量子力学讲义第二章例题讲解.docx

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量子力学讲义第二章例题讲解

补充习题

1.耦合谐振子的Hamilton量为

H=y-（+P；）+^fna>2（x：

+工；）+AXjX2

其中-'

四=_谕白，P，=_滴白

（2）

OXA-dx2

X|、Pl和名、P2分属于不同的自由度，设/t<〃Z©2,试求这耦合谐振子的能级。

解：

如没有耦合项石内，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton量为

H0=Hl+H2=^-pf+m（o2xf+土°；+?

"1况¥；⑶

用分离变量法即可化成两个独立的-•维谐振子问题，能级和本征函数为

E*如=（弓+%+1）上。

（4）

%（心易）=%,（而肱（工2）⑸

%,仇=°，1，2,

其中％（》）为一维谐振子的能量本征函数。

对于耦合振子，可以用坐标变换的办法将问题化成两个独立的一维

谐振子问题。

令

也=±°""）'"=去（凶一）‘2）（6）

即

"士（…）（&）

容易证明

蚌+云=弁+犬

工内=!

（井一乂）

a2a2a2伊

+=+

dxfdx^dyfdy}

因此，Hamilton量可以表示成

其中

MM=0,l,2,…

2.

利用Hermite多项式的递推关系式和求导公式，证明

3.

d"!

2

-TVW〃（x）=%「（x）-（2〃+\）甲〃（X）+J（〃+l）（〃+2）“心2（x）]

ax^21-J

"=2〃…

Q）-2牧〃（号）+2儿膈（号）=0

"）=虬叩）5

路=2Wd&

§=心

1/2

H,+（4）一2汛（/+2nHn_t（g）=0

Nn=（=

\Tn\4^）

乩危）=（-1）〃渺2若。

*

d&

知“（x）=N“eYS号H,0）

=5*加"）+2电再）]

=|N*FHz（g）+（S）

=gNn+l后罚…乩其）+N“_\总次（£）=UPNZf（S）+也N/S2h.t（§）=，捋（X）+由"妇（x）

（。

项呼“（刘冰=?

-TK>

生Wn（X）=-切"（X）+乂岑宾…d&d&

=-（X）+J号Xh（X）+N,K"nHi（&）

=_（*）+（X）］+N“_iy^~e'22〃H,,_i（S）

=（x）+（X）］+2*乂（§）

4.求在一维常数虚势一iV（V«E）中运动的粒子的波函数。

计算概率流密度并证明虚势代表粒子的吸收。

求相应的吸收系数。

解•:

rtlSchrbdinger方程+'”（二丫'）°（x）=0

dxTr

可解得波函数为

hmE（y/V"!

mq=/J』+亏）

这里的正负表示左右行波，由下面看到粒子存在吸收，故波函数不归・。

取

0（x）=e

粒子存在吸收，则有

加=略小湍

J（x）=J（O）L

bmFV

故存在粒子的吸收’吸收系数g"

5.粒子在一维势场V（x）中运动，试证明：

属于不同能级的束缚态波函数互相正交。

证：

设族，心分别为属于能级片，马的束缚态波函数。

由于是一维束缚态，

S，饱都可以取为实函数，故只需证明「”埼（力饱3）么=°

S和饱均应满足定态Schrodinger方程，即

（1）

（2）

们”=\y（X）-

ne；=暮\y⑴-鸟］

以饱左乘式

（1）,4左乘以

（2）,再相减，即得

芬-（旦一）玖饱=40"—仇饱”

对全空间积分，得到（束缚态波函数在无穷远处必须趋于0）

dx

+00

=0

—00

餐（鸟T）匚成"=匚上（A酒一族#）

=（饱酒一埼#）

因此，当3。

片，就有

（3）

p+oo

族必=0

亦即4与A正交。

6.已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态波函数为：

”）=食sin岂0＜心）

式中：

L为势阱宽度，n为量子数（n=l,2,...）。

求：

（1）粒子在区间出现的几率；并对n=\和,2=00的情况算一一4出概率值。

（2）在〃=?

的量子态上，粒子在x=-区间出现的概率密度最大。

4

注意：

由于用归一化波函数比用不归一化波函数简单，故只要有可能，我们总采用归一化波函数。

LL

解：

（1）粒子在。

％工《¥区间出现的几率：

（n7ux\f11.（n7i

dx=sin——

LJ42/rn[2

叱=曲中⑴

冰=泌『

n7ix

CT

1.（n7r

sin——

2/cn\2

W.«9%

7?

=00时

42勿

W,=-=25%

*4

（2）粒子在x=*区间出现的概率密度为：

4

2

1171

2•2=—sin

L

其最大值对应于血t=±l于是有:

1171

=k7T+-

2

0,1,2,…）

二n=2（24+1）

以=0,1,2,…）

6.一维无限深势阱（0<工<0）中的粒子处于状态叭对=

求粒子处于0

+cos

解：

首先对波函数归一化得（p（x）=Ay/（x）

J的（x）|院=A0居［l+cos专］si

.nxsin——a

2

•dx=\

V2I

晚x）=人•苫约（x）+A•而m（a）

sin（2。

）=2sinSeos。

AA=y/2

所以此系统得归一化波函数为：

gx）=g|l+c°s

2|（2

因为：

例睥苫改⑴+苫乙⑴其中*（局=席sin是定态波函数翊⑴"肌（X）乩=点〃侦=|,2,...

2/zcr

所以，粒子处在0vx

%4%1%4%

nnx

定）

）,0

a/2a

J\v^„M\2dx=J亦=1/2

0a/2

P=|\（p（x）^dx=-1|^,（x）|冰+-j|y/2（x）|2dr+-（x）y/2（x）dx0°0°0°0

nP=；+JWi（x）V2（x）dx=

Z'o

2sin（2。

）sin0=cos。

一cos30

16

15k

7.考虑粒子在下列势阱壁（x=0）处的反射系数。

解：

本题中设想粒子从左侧入射。

2m[E—V（x）]

在（xvO〉区中有入射反射波"〃+吾"=°

-K

^x{x）=Aeik'x+Be~ik'x⑴

在（x>0）区中仅有透射波

"）=€?

如

（2）

其中ki=』2m（E+vm治=、痂8/力

考虑在原点0（x=0）处波函数UJ（x）和一阶倒数十’（x）的连接性，有:

T,（O）=T2（O）即A+B=C（3）

"（°）=中2‘（0）即（A-B）ik]=Cik2⑷

因按题意要计算反射系数R,

反射几率波流密度|人|

=入射几率波密度|jj

A2m

=匝同

m

e心小x）-e-ik'x会（井、）}|人|

hL

同理L|^|

in

（5）

B

2

灯—技

2

7e+V°—』E"

A

4+^2

[^e^v^Je）

求下列势垒的反射系数。

铮炉若求比值，可从⑶、（4）消去C,得到:

e）LX

'E

?

0

8.若粒子从右边入射,

B

2

佑-*2

2

A

k、+k2

kE—V°+庭）

9.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

解：

第一激发态的波函数为

其几率

3]（x）=|乙（x）|2=4。

2.-^―.X~eu'x'

2"

2--a*

纹地=学［2厂2。

字］疽罕

dx服

令也由=0,得

dx

x=0x=±—

a

由外⑴的表达式可知，A=0，X=±PO时，？

（x）=0。

显然不是最大几率的位置。

而d"尤）=-6a2%2）-2a2x（2x-2a2x3）]e~ax

dx2

-5a2x2-2a4x4）]e~a~x~

d2co}（x）

dx2

24。

1n=一--<°

A=±l眼6

a

可见x=±-=±J—是所求几率最大的位置。

ay/.ico