高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修.docx
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高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修
一元二次不等式的解法
一、学习目标
1.掌握一元二次不等式的解法步骤,能熟练地求出一元二次不等式的解集。
2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。
二、例题
第一阶梯
例1什么是一元二次不等式的一般式?
【解】一元二次不等式的一般式是:
ax2+bx+c(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)
【评注】
1.一元二次不等式的一般式中,严格要求a>0,这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。
2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一,当a1<0时,将不等式乘-1就化成了“a>0”。
例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么?
【点拨】用函数的观点来回答。
【解】
二次不等式、二次方程和二次函数的联系是:
设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线L在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。
【评注】
二次不等式、二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”,我们要深刻理解、牢牢掌握,并灵活地应用它。
它是函数与方程思想的应用范例。
应用这“三个二次”的关系,不但能直接得到“二次不等式的解集表”,而且还能解决“二次问题”的难题。
例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。
【解】一元二次不等式的解集表:
记忆图
分类
△>0
△=0
△<0
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
(-∞,x0)∪(x0,+∞)
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
(x1,x2)
【评注】
1.不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
2.二次方程的解集求法属于“根序法”(数轴标根)。
例4、写出一元二次不等式的解法步骤。
【解】一元二次不等式的解法步骤是:
1.化为一般式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)。
这步可简记为“使a>0”。
2.计算△=b2-4ac,判别与求根:
解对应的二次方程ax2+bx+c=0,判别根的三种情况,△≥0时求出根。
3.写出解集:
用区间或用大括号表示解集。
例:
解不等式 x+2>3x2
解:
原不等式等价于
3x2-x-2<0
解方程3x2-x-2=0得二根:
,x2=1。
∴原不等式的解集为(
,1)。
第二阶梯
例1、解下列不等式:
(1)2+3x-2x2<0;
(2)-x2+2x-3x>0;
(3)x2-4x+4>0
【解】
(1)原不等式等价于2x2-3x-2>0
由2x2-3x-2=0得
,x2=2.
∴原不等式的解集是
(2)原不等式等价于:
x2-2x+3<0
由△=
<0,知原不等式解集为
。
(3)△=
,方程
有等根
,
∴原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠2}。
【评注】
1.要严格按“解法步骤”求解。
2.最后要用集合表示法表出解集。
如本倒的
(1)用区间表出解集;本例之(3)用大括号表出解集,该题的解集也可用区间表为
,但有的同学把第(3)题的解集表为x≠2,这是错误的。
例2、解不等式(1+x)(2-x)(x2+x+1)>0
【探路】化为一元二次不等式来解。
【解】
∵y=x2+x+1的判别式△=12<0,a=1>0
∴对一切x∈R恒有x2+x+1>0,
∴原不等式等价于
(1+x)(2-x)>0
<0
-1<x<2
∴原不等式的解集为(-1,2)。
例3、设全集为R,已知A={
},求
。
【探路】解不等式化简集合A。
【解】
,……
(1)
方程2x2-x-1=0的两根为
∴不等式①的解集为[
,1],
∴A=[
,1]
∴
例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根,求实数m的取值范围。
【探路】列出方程有两个负根的等价条件(不等式组),然后解不等式组。
【解】已知方程有两个负根的等价条件是
∴m的取值范围是(
]∪[1,+∞)
【评注】
1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形,故△≥0,因此列成△>0是错误的。
又若只列成△≥0也是错误的,△≥0只能保证方程有实根,而不能保证有两个负根,所以还要联立x1x2>0,x1+x2<0的条件。
2.利用不等式讨论方程的根的情况,是不等式的重要应用。
第三阶梯
例5、已知A=
,B=
。
(1)若B
A,求a的取值范围;
(2)若A∩B是单元素集合,求a取值范围。
【探路】先解不等式化简集合A和B,再利用数轴表示两个集合的关系,求a的取值。
【解】解不等式
得A=[1,2];而B={
≤0}。
(1)若B
A,如图1,得a的取值范围是1≤a<2。
(2)若A∩B是单元素集合,如图2,A∩B只能是集合{1} ∴a的取值范围是a≤1。
【评注】
集合B的最简表示只能是B={
},这是因为不知道a与1的大小,不能表示为最简洁的区间;此外,当a=1时,集合B是单元素集合,即B={1},也不该表示为区间。
例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2<0(a∈R)。
【探路】先求出不等式相应的二次方程的根,然后注意分类讨论,比较两根的大小,求出不等式的解集。
【解】
解方程2x2-5ax-3a2=0,得
当a>0时,
<3a,原不等式的解集是(
,3a);
当a<0时,
>3a,原不等式的解集是(3a,
);
当a=0时,
=3a=0,原不等式的解集是
。
【评注】解含字母系数的二次不等式,在求出相应方程的二根后,应注意对字母分类讨论两根的大小,进而确定相应的解集。
例7已知
(且b>0)的解集为{x|-1≤x≤2},求实数a,b的值。
【探路】将不等式|ax+3|≤b化为二次不等式,利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值。
【解】
∴关于x的二次不等式
(a2>0)的解集为[-1,2]。
∴-1和2是方程
的二根
∴
解得
;或
∵b>0,舍去后一组解。
∴a=-6,b=9
【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。
三、练习题
A组
1.不等式|x(x+1)|>x(x+1)的解集是( )
(A)(-∞,-1)∪(-1,+∞) (B)(-1,+∞)
(C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(-1,0)
2.不等式42x2+ax<a2(常数a<0)的解集是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
3.不等式
<0的解集是( )
(A)(0,3) (B)(-3,0)(C)(-3,3)(D)R
4.若关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为
,那么( )
(A)a<0,且b2-4ac>0 (B)a<0,且b2-4ac≤0
(C)a>0,且b2-4ac≤0 (D)a>0,且b2-4ac>0
5.有三个关于x的方程:
,已知其中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围为( )
(A)-4≤a≤4 (B)-2<a<4 (C)a<0 (D)a≤-2,或a≥4
6.不等式4≤x2-3x<18的整数解集是 。
7.若方程组
有两组解,则实数m的取值集合是 。
8.集合A=
,B=
,则A∩B= 。
9.若
的解集是{x|2<x<4},则p,q的值分别是p= ,q= 。
10.对任何实数x,函数
的值恒为负数,则p的取值范围是 。
【答案】
1.D 2.B 3.C4.C 5.D 6.{-2,-1,4,5} 7.(
)
8.(2,4) 9.
10.-4<p≤0
B组
1.解不等式:
(1)(x+1)(x+2)>0;
(2)2x(x-
)<0;
(3)14-4x2≥x;
(4)0<x2-x-2<4.
2.解不等式组
x(x2+1)≥(x+1)(x2-x+1),
1-2x>3(x-9).
3.解不等式:
(1)
<0
(2)
>1
4.解不等式(x+a)(x+b)>0 (a<b)
5.X为何值时,抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方。
6.已知U=R,且A={x|x2-9<0},B={x|x2-3x+2≥0}求:
(1)A∩B;
(2)A∪B (3)Cu(A∩B) (4)(CuA)∪(CuB)
7.不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,求a的取值范围。
8.解不等式x>
9.已知全集U=R,A={x|x2-x-6>0},B={x|x2+2x-8>0},C={x|x2-4ax+3a<0},若A∩BC,求实数a的取值范围。
10.已知A={x||x-a≤1},B={x|
≥0},且A∩B=,求a的取值范围。
答案
1.
(1){x|x<-2或x>-1};
(2){x|0
}; (3){x|-2≤x≤
}; (4){x|-2
2.{x|1x<
}
3.
(1){x|-
〉;
(2){x|
} 4.{x|x<-b或x>-a}. 5.{x|2 6.易得A=(-3,3),B=(-∞,1)∪[2,+∞],则 (1)A∩B={x|-3<3} (2)A∪B=R (3)Cu(AB)={x|x≤–3或1 (4)(CuA)∪(CuB)={x|x≤–3或1 7.当a2-1=0时a=1,有x∈R. 当a2-1≠0时,△=(
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