数学:2.3数学归纳法.ppt
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1山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学高二数学高二数学选修选修2-2第第二二章章推理与证明推理与证明2.32.3数学归纳法数学归纳法2山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学问题提出问题提出1.1.归纳推理的基本特征是什么?
归纳推理的基本特征是什么?
由个别事实概括出一般结论由个别事实概括出一般结论.2.2.综合法,分析法和反证法的基本思综合法,分析法和反证法的基本思想分别是什么?
想分别是什么?
综合法:
综合法:
由已知推可知,逐步推出未知由已知推可知,逐步推出未知.分析法:
分析法:
由未知探需知,逐步推向已知由未知探需知,逐步推向已知.反证法:
反证法:
假设结论不成立,推出矛盾得假设结论不成立,推出矛盾得证明证明.3山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学3.3.归纳推理能帮助我们发现一般结论,归纳推理能帮助我们发现一般结论,但得出的结论但得出的结论不一定正确不一定正确,即使正确也,即使正确也需要经过严格的证明才能肯定其真实性需要经过严格的证明才能肯定其真实性.综合法,分析法和反证法虽可证明某些综合法,分析法和反证法虽可证明某些结论,但都有其局限性,因此,我们非结论,但都有其局限性,因此,我们非常需要一个与归纳推理相匹配的证明方常需要一个与归纳推理相匹配的证明方法,使之成为无与伦比的法,使之成为无与伦比的“黄金搭档黄金搭档”.4山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学5山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学思考思考11:
有若干块骨牌竖直摆放,若将它有若干块骨牌竖直摆放,若将它们全部推倒,有什么办法?
一般地,多们全部推倒,有什么办法?
一般地,多米诺骨牌游戏的原理是什么?
米诺骨牌游戏的原理是什么?
(11)推倒第一块骨牌;)推倒第一块骨牌;(22)前一块骨牌倒下时)前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌能碰倒后一块骨牌.探究
(一):
探究
(一):
数学归纳法的感性认识数学归纳法的感性认识6山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学思考思考22:
某人姓王,其子子孙孙都姓王吗某人姓王,其子子孙孙都姓王吗?
某家族所有男人世代都姓王的条件是?
某家族所有男人世代都姓王的条件是什么?
什么?
(11)始祖姓王;)始祖姓王;(22)子随父姓)子随父姓.(第(第11代姓王)代姓王)(如果第(如果第kk代姓代姓王王,则第,则第k+1k+1代也姓代也姓王王)7山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学探究
(二):
探究
(二):
数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理思考思考33:
已知数列已知数列aann满足满足(nnN*),假设当),假设当nnkk时,时,则当则当nnkk11时,时,aakk11等于什么?
等于什么?
8山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学上述证明方法叫做上述证明方法叫做数学归纳法数学归纳法,一般地,一般地,用数学归纳法证明一个与用数学归纳法证明一个与正整数正整数nn有关的有关的命题,其证明步骤命题,其证明步骤为:
为:
(11)证明当)证明当nn取第一个值取第一个值nn00(n(n00NN*)时时命题成立;命题成立;(22)假设当)假设当nnk(knk(kn00,kNkN*)时命题时命题成立,证明当成立,证明当nnkk11时命题也成立时命题也成立.定义定义9山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学思考思考44:
数学归纳法由两个步骤组成,其数学归纳法由两个步骤组成,其中第一步是中第一步是归纳奠基归纳奠基,第二步是,第二步是归纳递归纳递推推,完成这两个步骤的证明,实质上解,完成这两个步骤的证明,实质上解决了什么问题?
决了什么问题?
逐一验证命题对从逐一验证命题对从nn00开始的所有正整数开始的所有正整数nn都成立都成立.10山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学理论迁移理论迁移例例11.用数学归纳法证明:
用数学归纳法证明:
(nN(nN*).).11山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学例例22已知数列:
已知数列:
计算计算,根据计算结果,根据计算结果,试猜试猜想想SSnn的表达式,并数学归纳法证明的表达式,并数学归纳法证明.12山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学1.数学归纳法证明一个与数学归纳法证明一个与正整数正整数有关命题的步骤是:
有关命题的步骤是:
(1)证明当证明当取第一个值取第一个值(如(如或或2等)时等)时结论正确;结论正确;
(2)假设时假设时结论正确,结论正确,证明证明时结论也正确时结论也正确递推基础递推基础递推依据递推依据“找准起点,奠基要稳找准起点,奠基要稳”“用上假设,递推才真用上假设,递推才真”注注注注意:
意:
意:
意:
1、一定要用到归纳假设;、一定要用到归纳假设;2、看清从、看清从k到到k1中间的变化。
中间的变化。
小结小结13山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学2.2.归纳推理能发现结论,数学归纳归纳推理能发现结论,数学归纳法能证明结论,二者强强联合,优势互法能证明结论,二者强强联合,优势互补,在解决与正整数有关的问题时,具补,在解决与正整数有关的问题时,具有强大的功能作用有强大的功能作用.但在数学归纳法的实但在数学归纳法的实施过程中,还有许多细节有待进一步明施过程中,还有许多细节有待进一步明确和认识确和认识.14山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学练习练习1:
欲用数学归纳法证明欲用数学归纳法证明2nn2,试问试问n的第一个取值应是多少的第一个取值应是多少?
答答:
对对n=1,2,3,逐一尝试逐一尝试,可知初始值为可知初始值为n=5.15山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学练习练习2:
用数学归纳法证明用数学归纳法证明3nn2.此题在第二步的证明过程中在假设此题在第二步的证明过程中在假设n=k时时,3kk2成立的基础上成立的基础上,当当n=k+1时时,要说明此式大于零要说明此式大于零,则必须则必须k2.故在故在证证明的第一步中明的第一步中,初始值应取初始值应取1和和2两个值两个值.16山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学练习练习3.下面是某同学用数学归纳法证明下面是某同学用数学归纳法证明命题命题的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?
为什么为什么?
17山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学解:
解:
(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=
(2)假设假设n=k时命题成立时命题成立即即那么那么n=k+1时时,左边左边=右边右边,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由
(1)
(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确.18山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学
(1)在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取取起,证明时应根据具体情况而定起,证明时应根据具体情况而定.证明中需要注意的问题证明中需要注意的问题
(2)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立命题成立时时,必须用到必须用到n=k命题成立这一归纳假命题成立这一归纳假设设,否则就打破数学归纳法步骤之间的否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系逻辑递推关系,造成推理无效造成推理无效.19山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题命题成立时成立时,要分析命题的结构特点要分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什么,并找出与命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清应增加弄清应增加的项的项.20山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学11.已知已知:
则则等于等于()AABBCCDDC练习:
练习:
421山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学重点:
两个步骤、一个结论;重点:
两个步骤、一个结论;注意:
递推基础不可少,注意:
递推基础不可少,归纳假设要用到,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。
结论写明莫忘掉。
数学归纳法口诀数学归纳法口诀22山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学例例3对于对于nN*用数学归纳法证用数学归纳法证明:
明:
23山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学有几项?
有几项?
是什么是什么,它比它比多出了多少多出了多少?
f(k+1)=f(k)+1+2+3+k+k+1分析:
分析:
24山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学证明:
设f(n)=
(1)当n1时,左边1,右边1,等式成立25山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学
(2)假假设当设当nk,时等式成立时等式成立,即即则则n=k+1时,时,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)由(由
(1)()
(2)可)可知当知当nN*时等式时等式都成立都成立。
26山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学数学归纳法优点:
数学归纳法优点:
克服了完全归纳克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法,使我们认识到事是一种科学方法,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷限到无穷课课堂堂小小结结27山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学数学归纳法的核心数学归纳法的核心:
在验证命题在验证命题n=n0正确的基础正确的基础上上,证明命题具有传递性证明命题具有传递性,而第二而第二步实际上是以一次逻辑的推理代步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程替了无限的验证过程.所以说数学所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了有限到无科学证题方法,实现了有限到无限的飞跃。
限的飞跃。
课课堂堂小小结结28山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:
1.1.明确首取值明确首取值nn00并验证真假。
(必不可少)并验证真假。
(必不可少)2.2.“假设假设n=kn=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。
并写出命题形式。
3.3.分析分析“n=k+1n=k+1时时”命题是什么,并找出与命题是什么,并找出与“n=kn=k”时时命题形式的差别。
弄清左端应增加的项。
命题形式的差别。
弄清左端应增加的项。
4.4.明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:
乘法公式、因式分解、添拆项、配方的方法:
乘法公式、因式分解、添拆项、配方等,等,并并用上假设。
用上假设。
29山东省临沂第一中学山东省临沂第一中学作业:
作业:
P9P966习习题题AA组组:
11,2.2.
- 配套讲稿:
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- 数学 2.3 归纳法
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