式,得
5lgannlg3Ig2
x(n1)y5(lganxny),两边消去
5lgan并整理,得(lg3
x)nx
yig2
5xn5y,则
lg3x5x斗
,故
xylg25y
x朋
4
yig3
16
代入⑪式,得|gan1
豐晋5(lga驴器竽®
由lgai
lg3
16
lg2
~4
lg7
lg31lg3lg2
~4
16
0及⑫式,
得lgan
ig3
16
lg2
4
lgan则-
lg3/八(n1)4
lg3
76
lg2
4
16
所以数列{lgan
比数列,则|gan
空n
4
lg3
n
4
16
lg3
76
是以lg7
lg2
4
(ig7
lg3
4
里
4
lg3
16
76
—为首项,以5为公比的等4
晋)于
1
1,因此
lgan
(ig7
(ig7
[ig(7
ig(7
4
1
lg34
1
34
1
3刁
lg3
16
则an
评注:
lgan
5n
lg(7
5n
lg(7
5n1
75
1
3花
1
3仍
5n1
3十
5n4n1
3^^
5n4n1
3^^
1
lg36
1
24)]5
1
24)5n1
n1a
n51
-3^
5n1
2^
罟好1
1
lg24)5n
n
lg3^
11
lg(343花2")
n11
lg(3刁3花2刁)
5n11
2^)
1
)
5n11
2=。
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
{lgan
lg3/
l-(n
4
1)
lg3
16
公式,最后再求出数列
(6)数学归纳法
lg2
4
1
1
lg316lg24
an1
a;转化为
lg3lg2lg3
5(lgann
1644
—}是等比数列,进而求出数列4
{an}的通项公式。
例6已知数列{an}满足an1an
(2n
8(n1)
解:
由an1an2
(2n1)(2n3)
lg3
16
{lg
lg2
),从而可知数列
4
lg3lg3lg2、曲、序古
n}的通项
4164
an
8(n1)
22?
1)2(2n3)2
2及a1
8
8,得
8
,求数列{an}的通项公式。
a2
a1
8(11)
8
8
2
24
(2
1
1)2(21
3)2
9
9
25
25
as
a2
8(21)
24
8
3
48
(2
2
2
1)(22
3)2
25
25
49
49
a4
aa
8(31)
48
8
4
80
(2
3
2
1)(23
3)2
49
49
81
81
往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当n1时,印
(211)21
2
(211)
8
,所以等式成立。
9
(2)假设当nk时等式成立,即ak
(2k1)21
(2k1)2
,则当n
k1时,
ak1ak
8(k1)
(2k1)2(2k3)2
(2k1)218(k1)
222
(2k1)2(2k1)2(2k3)2
[(2k1)21](2k3)28(k1)
(2k1)2(2k3)2
(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)
(2k1)2(2k3)2
(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2
(2k3)21
(2k3)2
[2(k1)1]21
[2(k1)1]2
由此可知,当nk1时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何nN*都成立。
n项,进而猜出数列的通项
评注:
本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前公式,最后再用数学归纳法加以证明。
(7)换元法
1,求数列{an}的通项公式。
例7已知数列{an}满足an1(14an...124an),a1
彳a*
1
bn
1-2
解:
令bnI124an,则an(b;1)
故an1
刃昭°,
代入an1
1
(14an
16
、124an)得
丄(b?
1
1)
112
[14(b;1)
bn]
24
16
24
即4b:
1
(bn
3)2
因为0
1
0,故bn1
\124an1
0
则2bn1bn3,即bn1
1
可化为bnl3-(bn3),
厂-dA
所以{bn3}是以b3.124ai3124132为首项,以1为公比的等比数
列,因此bn32(|)n1(£)n2,则bn
(1)n23,即124ang)n23,得
评注:
本题解题的关键是通过将.124an的换元为bn,使得所给递推关系式转化
13
bn1-bn?
形式,从而可知数列{bn3}为等比数列,进而求出数列{bn3}的通项公式,最后再求出数列{an}的通项公式。
(8)不动点法
21a24
例8已知数列{an}满足an1n,a14,求数列{an}的通项公式。
4an1
21x242r21x24,,
解:
令x,得4x20x240,则x12,x23是函数f(x)的
4x14x1
两个不动点。
因为
an12
an13
21a242
4an1
21an24
4an1
21an242(4an1)13an2613an2
21an243(4an1)9an27
所以数列
9an3
an2
3
an
是以勺」
a13
213
2为首项,以13为公比的等比数列,故
9
an
an
2(日1,
9
评注:
本题解题的关键是先求出函数
f(x)
21x24
2的不动点,即方程x
4x1
21x24的两
4x1
个根x1
2,x23,进而可推出
an12
an13
139^二,从而可知数列an
9an3
an
列,再求出数列
a2
n的通项公式,最后求出数列{an}的通项公式。
an3
例9已知数列
{an}满足an1
7an2
2an
ai
2,求数列{an}的通项公式。
解:
令x
君,得2x2
4x
3x1
。
,则x1是函数f(x)矿7的不动点。
因为an1
17an2
2an3
5
,所以
2an3
5an
2/1\nan2(4)
(1)n1
(2)3。
评注:
本题解题的关键是通过将
124an的换元为bn,使得所给递推关系式转化
bn11bn|形式,从而可知数列{bn3}为等比数列,进而求出数列{bn3}的通项公式,
最后再求出数列{an}的通项公式。
课后习题:
1•数列2,5,2、2,111|I,的一个通项公式是(
A、an3n3
B、an
3n1
c、an
・3n1
D、an3n3
A、2
B、3
C、
2
D、3
3.在等比数列
{an}中,a1
16,a48,则a7
(
)
A、4
B、4
C、
2
D、2
4.若等比数列
an的前项和为
Sn,且S1010,
S20
30,则S30
2•已知等差数列an的通项公式为an32n,则它的公差为(
)
7•已知{an}是等差数列,其中a,31,公差d
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}从哪一项开始小于0?
(3)求数列{an}前n项和的最大值,并求出对应n的值.
2
8.已知数列an的前项和为Snn3n1,
(1)求a1、a2、a3的值;
(2)求通项公式an。
(1)、求x和k的值;
1
(2)、求Tn=—
S1
S2
1
S3
1
Sn
数列
等差数列与等比数列的有关知识比较一览表
等差
数列
等比数列
①aniana2ai
(nN*)
①an1a2(nN*)
递
ana1
②an1and
(nN*)
推
②an1q(q0,nN*)
关
③an1ananan1
(n2)
an
系
③————(n2,nN)
anan1
通
①ana-i(n1)d
(nN*)
①ana1q(nN)
项
②anpnq(p,q为常数,nN*)
②anpq(p,q是常数,q0,p0,nN)
①2Snn(a1an)
(nN*)
n2
n*
①求积公式ai(a1an)(nN)
求
i1
和
②Snna1n(n1)d
(nN*)
na1,q1
n12
②Snq(1q),(nN)
公
‘,q1
1q
式
③SnAnBn(A,B是常数,nN)
-nai,q1*
③Snn(nN,A0)
AAqn,q1
①若p+q=s+r,p、q、s、
rN*,则
①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则apaqasar.
apaqasar・
②对任意c>0,c1,右an恒大于0,贝ylogcan为等差
②对任意c>O,c1,can
为等比数列.
列.
主
③an1an1a;,nN,n2.
③an1an12an,n
N*,n2.
④若an、bn为两等比数列,则anbn为等比数列.
④若an、bn分别为两等差数列,则
⑤若an恒大于0,则数列Uai为等比数列.
anbn为等差数列
\i1
要
⑥若bn为正项等差自然数列,则abn为等比数列.
重
要
性
质
⑤数列S1为等差数列
n
⑥若bn为正项等差自然数列,则abn为等差
数列.
7Sn,S2nSn,S3nS2n,为等差数列
8SnSnmSm,n>2m,m、nN*
nn2m
9SmnSmSnmnd.
⑩若SmSn,mn,则Smn0.
①若apq,aqp,p、qN,且pq
则apq0.
②若Spq,Sqp,且pq
Spq(pq),p、qN
⑦Sn,S2nSn,S3nS?
n,为等比数列
jnm
n2ma
i,
Vim1
ap0,pN
⑨Smn
Sm
mo
qSn
Sn
n>2m,
qnSm.
⑩若a1a2ama1a2an,mn,
mn
则ai1.
i1
①SmnSm(1q"q2"
=Sn(1
qn
q2n
(n1)m
(m1)n
).
则②若Iq|<1,则limSnS旦
n1q
求数列{an}通项公式的方法
1•ani=an+f(n)型
累加法:
an=(an—an1)+(an1—an2)+…+(a2—ai)
+ai
=f(n1)+f(n2)+…+f
(1)+a1
例1.已知数列{an}满足a1=1,an1=an+2n(nen+),
求a
n-
[解]an=an—an1+an1—an2+…+a2—a1+a1
n1n21.
=2+2+…+2+1
2n
12*1
n
二an=2—1(nen+)
3.an1
an
g(n)型
累乘法:
an
—•
an一
an1.,
a2
-a1
an1
an2
a1
an1
例2•已知数列{an}满足
n(neN+),a1=1,求an.
an
n
an1
an1
an2
an
a2
a1
a1
=(n—1)•(n—2)…1•1=(n—1)!
--an=(n—1)!
(neN+)
2.an1=pan+q型(p、q为常数)
方法:
(1)an1+—q—=p(an—q_),
p1p1
列的相关知识求an.
(2)an1-an=p(anan1)
再用累加法求an.
(3)
an+q
n+n1
pp
,先用累加法求
;"n再求a“.
例3.已知{an}的首项a1=a(a为常数),an=2an
求an.
[解]设an—入=2(an1—入),则入=—1
…an+1=2(an1+1)
•-{an1}为公比为2的等比数列
二an+1=(a+1)•2n1
二an=(a+1)•2n1—1
4.an1=pan+f(n)型
an1
方法:
变形得T4
p
(p为常数)
an
=—n+
p
f(n)
n1
p
1+1(neN+,n
则{一〒}可用累加法求出,
p
例4.已知{an}满足a1=2,an1
杆an1an
【解】盯=歹+1
由此求
an.
n1,
=2an+2.求an.
二{牛}为等差数列.
2n
ana1
n=—n1n
2n2
n
•-an=n•2
5.an2=pan1+qan型(p、q为常数)
特征根法:
x2pxq
(0XiX2时,an=Ci•X;+C2•x2
(2)x1x2时,an=(C1+C2•n)•x;
例5.数列{a*}中,ai=2,a2=3,且2an=an1+an1(n匕N+,n>2),求an.
[解]an1=2an—an1
二x22x1x1x21
6•“已知Sn,求an”型
方法:
an=Sn-Sn1(注意a1是否符合)
3
例6.设Sn为{an}的前n项和,Sn=-(a“—1),求a.(n€N
2
[解]TSn=3(
2
•••当n=1时,
an—1)
(n€N+)
3
a1=2
(a1
—1)
an=
(C1+C2•
n)
•1n=C1+C2•n
G
C22
C1
1
G
2C23
C2
1
an
n1(n
N
)
二a1=3
当n》2时,
an=Sn—Sn1
3(an-1)
2
3(
2
n
--an=3an1•-an=3
an1—1)
(n€N+)
求数列{an}的前n项和的方法
(1)倒序相加法
(2)公式法
此种方法主要针对类似等差数列中
此种方法是针对于有公式可套的数列,如等差、等
ana1an1a2HI
,具有这样特点的数列.
比数列,关键是观察数列的特点,找出对应的公式.
例:
等差数列求和
公式:
Sna1a2卅an
①等差数列:
a1(a1
d)川⑻(n1)d]①
Qn(a1an)
Sn2
na1n(n1)d
2
把项的次序反过来,则:
nan(n1)dnand
2
Snan(and)川[an(n1)d]②
SmnSmSn
mnd
①+②得:
*
(n2m,m,nN)
n个
nn2m
2Snai
an(a1an)川⑻a.)
②等比数列:
n(ai
an)
Sa1(1qn
)a1anq;(q
1)
Sn/
1q
1q
Sn(a
an)
2
SmnSnSmq
③1+2+3++n=
n(n1)
2
122232HI
2n
1
—n(n1)(2n
6
1)
132333[〔I
3n
(123\\\
n)2
12.八2
一n(n1)
4
(3)错位相减法
(4)分组化归法
此种方法主要用于数列{anbn}的求和,
其中
此方法主要用于无法整体求和的数列,
可将其通项
写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和,再综
{an}为等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,
合求出所有项的和.
只需用5
qSn便可转化为等比数列的求和,
但要
注意讨论q=1和qz1两种情况.
例:
试化简卜列和式:
例:
求数列1,1
111
-,1一-,••…
224
Sn12x
3x2卅nxn1(x0)
彳11
1++一
242
1
[的和.
!
n1
解:
①右x=1,贝卩Sn=1+2+3+…+n=~(
2
1)
1
解:
•••an1一
2
/I皐
②若x丰1,则Sn
2x
3x2[I]
nxn1
xSnx
2x2
3x3
III
n
nx
两式相减得:
(1X)Sn
1
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