陈洪杰谈数学活动经验.docx
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陈洪杰谈数学活动经验
陈洪杰:
如何在教学中积累数学活动经验—以苏教版四(上)“加法运算律”教学为例
按:
这是2013年11月24日,我在常熟市小学数学年会上的现场点评。
基于孙蓓老师的课,一个一个环节进行分析,谈在每一个环节可能渗透的数学活动经验及其操作要点。
恰如我反对“一个教学环节对应一个教学目标”的割裂式做法,我也警惕自己的思考是不是也是一种对整体意义的肢解。
我的目的在于,以点带面、贴地飞行,先结合案例给老师们一些具体的、可以操作的建议与观点,由此,给老师们思考的起点或反驳的靶子,从而引发老师们自己的探索与思考。
这样的方式和立意,也是我一贯的坚持。
至于我言说的内容,历来是“有可能错的”,否则,何来实践指导力?
我们听很多的话,只是为了自己最后能够说话;我说了很多的话,只是希望老师们最后能说很多的话。
——2014年3月14日下午。
如何在教学中积累数学活动经验
——以苏教版四(上)“加法运算律”教学为例
当代教育家研究院 陈洪杰
陈洪杰:
关于数学活动经验还没有很深的研究,看了很多别人的文章,但是我不太习惯拿人家的思维来做自己的思路,并且很麻烦的一点是,当你接触了别人的思路之后你很难用自己的思维方式去思考。
所以很多时候,我们经常会说“你一个观点我一个观点,然后交流之后有两个观点”,其实是不一定的。
先请孙老师来说说这课在目标定位上,在数学活动经验上有哪一些想法,然后上下来的感觉怎么样?
孙蓓:
各位老师,你们好,接下去我就对我的教学过程的设计做一个简要的说明。
学生从一年级开始,就已经慢慢接触到加法运算律这部分的知识,例如用一幅图列出两道不同的加法算式、交换加数的位置进行加法验算,这些都是学习加法交换律的经验基础。
在这些经验基础之上,从学生实际问题入手,解决问题得到了两个等式。
这两个等式的成立有两个支撑,一个是数量关系的支撑,一个是计算结果的支撑。
由此让学生观察等号左右两边,什么变了、什么不变?
【好问题——陈注,下同。
】然后根据自己对运算律的初步感知,提出自己的猜想,并且列举更多的例子验证,然后采用不完全归纳法进一步抽象、概括出规律。
接着我又为学生提供了一个直观支撑,那就是用直条来表示两个数相加的运算规律。
学生进一步加深了对两个数相加的运算规律的理解,还用字母表示了出来。
学生经历了“观察发现—提出猜想—举例验证—得出规律”这一学习过程,积累了对加法运算律探索的经验。
经验+经验=新经验,得到之前经验的渗透后,学生很容易感受到三个数相加蕴含的运算规律。
不但理解了加法运算律的过程,同时也在学习过程中获得了成功的体验。
这节课的学习,不仅仅局限于让学生掌握加法交换律和加法结合律的知识,更重要的是学会数学方法。
所以到课尾出现了另一个学习的高潮,让学生们联想到减法、除法、乘法中是否也有这样的运算规律呢?
【好思路!
这是利用结构进行猜想,是课堂结尾的好策略,也是培养学生创新能力的好方法。
】拓展他们的思维,让他们产生用这一探究方法和经验进行继续探索的愿望和兴趣。
这是我对这节课的一个简单的说明,如果有不当之处欢迎各位老师批评指正。
谢谢!
陈洪杰:
能不能从学生的一个表现和自己的设想来谈谈呢?
孙蓓:
学生的表现还不错,但是和自己的预设有一点点差距。
陈洪杰:
在哪里?
孙蓓:
在学生用自己的话表达运算规律的时候。
陈洪杰:
主要是后面三个数的时候?
孙蓓:
对,他们的话虽然不连贯,但是也能表达自己的意思。
需要引导一下。
陈洪杰:
还是看得出来孙老师在上课时对数学活动经验有自己的一个考虑,让学生最后获得的是数学思想、方法。
刚才我在考虑像今天这节课的教学我来编故事。
我编着编着,编不下去了,但是我的目标指向的是数学活动经验,所以我想把我的一些想法呈现出来。
积累数学活动经验,这是很宽泛的一个题目,是个难题,现在讲得好的我觉得不多。
我想能不能结合这个案例来,就是运用刚才孙老师这节课的素材,如果我们要这节课中要以数学活动经验为思考方向,我来编编故事。
第一个,呈现情境,提出问题。
刚开始提问:
你能提出哪些加法问题?
只列式,不计算。
这里面有一个有序思考的问题。
三个条件,汇报的时候因为题目就只有三道,1.跳绳有多少人?
2.女生有多少人?
3.一共有多少人?
在汇报的时候注意看孙老师的PPT,学生的第一个问题“跳绳有多少人?
”孙老师PPT上是展示出来的,第二个问题提了“一共有多少人?
”孙老师点了下一个PPT,然后学生再提问“女生有多少人?
”换言之,在预设的过程中,孙老师对题目的提出是有预设的。
就是跳绳、女生、一共有多少人。
但是学生的回答是无序的。
所以这个过程与其用有序去替代学生的无序提问,由老师来引导,不如提一个大问题放下去,放下去之后学生的汇报是会混乱的。
这就好像问学生能提出哪些加法问题,第三个学生才说“女生有多少人?
”那么这时候学生汇报,教师就贴一道算式。
就是不一定做在PPT上,可以把这几个问题做成贴条纸,乱贴,贴在黑板上。
然后提问“你能归类吗?
”我们创立的情境可以有不同的问题,这些问题有不同的解决的指向,可以分类。
分类的时候就涉及到标准:
有两个数字的、有三个数字的,这是对数字的一个标准。
然后根据题目的意思分成跳绳的、女生的、一共的,根据答案相等的可以分成三个小类。
这样就通过分类来聚焦研究的问题:
也就是不计算为什么17+23=23+17呢?
研究1:
当然为什么要不计算呢?
就是要让学生自由表述,就是原来设计当中的多元表征。
这个“多元表征”,孙老师使用的是直条,那么后来提问还在哪里见过加法的交换律,出现了验算和图。
我的想法是,验算和图以及其他的一些表征能否让学生自己出来?
这个时候让他不计算就是强调以计算结果作为支撑的一个途径。
就是逼着他,把这个问题变成是有挑战性的。
那么这个时候学生可能是出不来的。
如果说不计算,告诉我为什么17+23=23+17,这个时候我们说归纳一个猜想,学生是不太要猜的,但是挑战性不大,一眼就可以看出来了。
我有这个感觉,猜想这个门槛是高的,因为根据题目意思,都是在“女生有多少人?
”“跳绳的有多少人?
”不计算,根据情境意思,就是这么几个人嘛!
这个时候,在原来的设计当中,用数条来表示规律,提问“你能不能用其他的方法来表示规律呢?
”这个问题非常好。
这就是前面顾亚龙老师所说的“在多元表征的穿越中”,我觉得穿越这个词不好,换成穿梭,往返穿梭、互动勾连中举三反一。
它是不同的表征,但是不同的表征有着内在的东西,这就叫归纳。
那么在孙老师问的这个时候,学生回答的是“长方形+正方形=正方形+长方形”、“数+数=数+数”、“a+b=b+a”,老师需要“a+b”。
但是前面的“长方形+正方形=正方形+长方形”是什么意思呢?
有没有去挖一下他的思维?
他可能是没有思维含量的。
我在下面看学生是怎么举例子的,“ab=ba”,他可能是表示a×b;还有学生写“正+丁=丁+正”。
像这些对加法交换律的存在没有意义,这叫模仿。
所以我们把这个问题变成有挑战性的问题,就要问学生:
“不计算,你告诉我为什么这两个和相等?
”这个问题很有意思,学生会怎么回答?
各位老师,你们可以尝试,但是我们这样是给学生一个空间。
我们可以用最坏的打算,学生一点都想不出来,怎么办?
举例!
举例要注意的是,要有一种经验:
全面、特殊。
本质上举例是一种不完全归纳。
举例有这么一个特点:
你举一千个例子说绵羊是白的,只要有一只黑绵羊出现就推翻了。
所以举例要全面,要有特殊量。
而这一个量它是应该在第一学段就可以渗透的。
什么意思呢?
比如我们一年级教学加法:
加法是一种运算,你还能给加法举个例子吗?
学生举例子的时候老师就要注意引导,比如:
张三的例子真好,他的算式当中出来了一个0;李四举的例子也真好,他出来了一个整十数;某某出来了一个整百数。
很简单的做一个渗透,这就是一个举例要求的思维含量。
所以我们看一个细节:
在填空的时候,96+35=35+(),204+57=()+204,最后是()+30=30+()。
第三题是一个开放题,在习题设计上他是走向开放的,这也是一个好方法。
注意,学生回答了30+30,然后又有学生回答“a+30=30+a”,这个时候注意孙老师是怎么说的:
a可以表示1,可以表示10,可以表示100。
孙老师为什么要说a可以表示1,可以表示10,可以表示100呢?
这就是数学老师的一种敏感性,她为什么不说a可以表示3,6,13这些数呢?
她在数量选取的时候对数量的类别有一种思考,所以为了举例的全面我们甚至要让学生去寻找反例,寻找全面的案例,寻找特殊量。
这就是举例当中让他有思维含量,有一种经验。
例如,然后学生举例发现:
和为什么都一样呢?
或者说前面已经都多元表征过了,“你能用自己的话说一说发现的规律吗?
”让学生自由地说,这样的环节可以给他们时间。
或者说,“把我们发现的规律写下来”,就是这一块要舍得花时间。
而且我觉得,为什么要舍得花时间,让学生经历用自己语言的到数学语言的进化过程,这就是规律探求当中的一个标配。
甚至于我们为了让学生经历这个过程,可以呈现不同学生参与的资源,让学生评价,最后呈现自己的表述。
在这里要注意,即便学生没有经历由自己的语言到字母表示的这一过程,当你用字母来表示的时候,学生能不能明白?
学生能够明白。
在思维难度上,“用字母表示数”要比“用语言来表示”要容易。
正因为它容易,我们要给一点苦头他们吃,让他经历过程。
什么叫经历过程?
这就叫经历过程。
比如说像以后的乘法分配律,你让学生用文字去说,去写,说不清楚,但是你就是要他写下来,这就是学生用自己的话语去组织他的意思。
“千江有水千江月,万里无云万里天”,数学有数学的方法,是一个月影;语文有语文的方法,是另外一个月影。
从某种意义上来说,数学和语文一样,和英语一样,都是外语。
所以数和数字是有区别的。
数字是“5”、“five”,它背后是“数”。
所以可以让学生经历这样一个过程,然后回顾这样一个过程,我们是怎么分类出来的一个问题,问题是聚焦,聚焦之后我们是探究,探究我们有两种方式:
一种叫多元表征探究的方式,数学的话到别人的话再到自己的话。
几次转换他就有一个经验,经验以后还可以用。
比如举例,他就知道,以后老师再让我举例的时候要举全面的例子,我要举0,举1,举整百数,举超大的数还有很小的数。
还有我们要举类别,以后还要学小数、分数等。
这样的话,研究2就出来了。
之前我们会得到很多不同的种类,我们可以说研究了两个数字的,那么研究2:
“三个数相加有什么规律?
”如果说前面的半节课是在教学生探究的方法的话,那么后面的半节课就是让学生用方法。
在教本课中,在学习之前,孙老师呈现了一个学习要求:
1.什么变了,什么没变?
2.猜想。
3.验证。
4.规律是什么样子的。
PPT呈现四点,“三个数相加有什么规律?
你来研究。
”如果说我们前面是“扶”比较多,一步步,从举例到表征到归纳,这就混合为直接的把四个问题丢下去,“你能提出什么猜想和规律?
”如果说我们三个数相加,28+23+17,比较简单的一种算的方法就是一个个地加。
两个先算就是有一个结合。
“结合律”我们要追问:
是什么和什么结合?
让他和数字的意思,和情境的意思做一个沟通,这就是我说的多元的沟通。
如果是两个先算的话,就不能是28加23加17,他是有情境支撑的。
但是如果抛开情境,三个元素是可以任意两两组合的,就可以28加23先算,但如果我们根据情境就只能28跟17这样进行结合律情境的支撑。
28+17是跳绳的人数,17+23的结合是女生的人数。
因为可以先算跳绳的再加上踢毽子的,也可以先算女生的再加男生的,所以两种都可以,因为算的总共。
左右两边字母是一样的,运算的结果是一样的,顺序是一样的,但是情境支持的意思是不一样的。
不同情境支持的意思就叫“多元表征”。
但是,如果说前面让学生列式,学生会出来这么多的算式,基于三个数的算式让学生去提出猜想和规律,很有可能学生提出的不是今天要教的结合律,是结合律和交换律混合在一起的,就是孙老师后来的练习题中,既有结合律,又有交换律的情况。
为什么这么说,因为我们调查由两个到三个的时候,如果前面学的是交换律,这是一个强刺激,前面两个数是交换律,现在三个数,那我很有可能就是去交换一下。
学生举例的时候会这么举:
(100+84)+13=13+100+(84+13);72+(3×2)=(72+3)×2;38+48+10=10+(48+38)。
【这三个是现场案例】很奇怪,他们会去换位置。
那么换位置其实是有个好处的,我们要让他们看出这里的问题有种内在驱动力,就是为什么会换位置?
加法结合律和交换律整合在一起,换位置有个很重要的好处,就是好算。
比如23和17就是能够凑整的,因此这里可以渗透简便运算。
【前面交换是强刺激,加上数据又有可凑整的特点,学生当然先交换再结合。
这里,学生的思路打破了教材的编排。
】包括后面举得例子,比如说:
36+18+22,可以36加上18加22的和,都能得到答案,但是怎么算更简便呢?
结合律。
结合律的出现使得计算从木器时代进化到了铁器时代。
我前面说我在编故事,这个地方我编不下去了,所以老师们可以去尝试,怎样去探究,多元表征可以怎样。
第一个是数条,第二个,可不可以用几何图?
也就是说我们要把三个问题的题干“跳绳的人数”、“女生的人数”、“踢毽子的人数”在黑板上画一个集合图,然后把三个数贴在图中,可以把某两个贴在一起,看第三个,最后要求的就是放在一起。
这就是几何直观当中的“刚性变换”。
就是说位置变了但是面积没有变。
直条a、b、c换一下还是直条,也就是这个时候可以用集合图。
或者说可以用PPT,a、b、c三个条件连线,a到b,b到c,a到c,任意两个的和加第三个和三个相加的和是一样的。
说不定,那样的表达是更高层次的统一。
就是从交换到交换和结合整合在一起,可能学生更加容易理解。
我编故事到这里我在想,这不是更难了吗?
让学生混合着交换律和结合律,但是我觉得学生是能够参得透的。
这就好像我们平面图形的面积,我们的教材一般都是先教平行四边形的面积再教三角形的面积,但是有学生看到平行四边形,第一感觉就是把它化成两个三角形。
看到平行四边形,当中画一条是很正常的思维,变成三角形之后他学过三角形的分类,锐角、直角、钝角,求面积,直角最简单。
我们的思维不是单向的由一点到另外一点,它其实是瞻前顾后的。
所以三角形的三类最先想到直角三角形,直角三角形可以拼成长方形。
所以三角形的面积是底×高÷2,再来验证锐角、钝角三角形是否都一样,最后得到结论三角形的面积是底×高÷2,所以平行四边形的面积是底×高。
而我们的教材都是平行四边形到三角形,而且都说三角形更难,因为要除以2。
但是他们没有考虑到,平行四边形的二分之一在图形直观上变简单了。
所以,我很期待我们这样的设计,但是这对学生的要求比较高,因为学生极可能出来是结合律和交换律合在一起的。
怎样让这个结果有用?
计算更方便。
干脆把后面的题目一起抓进来算了,这就是思维的价值。
前面说过用字母表示数和用语言来表示,是用语言来表示难,那么这个时候还要不要让学生说呢?
我在听课之前写了几句话:
“词语是概念的符号,但不是概念本身,所以,概念教学不能抠字眼;活动是经验的模拟,但不是经验本身,所以,不能以为有活动就有经验。
”对于这我们有两种方式:
第一个是让学生发现规律,就是说这个规律发现后能不能表示出来?
如果学生都是用字母来表示的,就表示你的教学成功了,你可以问大家:
“为什么直接写字母了?
”学生将前面教过的方法进行了迁移,他会用字母来表示了,因为他知道用语言比较难。
第二个,虽然学生用字母已经会写了,你倒打一耙,“字母看得懂吗?
说一说。
”反过来说会怎么样?
是延续前面的用自己的语言到数学话语言的过渡的方式,让学生关注算式的结构。
我们把一个算式写出来就能明白他的意思,但是要用语言的方式把它告诉别人就比较难,就必须通过它的结构的方式告诉别人。
这里有两种处理方式,你可以根据教学目标的定位和学生的情况挑一种。
这样一来,我们可以落实以下活动经验:
第一个,猜想。
猜想要从有限事实得出试误性的解释。
第二个,举例-验证。
第三个,又是验证,这是作为结果的验证,第二个举例-验证是一种过程式的验证。
以试误性的解释指导行为,造成预期的结果,使得假设更精确、更一致,与更广的事实相符合;举特殊的数,举不同类型的数是不是和更广的事实相符合?
然后,使假设成为行动的计划,应用于当前事态。
这就是验证的意蕴。
第三个的验证是作为结果的验证,它前面经验的积累变成一种固定化的东西,变成一种知识,沉淀下来。
这个时候它的经验就由动态的变成静态的,这个时候的经验我们可以称之为知识,称之为技能,称之为认识。
第四点,数学化,数学符号的表示,命名。
对于这堂课,这故事就讲到这里,然后练习课的经验。
可能,练习课有这样一些层次:
层次1.做错的在练习课上做对了,这是浅层次的;层次2:
原来不会做的现在会了,从无方法到有方法;层次3:
原来只有一种方法的,方法多了,但是方法多未必是好事,“五色令人目盲”;层次4:
方法要有效,方法要灵活,方法要落实。
后面的几个题其实是可以合而为一的。
最理想的情况是根据不同的情境能够主动判断用何种方法。
就是可以根据数据的特点,整十数乘整十数可以口算,竖式的计算仅仅是因为它是通式通法,它是牺牲了深度和适用条件的范围,来成就广度。
它是所有的情境都合适,所以竖式相当于步行,你到哪里步行都可以,但是我如果要从常熟市中心到大义我就不能做飞机,飞机虽然很快。
所以笨的方法有的时候是通吃的方法。
所以说,竖式是所有的算法都能够通吃,但是真正的方法灵活和方法落实是根据情境的不同选择合适的方法。
这是技能和方法的层面。
再一个层次就是无联系到有联系,所以今天顾老师的这个模块设计我觉得是能够体现得比较淋漓尽致的。
练习课,我们做了这么多的题目,这些题目一样吗?
或者说这些题目哪里不一样,哪里一样?
有什么区别和联系?
你能不能给这些题目也来分一分类?
这就是练过不是白练的。
练过的人有思维层次,不仅关注结果,也关注背后的一种联系。
这样,当我们把有联系的题目归结为一组的时候,自然而然就是在建模。
建模之后就会欣赏数学的结构美。
当学生觉得数学还有点意思,能够去欣赏数学结构美的时候,你就给他们埋下了一颗学习数学的种子。
他的审美的眼光可能会迸发源源不断的力量,当然不一样是埋下数学美的种子,小学生,你对他好,他就会学的更起劲。
我曾经说过,你只要让孩子喜欢你的课,你不学课标也没关系,你就成功了一大半,这就是黄金原则。
你表扬他一句,套用刘震云小说的名字,叫“一句顶一万句”。
但是如果我们能够给他埋下一点数学审美的种子,更好。
而且经验有个很大的特点,它和感情,和价值观,和认知揉合在一起。
看朱德庸的漫画。
1.鬼是什么?
就是一种你想不通、理不清、搞不懂的东西。
孩子拿着数学书说“鬼”。
为什么拿着数学书?
这就是经验,朱德庸的经验。
2.医生给癌症病人读数据,导致病人自杀。
结论:
癌症会杀人,数字有时也会杀人。
看到这两个漫画,可以说,朱德庸小学的时候数学一定不好。
3.吊死在算式上,越算越复杂。
这就是经验的特点,经验是价值观,情感态度介入的。
4.咆哮体,数学除了毁掉整个人生还有什么用!
数学这门学科,数学家,在各个文化领域被误解,这也是一种文化现象。
一条街没有着火怎么办?
数学家说先点着再灭掉,这是“把新的问题转化成会解决的问题”。
壶里已经有水,怎么烧?
倒掉,再装水,再烧,就是转化。
我曾经想就这五个问题做一个讲座【以下内容配合一个简单的PPT讲的】,涉及提问。
第三个问题,什么变了,什么没变?
今天孙老师就用的很好。
第一个,谁还有不一样的想法?
我们在平时的课堂上经常是这样的:
“你说,你说,你说”,然后第三个终于说对了,然后老师说:
“你们同意吗?
”学生当然同意,能够听出来第三个就是对的,还能不同意?
如果有学生说不同意,老师马上就:
“你来说!
”而“谁还有不一样的想法?
”这就是民主的课堂。
第二个问题,“你能够完整的说吗?
”呈现一个情境,就是前面为什么设计的时候要求只列式不计算并且把你想到的都写出来?
避免了零碎的回答!
而老师出示情境后让学生说你能看到那些信息?
学生自由回答。
之后老师提问“你能提出什么问题?
”学生可能会把前面说的信息重新排列,变换顺序。
这就像我们今天课上学生说的提的问题,第二个学生问“一共有多少人?
”第三个才出现“女生有多少人?
”所以你要让他完整的说,不能零碎的说。
第三个问题:
“什么变了?
什么没变?
”引导归纳。
第四个问题:
“你能举个例子吗?
”你看,我前面为什么说要举例,你能举反例吗?
你能举特殊的例子吗?
你能举不同类型的例子吗?
举例是很重要的经验。
当学生不会说你要求的抽象的、数字的话语的时候,可以让他们举例子。
第五个问题“你能让别人一下子听懂你的思路吗?
”为什么要问这个问题?
大家想想看,这就是逼着他出来。
你要让人家看明白你的思路,你就要举例,你要画个图画。
如果你觉得这个不对,你就要举个反例。
所以这一个问题曾经的设计就是苏教版上的“画图”。
就是让学生有这么一个经验,设计几个大问题,让学生去画图。
蔡宏圣老师上的一堂课,倒推,很多老师看不懂,但是我一看就明白了,就是这个思路!
今天这样的一说可能大家对数学活动经验有一些具体直观的认识了,但是终端层面的数学活动经验还没有很好的整理成体系。
现在回到前面去(出示陈独秀的话)“我愿意说极正确的话,也愿意说极错误的话,绝对不愿说不错又不对的话。
”有的时候说的不对应该是限于自己的知识和能力。
积累经验的关键词是尝试和反思。
首先是出现在课标中的一个变化。
原来的数学课标当中是“获得广泛的数学活动经验”,大家可以想,在没有提出数学活动经验之前,学生在课堂上也是有数学经验的,只不过那个时候我们没有办法聚焦。
学生也会去关注数学思想和方法,有些好的老师,或者偷懒的老师,他们会教出一些能力越来越强的学生。
因为他们去关注了思想和方法,关注了经验。
修改稿中出现了两处,一个是基本理念的“数学活动”,还有一个就是总目标中的“四能”。
“四基”在原课标当中提到,1.那么“基本思想”去掉了方法,是为什么?
是为具体的方法和上位的思想做一个区分。
比如说方程的思想是探讨它在数学发展史上的地位的时候。
在解决具体问题,比如“鸡兔同笼”,那么就是方程的方法。
数学本身就是一种方法,也是一种思想,叫数学思想方法。
2.为何独立提出?
课标官方的回答:
“数学改革最重要的收获就是四基。
”思想和经验的积累是隐性的,但是很重要,所以现在明确提出:
创新人才的培养在知识、技能之外,重在思想方法。
3.四基的侧重点不同。
基本活动经验是朴素的,直接的。
诘问:
“基本活动经验”这个词是不是经不起推敲呢?
1.基本。
“基本”是没有一个绝对的标准的,有了基本的,是不是有高级的?
重点的?
核心的?
而我们知道,学了一年级再学二年级,一年级当中的新知识就变成基本的了。
数学的学习过程像爬楼梯一样一层层的,一旦爬到上面的楼梯,下面的楼梯就变成基本的了。
所以能不能说不同的年级有不同的基本活动经验?
背后考虑的就是经验的积累的变量,或者原有的知识和技能的掌握的变量。
比如说让学生归纳,有的学生只能归纳到“写不完”,而有的说“对于10,100等都可以”,而有的可以说“用字母可以表示出来”。
因此很难说哪个是基本活动经验,对不同的学生,都有可能是基本活动经验。
而对于整体而言,又是有层次区分的。
2.活动。
数学是思维的体操,如果包括数学思维,那这个活动岂非过于泛化?
数学中有特别的活动:
解题。
如果是这种活动,过去的“双基”,就要精讲多练,扎扎实实地练,那么就是活动。
3.经验。
这个词古希腊哲学中就有,是直观的、粗糙的,和抽象、理念世界背道而驰的。
所以像柏拉图这些人是看不起经验的世界的,我们要追求的是理念的世界,是纯粹、理性的世界。
而数学是抽象的,数学化就是要抽象。
在整个中世纪,数学为什么得到了很大的发展,人们为什么要去追求行星运行的轨道的数学公式?
为了证明上帝的和谐和完美。
所以太阳、月亮等,有的数学家找到了三十几个圆的公式去证明它,慢慢缩减到十几个圆,公式越来越少就是越接近于上帝的完美。
尽管有以上的诘问,是我们还是要“同情的理解”,要去追问这个词提出来背后的考虑。
接下来谈一下课标的变化:
1.更科学化的表达。
2.学科教学目标的转变。
由关注结果和技能,到关注过程和方法。
所以新课标中提出“数学是一门科学”和实验稿中的“数学是过程”异
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